ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Решение задачи многомерной оптимизации аналитическим методом

Необходимые условия существования точки экстремума:

откуда .

Начальная точка итерационного процесса численного решения задачи многомерной оптимизации

Выбрать начальную точку - .

Решение задачи численной оптимизации методами наискорейшего спуска, градиентного спуска с дроблением шага «ручным расчетом»

Из 6.8.3-3 в [2] имеем:

где

Построим функцию

Из условия определим параметр :

, k=0, 1,…

Произведем вычисления, а результаты представим в табл. 6.8-2:

k	x	y
		0.5	0.2097			27.75
	0.5806	-0.1290	0.3095	1.1613	-0.7742	26.3871
	0.2212	+0.1105	0.2097	0.4424	0.66359	26.0857
	0.1284	-0.0285	0.3095	0.2569	-0.171	26.0189

Xmin = 0.1284, ymin = -0.0285, f = 26.0189.

Погрешности после трех итераций

Вычислить погрешности после трех итераций:

Схема алгоритма, программа и результаты контрольного тестирования

Схемы алгоритмов оптимизации методами НСА и ГДШ приведены на рис. 6.8.4-2 и
рис. 6.8.3-2 в [2]. Программы студенты должны составить самостоятельно.

Решение задачи оптимизации на ПК

Получить решение на ПК по составленным программам с точностью Е=0.1; 0.05; 0.01; 0.001.

Результаты решения задачи оптимизации градиентным методом с дроблением шага (ГДШ) при точности вычисления минимума E=0.1; 0.05; 0.01; 0.001представлены в
табл. 6.8-3.

k	E	X	y
	0.1	1.0000	0.5000	27.75	0.0000	2.0000	3.0000
	0.2000	-0.7000	27.5100	0.4000	0.4000	-4.2000
	0.1200	0.1400	26.0732	0.2000	0.2400	0.8400
	0.0720	-0.0280	26.0075	0.2000	0.1440	-0.1680
	0.0144	0.0392	26.0048	0.4000	0.0288	0.2352
	0.0086	-0.0078	26.000
	0.05	1.0000	0.5000	27.75	0.0000	2.0000	3.0000
	0.2000	-0.7000	27.5100	0.4000	0.4000	-4.2000
	0.1200	0.1400	26.0732	0.2000	0.2400	0.8400
	0.0720	-0.0280	26.0075	0.2000	0.1440	-0.1680
	0.0144	0.0392	26.0048	0.4000	0.0288	0.2352
	0.0086	-0.0078	26.000
	0.01	1.0000	0.5000	27.75	0.0000	2.0000	3.0000
	0.2000	-0.7000	27.5100	0.4000	0.4000	-4.2000
	0.1200	0.1400	26.0732	0.2000	0.2400	0.8400
	0.0720	-0.0280	26.0075	0.2000	0.1440	-0.1680
	0.0144	0.0392	26.0048	0.4000	0.0288	0.2352
	0.0086	-0.0078	26.0002	0.2000	0.0172	-0.0470
	0.0051	0.0015	26.0000	0.2000	0.0103	0.0094
	0.0010	-0.0021	26.0000	0.4000	0.0020	-0.0131
	0.0006	0.0004	26.0000
	0.001	1.0000	0.5000	27.75	0.0000	2.0000	3.0000
	0.2000	-0.7000	27.5100	0.4000	0.4000	-4.2000
	0.1200	0.1400	26.0732	0.2000	0.2400	0.8400
	0.0720	-0.0280	26.0075	0.2000	0.1440	-0.1680
	0.0144	0.0392	26.0048	0.4000	0.0288	0.2352
	0.0086	-0.0078	26.0002	0.2000	0.0172	-0.0470
	0.0051	0.0015	26.0000	0.2000	0.0103	0.0094
	0.0010	-0.0021	26.0000	0.4000	0.0020	-0.0131
	0.0006	0.0004	26.0000	0.2000	0.0012	0.0026
	0.0003	-0.0000	26.0000

Результаты решения задачи оптимизации градиентным методом наискорейшего спуска (НСА) свести в табл. 6.8-3:

K	E	x	y
	0.1	1.0000	0.5000	0.0000	0.2096	2.0000	3.0000
	0.5806	-0.1290	26.3870	0.3095	1.1612	-0.7741
	0.2211	0.1105	26.0856	0.2096	0.4423	0.6635
	0.1284	-0.0285	26.0189	0.3095	0.2568	-0.1712
	0.0489	0.0244	26.0041	0.2096	0.0978	0.1467
	0.0284	-0.0063	26.0009
	0.05	1.0000	0.5000	0.0000	0.2096	2.0000	3.0000
	0.5806	-0.1290	26.3870	0.3095	1.1612	-0.7741
	0.2211	0.1105	26.0856	0.2096	0.4423	0.6635
	0.1284	-0.0285	26.0189	0.3095	0.2568	-0.1712
	0.0489	0.0244	26.0041	0.2096	0.0978	0.1467
	0.0284	-0.0063	26.0009	0.3095	0.0568	-0.0378
	0.0108	0.0054	26.0002
	0.01	1.0000	0.5000	0.0000	0.2096	2.0000	3.0000
	0.5806	-0.1290	26.3870	0.3095	1.1612	-0.7741
	0.2211	0.1105	26.0856	0.2096	0.4423	0.6635
	0.1284	-0.0285	26.0189	0.3095	0.2568	-0.1712
	0.0489	0.0244	26.0041	0.2096	0.0978	0.1467
	0.0284	-0.0063	26.0009	0.3095	0.0568	-0.0378
	0.0108	0.0054	26.0002	0.2096	0.0216	0.0324
	0.0062	-0.0013	26.0000	0.3095	0.0125	-0.0083
	0.0023	0.0011	26.0000
	0.001	1.0000	0.5000	0.0000	0.2096	2.0000	3.0000
	0.5806	-0.1290	26.3870	0.3095	1.1612	-0.7741
	0.2211	0.1105	26.0856	0.2096	0.4423	0.6635
	0.1284	-0.0285	26.0189	0.3095	0.2568	-0.1712
	0.0489	0.0244	26.0041	0.2096	0.0978	0.1467
	0.0284	-0.0063	26.0009	0.3095	0.0568	-0.0378
	0.0108	0.0054	26.0002	0.2096	0.0216	0.0324
	0.0062	-0.0013	26.0000	0.3095	0.0125	-0.0083
	0.0023	0.0011	26.0000	0.2096	0.0047	0.0071
	0.0013	-0.0003	26.0000	0.3095	0.0027	-0.0018
	0.0005	0.0002	26.0000	0.2096	0.0010	0.0015
		0.0003	-0.0000	26.0000

Координаты точки минимума и значения функции, вычисленные с точностью Е:

Метод	E	k	x	y	f(x,y)
ГДШ	0.1		0.008640	-0.007840	26.000260
0.05		0.008640	-0.007840	26.000260
0.01		0.000622	0.000439	26.000000
0.001		0.000373	-0.000087	26.000000
НСА	0.1		0.028411	-0.006313	26.000930
0.05		0.010823	0.005412	26.000200
0.01		0.002394	0.001197	26.000010
0.001		0.000308	-0.000068	26.000000

Траектория поиска минимума.

Построим траекторию поиска минимума:

Решение задачи оптимизации с помощью математических пакетов

При использовании пакета Mathcad для минимума функции двух переменных используется функция minerr(x). Функция требует задания начальных условий для поиска (x и y) и описания целевой функции. После задания начала вычислительного блока (Given) требуется задать условия минимизации.

Для решения задачи оптимизации функций нескольких переменных в MatLab используются x = fminsearch(fun, x0) ,где fun – целевая функция, а x0 – вектор начальных условий.

x0=[1; 0.5]; [x, f, e_flag, inform] = fminsearch('x(1)^2+3*x(2)^2+26', x0) x = 1.0e-004 * 0.1851 -0.3507 f = 26.0000 inform = iterations: 41 funcCount: 77

6.8.6. Контрольные вопросы по теме

Многомерная оптимизация

На какие задачи делится задача оптимизации в зависимости от количества

параметров целевой функции?

Какая функция называется целевой функцией?
Как называется задача оптимизации, если на значения параметров оптимизации существуют ограничения?
Что такое градиент?
Куда направлен антиградиент?
Чему равен модуль антиградиента в точке минимума?
Что такое линия уровня?
Что такое траектория спуска?
Что является условием окончания итерационного процесса по отысканию точки минимума в методах спуска?
Что является условием существования минимума для функции от двух переменных?
Как выбирается начальная точка при решении задачи многомерной оптимизации?
Для минимизации каких функций применяются методы спуска?
С каким направлением в градиентных методах совпадает движение к точке минимума?
Что является достаточным условием существования минимума функции нескольких переменных?
Какая точка называется точкой стационарности ?
Что показывает модуль градиента?
Во сколько раз уменьшается шаг на каждой итерации в градиентном методе с дроблением шага (ГДШ)?
Исходя из каких условий выбирается шаг на каждой итерации в методе наискорейшего спуска (НС)?
Какое значение в методе ГДШ принимается за начальное значение шага ?
Из какого условия выбирается величина шага спуска в аналитическом методе наискорейшего спуска?
Как осуществляется поиск очередной точки траектории спуска в методе наискорейшего спуска?
Что нужно сделать, чтобы повысить точность определения точки минимума в методах многомерной оптимизации?
Что нужно сделать, чтобы с использованием метода наискорейшего спуска найти максимум функции f(x₁, x₂)?
Какой метод позволяет избежать «овражного» эффекта?
Для чего используется метод одномерной оптимизации в численном методе наискорейшего спуска (НСЧ)?
Как называется множество точек, для которых целевая функция принимает постоянное значение ?
Как называется вектор первых частных производных целевой функции?
Относится ли к методам многомерной оптимизации правило Рунге?
В методах многомерной оптимизации существует ли группа методов, в которых точка минимума (максимума) функции находится путем вложенных отрезков?
Относится ли к методам многомерной оптимизации метод наискорейшего спуска?