ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Матричний метод розв'язування систем лінійних рівнянь

Розглянемо систему п лінійних рівнянь з п невідомими:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + ... + а₁_nх_п = b₁,

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + ... + а₂_nх_п = b₂,

………………………….

а_п₁х₁ + а_п₂х₂ + ... + а_п_nх_п = b_п,

Позначимо через A - матрицю, складену із коефіцієнтів при невідомих (так звану основну матрицю системи);

X - матрицю-стовпець із невідомих;

В - матрицю-стовпець з вільних членів, тобто

А= , X = , B =

Тоді систему рівнянь можна переписати у вигляді матричного рівняння: АХ = B.

X =A^-1B - матричний розв'язок системи лінійних рівнянь.

Знаходження матричного розв'язку називається матричним способом розв'язування систем лінійних рівнянь.

Приклад 2.Записати і розв'язати в матричній формі систему рівнянь

2x₁ + 2x₂ + x₃ = 3,

3х₁ + 4х₂ + 3х₃ = 10,

9x₁ + 8х₂ + 5х₃ = 14.

Розв'язання

Позначимо через А = , Х = , В = .

Система лінійних рівнянь запишеться у матричній формі АХ = В. Матричний розв'язок системи буде X = А^-1В.

Для знаходження оберненої матриці А^-1:

1. Обчислюємо визначник матриці А: |А| = = 4.

Оскільки |а| ≠ 0, то для матриці А існує обернена A^{-1, a} значить, можна знайти єдиний розв'язок вихідної системи.

2. Знаходимо алгебраїчні доповнення елементів матриці А:

А₁₁ = = -4, А₁₂ = - = 12, і т.д.

3. Обернена матриця має вигляд:

А^-1 = Ã = =

Знаходимо розв'язок заданої системи:

X =A^-1B = = =

Розв'язок системи лінійних рівнянь: х₁ = -1, х₂ = 1, х₃ = 3.

Відповідь. (-1; 1; 3).

Метод Гаусса розв'язування систем лінійних рівнянь

Метод Гаусса (метод послідовного виключення невідомих) ґрунтується на елементарних перетвореннях системи лінійних алгебраїчних рівнянь, до яких належать:

1) переставляння двох рівнянь місцями;

2) множення обох частин одного з рівнянь системи на одне й те саме число, відмінне від нуля;

3) додавання до обох частин якого-небудь рівняння відповідних частин іншого рівняння, помножених на довільне число;

4) вилучення із системи рівняння, що є тотожністю.

Загальна ідея методу Гаусса полягає в тому, що з допомогою елементарних перетворень (при виключенні невідомого х₁ з усіх рівнянь, починаючи з другого, х₂ - з усіх рівнянь, починаючи з третього і т.д.) система зводиться до трикутного вигляду:

х₁ + а₁₂х₂ + ... + а₁_nх_п = b₁,

х₂ + ... + а₂_nх_п = b₂,

………………………….

х_т = b_т,

З одержаної системи послідовно, починаючи з останньої за номером невідомої, рухаючись знизу вгору, знаходять усі інші невідомі. Часто на практиці замість перетворень над системою виконують відповідні перетворення над розширеною матрицею системи.

Алгоритм методу Гаусса

1. Скласти розширену матрицю системи.

2. Зробити так, щоб коефіцієнт а₁₁=1. Для цього можна поміняти рядки місцями, або поділити перший рядок на а₁₁ .

3. У першому стовпці під коефіцієнтом 1 зробити всі нулі. Для цього помножити перший рядок послідовно на -а₂₁, -а₃₁ , ..., -а_т1 і додати відповідно до другого, третього, ..., т-го рядків.

4. Зробити так, щоб коефіцієнт а₂₂ = 1, а під ним були нулі.

5. Описані дії повторити для всіх діагональних елементів (з однаковими індексами).

6. Знайти ранги основної і розширеної матриці системи.

7. За останньою матрицею скласти систему лінійних рівнянь та дослідити її:

a) якщо ранги основної і розширеної матриці не рівні, то система розв'язків не має;

b) якщо ранги основної і розширеної матриці рівні та ранг системи дорівнює кількості невідомих, то система має єдиний розв'язок.

Його шукають так: з одержаної системи послідовно, починаючи з останньої за номером невідомої, рухаючись знизу вгору, знаходять усі інші невідомі.

c) якщо ранги співпадають, але ранг системи s менший, ніж кількість невідомих п, то ця система невизначена. Розв'язки її шукають так: перші s невідомих x₁, x₂,...,x_s, які називаються базисними визначають через інші невідомі х_s₊₁, x_s₊₂, …, x_n, які називаються вільними.

х₁ = а_1,_s₊₁х_s₊₁ + ... + а₁_nх_п + b₁,

……………………………….- загальний розв'язок системи.

х_s = а_s_, _s₊₁х_s₊₁ + ... + а_snх_п = b_s.

Якщо замість x_s₊₁, x_s₊₂, ..., x_n підставити конкретні числові значення, то отримаємо частинний розв'язок системи. Зокрема, якщо x_s₊₁=0, x_s₊₂=0, ..., x_n=0, то одержимо розв'язок (b₁, …, b_s, 0, …, 0), який називають базисним.