ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение

Как определить диапазон голоса - ваш вокал

Игровые автоматы с быстрым выводом

Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими

Целительная привычка

Как самому избавиться от обидчивости

Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам

Тренинг уверенности в себе

Вкуснейший "Салат из свеклы с чесноком"

Натюрморт и его изобразительные возможности

Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д.

Как научиться брать на себя ответственность

Зачем нужны границы в отношениях с детьми?

Световозвращающие элементы на детской одежде

Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия

Как слышать голос Бога

Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ)

Глава 3. Завет мужчины с женщиной

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Производная неявной функции

Неявной называется функция вида

F(x, y) = 0.

Пример 8. Найти производную функции, заданную уравнением

и вычислить ее значение в точке ( 1, 2 ).

Решение. Дифференцируем уравнение по х, учитывая, что y = f(x).

В результате получим .

Отсюда находим производную функции

.

Затем вычисляем ее значение при х = 1 и у = 2

.

2.3. Применение дифференциального
исчисления; правило Лопиталя

Если имеется неопределенность вида или , то

.

Пример 9. (Пример Лопиталя). Найти предел отношения двух функций:

и при .

Решение. Очевидно, что .

То есть имеем неопределенность вида .

Для нахождения предела применяем правило Лопиталя. Найдем производные этих функций.

= = =

= ;

= = = = = .

Учитывая, что х ® а, окончательно получим

= = = .

Пример 10. Найти предел .

Решение. Обозначим

и

Очевидно, что имеется неопределенность вида . Применим правило Лопиталя. Найдем производные:

= =

= ; .

Окончательно получим

= = .

Пример 11. Найти предел .

Решение. Применяя правило Лопиталя, получим

= = = = = = = 2.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Таблица производных некоторых функций

1. = ;

2. = × ;

3. = ;

4. = × ;

5. = ;

6. = × ;

7. = ;

8. = × = ;

9. = ;

10. = ;

11. = × ;

12. = ;

13. ;

14. ;

15. = ;

16. = ;

17. = ;

18. = .

Приложение 2

Индивидуальные контрольные задания
по вариантам

Вариант № 1

1.Построить графики функций:

1.1. ;	1.2. ;	1.3. ;
1.4. ;	1.5. ;	1.6. ;
1.7. ;	1.8. ;	1.9. ;
1.10. ;	1.11. ;	1.12. ;
1.13. ;	1.14. ;	1.15. .

2.Задана числовая последовательность:

.

Требуется:

2.1. Записать 6 членов этой числовой последовательности;

2.2. При e = 0,1; при e = 0,01 и при e = 0,001 найти такой номер N (для каждого значения e ), что все члены последовательности, начиная с n > N оказываются внутри границы

A - e < x < A + e .

3.Доказать, что

3.1. ;

3.2. .

Найти х_о и d для значений e : e = 0,2; e = 0,02.

4.Найти пределы функций в бесконечности и в точке:

4.1. ;

4.2. ;

4.3. .

5.Найти пределы функций двумя способами:

- преобразованием и дальнейшим сокращением слагаемых числителя и знаменателя;

- применяя правило Лопиталя.

5.1. ;

5.2. .

6.Найти пределы:

6.1. ;

6.2. .

7.Найти производные функций:

7.1. ;

7.2. ;

7.3. .

8.Найти производные двумя способами:

- по правилам дифференцирования;

- с помощью логарифмирования.

8.1. ;

8.2. ;

8.3. .

9.Найти производную функции заданную уравнением

и вычислить ее значение при x = 1/2 ; y =2.

Вариант № 2

1.Построить графики функций:

1.1. ;	1.2. ;	1.3 ;
1.4. ;	1.5. ;	1.6. ;
1.7. ;	1.8. ;	1.9. ;
1.10. ;	1.11. ;	1.12. ;
1.13. ;	1.14. ;	1.15. .

2.Задана числовая последовательность:

.

Требуется:

2.1. Записать 6 членов этой числовой последовательности;

2.2. При e = 0,1; при e = 0,01 и при e = 0,001 найти такой номер N (для каждого значения e ), что все члены последовательности, начиная с n > N оказываются внутри границы

A - e < x < A + e .

3.Доказать, что

3.1. ; 3.2. .

Найти х_о и d для значений e: e = 0,2; e = 0,02.

4.Найти пределы функций в бесконечности и в точке:

4.1. ;

4.2. ;

4.3. .

5.Найти пределы функций двумя способами:

- преобразованием и дальнейшим сокращением слагаемых числителя и знаменателя;

- применяя правило Лопиталя.

5.1. ;

5.2. .

6.Найти пределы:

6.1. ;

6.2. .

7.Найти производные функций:

7.1. ;

7.2. ;

7.3. .

8.Найти производные двумя способами:

- по правилам дифференцирования;

- с помощью логарифмирования.

8.1. ;

8.2. ;

8.3. .

9.Найти производную функции заданную уравнением

и вычислить ее значение при x = 1 ; y =2.

Вариант № 3

1.Построить графики функций:

1.1. ;	1.2. ;	1.3. ;
1.4. ;	1.5. ;	1.6. ;
1.7. ;	1.8. ;	1.9. ;
1.10. ;	1.11. ;	1.12. ;
1.13. ;	1.14. ;	1.15. .

2.Задана числовая последовательность

.

Требуется:

2.1. Записать 6 членов этой числовой последовательности;

2.2. При e = 0,1; при e = 0,01 и при e = 0,001 найти такой номер N (для каждого значения e ), что все члены последовательности, начиная с n > N оказываются внутри границы

A - e < x < A + e .

3.Доказать, что

3.1. ;

3.2. .

Найти х_о и d для значений e: e = 0,2; e = 0,02 .

4.Найти пределы функций в бесконечности и в точке:

4.1. ;

4.2. ;

4.3. .

5.Найти пределы функций двумя способами:

- преобразованием и дальнейшим сокращением слагаемых числителя и знаменателя;

- применяя правило Лопиталя.

5.1. ;

5.2. .

6.Найти пределы:

6.1. ;

6.2. .

7.Найти производные функций:

7.1. ;

7.2. ;

7.3. .

8.Найти производные двумя способами:

- по правилам дифференцирования;

- с помощью логарифмирования.

8.1. ;

8.2. ;

8.3. .

9.Найти производную функции заданную уравнением:

и вычислить ее значение при x = 1; y =2.

Вариант № 4

1.Построить графики функций:

1.1. ;	1.2. ;	1.3. ;
1.4. ;	1.5. ;	1.6. ;
1.7. ;	1.8. ;	1.9. ;
1.10. ;	1.11. ;	1.12. ;
1.13. ;	1.14. ;	1.15. .

2.Задана числовая последовательность .

Требуется:

2.1. Записать 6 членов этой числовой последовательности;

2.2. При e = 0,1; при e = 0,01 и при e = 0,001 найти такой номер N (для каждого значения e ), что все члены последовательности, начиная с n > N оказываются внутри границы

A - e < x < A + e .

3. Доказать, что:

3.1. ; 3.2. .

Найти х_о и d для значений e: e = 0,2; e = 0,02.

4. Найти пределы функций в бесконечности и в точке:

4.1. ;

4.2. ;

4.3. .

5.Найти пределы функций двумя способами:

- преобразованием и дальнейшим сокращением слагаемых числителя и знаменателя;

- применяя правило Лопиталя.

5.1. ;

5.2. .

6.Найти предел:

6.1. ;

6.2. .

7.Найти производные функций:

7.1. ;

7.2. ;

7.3. .

8.Найти производные двумя способами:

- по правилам дифференцирования;

- с помощью логарифмирования.

8.1. ;

8.2. ;

8.3. .

9.Найти производную функции заданную уравнением:

.

и вычислить ее значение при x = 1/2; y =2.

Вариант № 5

1.Построить графики функций:

1.1. ;	1.2. ;	1.3. ;
1.4. ;	1.5. ;	1.6. ;
1.7. ;	1.8. ;	1.9. ;
1.10. ;	1.11. ;	1.12. ;
1.13. ;	1.14. ;	1.15. .

2.Задана числовая последовательность

.

Требуется:

2.1. Записать 6 членов этой числовой последовательности;

2.2. При e = 0,1; при e = 0,01 и при e = 0,001 найти такой номер N (для каждого значения e ), что все члены последовательности, начиная с n > N оказываются внутри границы

A - e < x < A + e .

3.Доказать, что

3.1. ;

3.2. .

Найти х_о и d для значений e : e = 0,2; e = 0,02 .

4.Найти пределы функций в бесконечности и в точке:

4.1. ;

4.2. ;

4.3. .

5.Найти пределы функций двумя способами:

- преобразованием и дальнейшим сокращением слагаемых числителя и знаменателя;

- применяя правило Лопиталя.

5.1. ;

5.2. .

6.Найти пределы:

6.1. ;

6.2. .

7.Найти производные функций:

7.1. ;

7.2. ;

7.3. .

8.Найти производные двумя способами:

- по правилам дифференцирования;

- с помощью логарифмирования.

8.1. ;

8.2. ;

8.3. .

9.Найти производную функции заданную уравнением

и вычислить ее значение при x = 2; y = 1.

Вариант № 6

1.Построить графики функций

1.1. ;	1.2. ;	1.3. ;
1.4. ;	1.5. ;	1.6. ;
1.7. ;	1.8. ;	1.9. ;
1.10. ;	1.11. ;	1.12. ;
1.13. ;	1.14. ;	1.15. .

2.Задана числовая последовательность

.

Требуется:

2.1. Записать 6 членов этой числовой последовательности;

2.2. При e = 0,1; при e = 0,01 и при e = 0,001 найти такой номер N (для каждого значения e ), что все члены последовательности, начиная с n > N оказываются внутри границы

A - e < x < A + e .

3.Доказать, что:

3.1. ;

3.2. .

Найти х_о и d для значений e: e = 0,2; e = 0,02 .

4.Найти пределы функций в бесконечности и в точке:

4.1. ;

4.2. ;

4.3. .

5.Найти пределы функций двумя способами:

- преобразованием и дальнейшим сокращением слагаемых числителя и знаменателя;

- применяя правило Лопиталя.

5.1. ;

5.2. .

6.Найти пределы:

6.1. ;

6.2. .

7.Найти производные функций:

7.1. ;

7.2. ;

7.3. .

8.Найти производные двумя способами:

- по правилам дифференцирования;

- с помощью логарифмирования.

8.1. ;

8.2. ;

8.3. .

9. Найти производную функции заданную уравнением:

и вычислить ее значение при x = 1; y =2.

Вариант № 7

1.Построить графики функций:

1.1. ;	1.2. ;	1.3. ;
1.4. ;	1.5. ;	1.6. ;
1.7. ;	1.8. ;	1.9. ;
1.10. ;	1.11. ;	1.12. ;
1.13. ;	1.14. ;	1.15. .

2.Задана числовая последовательность

.

Требуется:

2.1. Записать 6 членов этой числовой последовательности;

2.2. При e = 0,1; при e = 0,01 и приe = 0,001 найти такой номер N (для каждого значения e ), что все члены последовательности, начиная с n > N оказываются внутри границы

A - e < x < A + e .

3.Доказать, что:

3.1. ;

3.2. .

Найти х_о и d для значений e: e = 0,2; e = 0,02.

4.Найти пределы функций в бесконечности и в точке.

4.1. ;

4.2. ;

4.3. .

5.Найти пределы функций двумя способами:

- преобразованием и дальнейшим сокращением слагаемых числителя и знаменателя;

- применяя правило Лопиталя.

5.1. ;

5.2. .

6.Найти пределы:

6.1. ;

6.2. .

7.Найти производные функций:

7.1. ;

7.2 ;

7.3. .

8.Найти производные двумя способами:

- по правилам дифференцирования;

- с помощью логарифмирования.

8.1. ;

8.2. ;

8.3. .

9.Найти производную функции заданную уравнением

и вычислить ее значение при x = 1/2; y =2.

Вариант № 8

1.Построить графики функций

1.1. ;	1.2. ;	1.3. ;
1.4. ;	1.5. ;	1.6. ;
1.7. ;	1.8. ;	1.9. ;
1.10. ;	1.11. ;	1.12. ;
1.13. ;	1.14. ;	1.15. .

2.Задана числовая последовательность

.

Требуется:

2.1. Записать 6 членов этой числовой последовательности;

2.2. При e = 0,1; при e = 0,01 и приe = 0,001 найти такой номер N (для каждого значения e ), что все члены последовательности, начиная с n > N оказываются внутри границы

A - e < x < A + e .

3.Доказать, что:

3.1. ;

3.2. .

Найти х_о и d для значений e: e = 0,2; e = 0,02.

4.Найти пределы функций в бесконечности и в точке:

4.1. ;

4.2. ;

4.3. .

5.Найти пределы функций двумя способами:

- преобразованием и дальнейшим сокращением слагаемых числителя и знаменателя;

- применяя правило Лопиталя.

5.1. ;

5.2. .

6.Найти пределы:

6.1. ;

6.2. .

7.Найти производные функций:

7.1. ;

7.2. ;

7.3. .

8.Найти производные двумя способами:

- по правилам дифференцирования;

- с помощью логарифмирования.

8.1. ;

8.2. ;

8.3. .

9.Найти производную функции заданную уравнением

и вычислить ее значение при x = 1/2; y =2.

Вариант № 9

1. Построить графики функций

1.1. ;	1.2. ;	1.3. ;
1.4. ;	1.5. ;	1.6. ;
1.7. ;	1.8. ;	1.9. ;
1.10. ;	1.11. ;	1.12. ;
1.13. ;	1.14. ;	1.15. .

2.Задана числовая последовательность

.

Требуется:

2.1. Записать 6 членов этой числовой последовательности;

2.2. При e = 0,1; при e = 0,01 и приe = 0,001 найти такой номер N (для каждого значения e ), что все члены последовательности, начиная с n > N оказываются внутри границы

A - e < x < A + e.

3. Доказать, что:

3.1. ;

3.2. .

Найти х_о и d для значений e: e = 0,2;e = 0,02.

4.Найти пределы функций в бесконечности и в точке:

4.1. ;

4.2. ;

4.3. .

5.Найти пределы функций двумя способами:

- преобразованием и дальнейшим сокращением слагаемых числителя и знаменателя;

- применяя правило Лопиталя.

5.1. ;

5.2. .

6.Найти пределы:

6.1. ;

6.2. .

7.Найти производные функций:

7.1. ;

7.2. ;

7.3. .

8.Найти производные двумя способами:

- по правилам дифференцирования;

- с помощью логарифмирования.

8.1. ;

8.2. ;

8.3. .

9.Найти производную функции заданную уравнением

и вычислить ее значение при x = 1; y =2.

Вариант № 10

1.Построить графики функций:

1.1. ;	1.2. ;	1.3. ;
1.4. ;	1.5. ;	1.6. ;
1.7. ;	1.8. ;	1.9. ;
1.10. ;	1.11. ;	1.12. ;
1.13. ;	1.14. ;	1.15. .

2.Задана числовая последовательность

.

Требуется:

2.1. Записать 6 членов этой числовой последовательности;

2.2. При e = 0,1; при e = 0,01 и при e = 0,001 найти такой номер N (для каждого значения e ), что все члены последовательности, начиная с n > N оказываются внутри границы

A - e < x < A + e .

3.Доказать, что:

3.1. ;

3.2. .

Найти х_о и d для значений e : e = 0,2; e = 0,02 .

4.Найти пределы функций в бесконечности и в точке:

4.1. ;

4.2. ;

4.3. .

5.Найти пределы функций двумя способами:

- преобразованием и дальнейшим сокращением слагаемых числителя и знаменателя;

- применяя правило Лопиталя.

5.1. ;

5.2. .

6.Найти пределы:

6.1. ;

6.2. .

7.Найти производные функций:

7.1. ;

7.2. ;

7.3. .

8.Найти производные двумя способами:

- по правилам дифференцирования;

- с помощью логарифмирования.

8.1. ;

8.2. ;

8.3. .

9.Найти производную функции заданную уравнением

и вычислить ее значение при x = 1/2; y =2.

Вариант № 11

1.Построить графики функций:

1.1. ;	1.2. ;	1.3. ;
1.4. ;	1.5. ;	1.6. ;
1.7. ;	1.8. ;	1.9. ;
1.10. ;	1.11. ;	1.12. ;
1.13. ;	1.14. ;	1.15. .

2.Задана числовая последовательность

.

Требуется:

2.1. Записать 6 членов этой числовой последовательности;

2.2. При e = 0,1; при e = 0,01 и при e = 0,001 найти такой номер N (для каждого значения e ), что все члены последовательности, начиная с n > N оказываются внутри границы

A - e < x < A + e.

3.Доказать, что:

3.1. ;

3.2. .

Найти х_о и d для значений e: e = 0,2; e = 0,02 .

4.Найти пределы функций в бесконечности и в точке.

4.1. ;

4.2. ;

4.3. .

5.Найти пределы функций двумя способами:

- преобразованием и дальнейшим сокращением слагаемых числителя и знаменателя;

- применяя правило Лопиталя.

5.1. ;

5.2. .

6.Найти пределы:

6.1. ;

6.2. .

7.Найти производные функций:

7.1. ;

7.2. ;

7.3. .

8.Найти производные двумя способами:

- по правилам дифференцирования;

- с помощью логарифмирования.

8.1. ;

8.2. ;

8.3. .

9.Найти производную функции заданную уравнением

и вычислить ее значение при x = 1/2; y =2.

Таблица 1

Таблица вариантов контрольных заданий