ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Властивості скалярного добутку.

ЛЕКЦІЯ 3. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

План

1. Вектори. Операції над ними.

Декартові прямокутні координати вектора. Довжина вектора.

Скалярний добуток векторів.

Векторний добуток двох

Мішаний добуток трьох векторів.

Вектори. Операції над ними.

Вектором називається спрямований відрізок. Вектор з початком в точці і кінцем у точці позначається символом (або однією буквою , , ...).

Модулем (довжиною) вектора називається довжина відрізка і позначається, , .

Одиничним називається вектор, довжина якого дорівнює одиниці. Одиничний вектор позначають .

Нульовим називається вектор, довжина якого дорівнює нулю. Нульовий вектор позначається .

Колінеарними називаються вектори і , якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих; записують .

Компланарними називаються три (і більше) вектора, якщо вони лежать в одній площині або в паралельних площинах.

Рівними називаються два колінеарних вектори и ( ), якщо вони однаково спрямовані і мають рівні довжини.

Додавання векторів.

Сумою двох векторів і називається вектор , що з'єднує початок вектора з кінцем вектора , відкладеного від кінця вектора .

.

Добуток вектора на число.

Добутком вектора на число називається вектор, який має довжину і який має напрям вектора в разі та протилежний напрямок у разі .

Приклад .1. Дано вектори і . Побудуйте вектори: 1) 1) ; 2) .

Декартові прямокутні координати вектора. Довжина вектора.

Нехай вектор складає кут з віссю .

Проекцією вектора на вісь називається число, рівне довжині вектора (рис.1), взятої зі знаком «плюс», якщо напрям вектора збігається з напрямком осі і зі знаком «мінус» у противному випадку.

Проекцію вектора на вісь можна обчислити за формулою:

.

Декартовими прямокутними координатами вектора називаються його проекції на відповідні координатні осі .

Вектор з координатами записують у вигляді або, де - одиничні вектори координатних осей відповідно. Довжина вектора визначається за формулою:

.

Якщо вектор заданий точками і , то його координати обчислюються за формулами:

.

Приклад 2. Дано дві точки і . Знайдіть координати і довжину вектора .

За умовою задачі, , , , , , . Значить, .

.

Приклад 3. Дано два вектори и . Знайдіть координати і довжину вектора .

; ;

;

.

Поєднаємо паралельним переносом початок деякого вектора з початком координат прямокутної системи координат . Нехай - кути, які утворює вектор з осями координат відповідно (рис.2). Напрям вектора визначається за допомогою направляючих косинусів , , , для яких справедливі рівності:

,   .

Скалярний добуток векторів.

Скалярним добутком двох ненульових векторів і називається число, рівне добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними (див. рис.3):

.

З рис. 3 видно, що .

Тому або . (*)

Властивості скалярного добутку.

1. — переставний (комутативний) закон.

2. — розподільний закон.

3. Якщо то .

4. (або чи ).

Зокрема, скалярний добуток одиничних векторів (ортів) задовольняє рівностям:

1. Якщо вектори задані координатами , або , , то

.

2. Кут між векторами і визначається за формулою:

.

3. Вектори і колінеарні тоді і тільки тоді, коли їхні відповідні координати пропорційні, тобто:

.

4. Умова перпендикулярності векторів и :

.

Приклад 4. Вектори і утворюють кут . Знаючи, що и , обчисліть .

.

Приклад 5. Дано вершини трикутника , и .Знайдіть: 1) внутрішній кут при вершині ;

2) .

Для знаходження кута знайдемо вектори и .

;

.

Тоді Т.е.

Відповідно доформули (*)

.

Векторний добуток двох

Поряд із множенням двох векторів, яке приводить до скаляра, розглянемо ще один тип множення векторів, внаслідок якого дістаємо вектор. Таке множення називається векторним.

Векторним добутком двох векторів і називається вектор , який задовольняє таким умовам:

1) Довжина вектора дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і , тобто

(37).

2) Вектор перпендикулярний до площини цього паралелограма, тобто перпендикулярний і до вектора , і до вектора :

та (38).

3) Вектори , , , взяті у такому порядку, утворюють праву трійку векторів. Упорядкована трійка некомпланарних векторів називається правою, якщо з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого вектора до другого здійснюється проти обертання годинникової стрілки.

Для векторного добутку вектора на вектор вводиться позначення:

або (39).

Якщо вектори-множники взаємно перпендикулярні, то модуль векторного добутку дорівнює добутку модулів співмножників:

якщо (40).

Якщо вектори-множники колінеарні, то і векторний добуток їх дорівнює нуль-вектору, тобто

(41).

Закон комутативності для векторного добутку не виконується, або точніше вектор має напрям, протилежний до :

(42).

Властивість сполучності відносно скалярного множника зберігається:

(43).

Властивість розподільності для векторного добутку також зберігається:

(44).

Якщо векторний добуток двох векторів записати у координатній формі, то маємо:

(45).

Приклад 1. Дано: і . Обчислити .

Розв’язання:

Відомо, що . Для того, щоб розв’язати задачу, нам потрібно знайти . З умови маємо: , звідки = . Оскільки >0, то .

З тригонометричної тотожності знаходимо : = = .

Отже, = .

Приклад 2. Трикутник задано вершинами А(1; ‑1; 2), В(5; ‑6; 2), С(1; 3; ‑1). Обчислити довжину висоти, опущеної з вершини В на сторону АС.

Розв’язання:

Знаходимо вектори та Тоді згідно з формулою та формулою (45) дістанемо:

Крім того, , тобто Отже, знаходимо і маємо

Приклад 3. Якій умові повинні задовольняти вектори і , щоб вектори та були колінеарними?

Розв’язання:

Щоб ненульові вектори та були колінеарні, необхідно, щоб модуль їх векторного добутку дорівнював нулеві, тобто

,

Але і , отже звідки або , тобто вектори і повинні бути колінеарними.

Приклад 4. Вектори , і задовольняють умові Довести, що

Доведення:

Оскільки то вектори , і утворюють трикутник. Згідно з означенням векторного добутку вектори перпендикулярні до площини трикутника і всі вони спрямовані в один бік:

Знайдемо модулі кожного з визначених векторів:

Маємо: , тому що кожний з виразів дорівнює подвійній площі трикутника АВС. Таким чином, усі три вектори однаково спрямовані та мають однакову довжину, тобто: