ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Обоснование и описание методов

ЗАДАНИЕ

На курсовое проектирование

по дисциплине "Планирование и организация экспериментов"

Задача проекта: организовать "экспериментальные" исследования некоторого объекта с целью поиска минимального значения выходной величины Y. Объект имеет входные управляющие воздействия X₁, X₂, X₃, …, X_n.

X₁

Объект исследования Y

X₂

X_n

Имеются заданные начальные условия. Необходимо проводя экстремальные "эксперименты" на программном эмуляторе объекта получить такие режимы его работы, при которых достигается минимальное значение величины Y. При этом следует построить и обосновать стратегию "экспериментальных" работ, выбрать и обосновать применяемые методы (2 различных).

В записке к проекту привести обоснование и описание стратегии организации экспериментальных работ, используемых методов, "экспериментальные" результаты включая промежуточные, результаты их статистической обработки, принимаемые в процессе экспериментирования решения, их обоснования, полученные оптимальные результаты X₁^*, X₂^*, X₃^*, …, X_n^*, Y^*.

Обосновать полученное решение с точки зрения: локальный найден минимум или глобальный?

Необходимо подобрать реальный процесс, для которого могла бы быть поставлена аналогичная содержательная задача, и описать его с обоснованием постановки задачи.

Содержание

1 Задачи оптимизации
2Обоснование и описание методов
3Проведение экспериментов
3.1 Метод Гаусса-Зайделя
3.2 Метод поиска «с наказанием случайностью»
4 Реальный процесс
Список литературы

Задачи оптимизации

Главной задачей и конечной целью решения большого числа разнообразных исследовательских проблем управления, проектирования и планирования обычно является достижение поддержание экстремальных, т.е. наилучших, показателей. Процесс нахождения и поддержания наилучших значений целевой функции объекта называется оптимизацией. Критерий оптимизации y обычно задается. Этот критерий должен удовлетворять следующим основным условиям: 1) нести в себе существенную информацию об объекте, о качестве процесса; 2) измеряться с достаточной точностью; 3) носить обобщенный характер, т.е. отражать свойства и качества процесса в целом. Решение задачи оптимизации осуществляют с помощью экспериментального поиска. Для этого сначала осуществляют изучение характера поверхности отклика в районе первоначально выбранной точки факторного пространства (с помощью специально спланированных «пробных» опытов). Затем совершают «рабочее» движение в сторону экстремума, причем направление движения определяют по результатам пробных опытов. Такое движение может осуществляться путем ряда этапов, которые могут объединяться в «циклы».

После выхода в район экстремума оптимальную точку можно уточнить одним из двух способов: 1) постановкой дополнительных, особым образом спланированных опытов; 2) получением математической модели второго или более высокого порядка и последующим решением системы уравнений.

Обоснование и описание методов

Рассмотрим два метода поисковой оптимизации: «Метод с наказанием случайностью» и «Метод Гаусса-Зайделя». Эти методы различаются способами постановки пробных опытов и определения направления движения к экстремуму, а также способами организации самого рабочего движения к экстремуму.

Задача надежности отыскания экстремума усложняется, если на объект воздействуют случайные помехи έ. Для повышения надежности результатов применяют специальные методы, например в каждой запланированной точке факторного пространства выполняют по нескольку параллельных опытов. Кроме того, разные поисковые методы в равных условиях обладают различной помехоустойчивостью.

Метод Гаусса-Зайделя

Данный метод относится к многомерной безградиентной оптимизации, где величина и направление шага к оптимуму формируется однозначно по определенным детерминированным функциям в зависимости от свойств критерия оптимальности в окрестности текущей точки без использования производной, т.е. градиента. Все алгоритмы имеют итерарационный характер и выражаются формулой: x^j⁺¹= x^j+f(R (x^j)).

Основная особенность рассматриваемого метода - отсутствие вычисления градиента критерия оптимальности. Ряд методов прямого поиска базируется на последовательном применении одномерного поиска по переменным или по другим задаваемым направлениям, что облегчает их алгоритмизацию и применение.

Метод Гаусса-Зайделя заключается в последовательном поиске оптимума R(x) поочередно по каждой переменной. Причем после завершения перебора всех переменных (т.е. после завершения одного цикла) опять в общем случае приходится перебирать все переменные до тех пор, пока не придем к оптимуму. В ряде случаев удается получить решение всего за один цикл (для сепарабельных функций). В случаи тесной нелинейной взаимосвязи переменных для получения решения приходится делать очень много циклов.

Метод обладает низкой эффективностью в овражных функциях, может застревать в «ловушках», особенно при сравнительно больших шагах h при поиске оптимума по каждой переменной, очень чувствителен и к выбору системы координат. Метод прост в реализации. На эффективность метода влияет порядок чередования переменных.

К достоинствам данного метода относят: 1) очевидная простота стратегии и наглядность; 2) высокая помехозащищенность в смысле выбора направления движения.

К недостаткам относят: 1) при большом числе влияющих n факторов путь к главному экстремуму оказывается обычно долгим; 2) в условиях крупного промышленного производства оказывается трудным застабилизировать n-1 факторов на длительное время; 3) если поверхность отклика имеет сложную форму (узкие гребни, овраги и т.п.), то использование метода может привести к ложному ответу на вопрос о месте расположения экстремума; 4) метод не дает информации о взаимодействиях факторов.

Условием окончания поиска является малость изменения критерия оптимальности за один цикл или невозможность улучшения критерия оптимальности ни по одной из переменных.