ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Описание метода вычисления коэффициентов нормальных уравнений.

Аналогичные уравнения можно получить, применяя описанные выше операции по отношению к переменным С₂ ,…,С_m . Эти уравнения образуют систему нормальных уравнений:

a₁₁ С₁ + a₁₂ С₂ +…+ a_1m С_m = b₁

a₂₁ С₁ + a₂₂ С₂ +…+ a_2m С_m = b₂ (5)

_{……………………………………………………………..}

a_m1 С₁ + a_m2 С₂ +…+ a_{m m} С_m = b_m ,

где коэффициенты a_k _l и величины b_k (k, l = 1, 2,…, m) определяются выражениями

Уравнения (5) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений.

Преимущество использования линейного представления аппроксимирующей функции j (x) состоит в том, что в этом случае однозначно решается вопрос о минимуме величины J. Действительно, если решение системы линейных уравнений (9) существует, то оно единственно, поэтому необходимые условия являются в данном случае и достаточными условиями минимума функции J(С₁, С₂ ,…, С_m).

5)Описание метода определения параметров аппроксимирующей функции (решение системы нормальных уравнений).

Для решения системы нормальных уравнений был выбран метод Гаусса.

Один из возможных способов минимизации критерия аппроксимации предполагает решение системы нормальных уравнений. При выборе в качестве аппроксимирующей функции линейной функции искомых параметров нормальные уравнения представляют собой систему линейных алгебраических уравнений.

Систему n линейных уравнений общего вида (где через x_k обозначены искомые параметры С_k аппроксимирующей функции)

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ +…+ a_1n x_n = b₁

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +…+ a_2n x_n = b₂

_{…………………………………………..}

a_n1 x₁ + a_n2 x₂ +…+ a_{n n} x_n = b_n

можно записать посредством матричных обозначений в следующем виде:

A X = B, где

Квадратная матрица A называется матрицей системы, вектор X – вектором-столбцом неизвестных системы, а вектор B – вектором-столбцом свободных членов.

В матричном представлении исходная система линейных уравнений примет вид

Решение системы линейных уравнений сводится к отысканию значений элементов вектора-столбца (x_i), называемых корнями системы. Для получения единственного решения системы входящие в нее n уравнений должны быть линейно независимыми. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя данной системы, т.е.
det A ¹ 0.

Для решения был выбран метод Гаусса. Согласно этому методу, исходная система линейных уравнений преобразуется путем последовательного исключения неизвестных в эквивалентную систему уравнений, имеющую так называемый «треугольный» вид. Последнее уравнение «треугольной» системы содержит лишь одно неизвестное (x_n), предпоследнее – два (x_n_, x_n_-1) и т.д. Решение полученной системы уравнений осуществляется последовательным («снизу вверх») определением x_n из последнего уравнения «треугольной» системы, x_n_-1изпредпоследнего и т.д. Применительно к системе уравнений преобразование к «треугольному» виду осуществляется за (n – 1) шагов.

На первом шаге выделяется первое уравнение системы. Это уравнение не преобразуется, и оно объявляется ведущим уравнением. Затем исключается неизвестное x₁ из всех уравнений, кроме ведущего. Для этого последовательно из каждого уравнения вычитается ведущее уравнение, умноженное на некоторый специально подобранный множитель, позволяющий сделать результирующий коэффициент при x₁ равным нулю. Так, например, для исключения x₁ из второго уравнения

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + …+ a₂ _n x_n = b₂

необходимо из него вычесть ведущее уравнение, умноженное на коэффициент q₂₁ = a₂₁ / a₁₁. Действительно, результат вычитания имеет вид

(a₂₁ – q₂₁ a₁₁) x₁ + (a₂₂ – q₂₁ a₁₂) x₂ + …+ (a_2n – q₂₁ a_1n) x_n =
= b₂ – q₂₁ b₁ .

Очевидно, что коэффициент (a₂₁ – q₂₁ a₁₁ ) при x₁ равен нулю. Вводя новые обозначения для коэффициентов

k=(2, …, n) ,

и свободного члена

можно переписать уравнение в виде

Аналогичную процедуру можно проделать с третьим уравнением системы. Умножая ведущее уравнение на q₃₁=a₃₁ /a₁₁ и вычитая результат умножения из третьего уравнения, получим эквивалентное уравнение

и т.д.

В результате рассмотренного первого шага исходная система уравнений превратится в эквивалентную систему уравнений, причем неизвестное x₁ входит только в первое уравнение:

На втором шаге ведущим объявляется второе уравнение системы и исключается неизвестное x₂ из уравнений с номерами от третьего до последнего. Исключение неизвестного проводится по схеме, описанной в первом шаге. Для исключения x₂ из третьего уравнения системы ведущее уравнение умножается на

и результат умножения вычитается из третьего уравнения, результирующий коэффициент при x₂ будет равен нулю. Для исключения x₂ из четвертого уравнения ведущее уравнение умножается на

и т.д. В результате второго шага (исключения неизвестного x₂) будет получена система уравнений, также эквивалентная исходной системе:

где введены новые обозначения для коэффициентов преобразуемых уравнений. Отметим, что неизвестное x₁ входит только в первое уравнение, а неизвестное x₂ - в первое и второе уравнения.

На (n-1) шаге исключается неизвестное x_n_-1 из последнего n-го уравнения, и в результате система уравнений принимает окончательный «треугольный» вид

Полученная система уравнений эквивалентна исходной системе уравнений. Описанный процесс последовательного исключения неизвестных носит название прямого хода метода Гаусса.

Определим обобщенные формулы для расчета коэффициентов системы в процессе прямого хода метода Гаусса. На i-м шаге неизвестное x_i исключается из всех уравнений с номерами k, где i+1 £ k £ n, при этом ведущее уравнение (с номером i) умножается на

и результат умножения вычитается из k-го уравнения. Новые значения коэффициентов (в уравнении с номером k) при неизвестных x_j, (i+1 £ j £ n) равны

новое значение свободного члена

Решение треугольной системы уравнений носит название обратного хода метода Гаусса и заключается в последовательном определении всех неизвестных, начиная с последнего x_n. Действительно, из последнего уравнения системы вытекает, что

Значение x_n_-1 получается при решении предпоследнего уравнения

Так как x_n уже определено, то

Эта процедура применяется последовательно ко всем уравнениям, включая и первое, из которого определяется

Обобщенная формула вычисления x_i имеет вид

В процессе прямого хода метода Гаусса может оказаться, что коэффициент a_ij⁽ⁱ^-1) ведущего уравнения равен нулю. Тогда исключить x_iиз остальных уравнений описанным методом нельзя. Однако уравнения системы можно поменять местами и объявить ведущим то уравнение, у которого коэффициент при неизвестном x_i отличен от нуля. Отметим, что системы, отличающиеся лишь взаимным расположением образующихих уравнений, являются эквивалентными. Перестановка уравнений не только допустима, но часто и полезна для уменьшения погрешности арифметических вычислений. Для уменьшения погрешности вычислений в качестве ведущего обычно выбирается уравнение с максимальным по модулю коэффициентом при x_i. Это уравнение и уравнение с номером i меняют местами, и процесс исключения продолжается обычным образом. Поиск максимального по модулю коэффициента приx_i носит название определение ведущего элемента.