ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Проверка существования минимума функции

Тема 6.8. Лабораторная работа

Методы многомерной оптимизации

Вопросы, подлежащие изучению

1.Постановка задачи многомерной оптимизации.

2.Классификация задачи оптимизации.

3.Основные понятия: выпуклое множество, целевая функция, линии уровня, поверхности уровня, градиент скалярной функции и его свойства, локальный и глобальный минимум, выпуклая функция, условия существования минимума функции нескольких переменных.

4.Градиентные методы и алгоритмы оптимизации: метод с дроблением шага; метод наискорейшего спуска аналитический; метод наискорейшего спуска численный.

5.Основные свойства градиентных методов оптимизации, различия методов.

6.Начальная точка траектории поиска минимума, свойства траектории, условия окончания процесса оптимизации.

Задание

1. Выбрать индивидуальное заданиеиз табл. 6.8-1 для решения задачи оптимизации функции нескольких переменных:

· функцию – f(x, y);

· метод оптимизации для «ручного расчета» – определяется значением параметра p;

· метод оптимизации для «расчета на ПК» – значения параметровt и r.

2. Проверить условия существования точки минимумазаданной функции f(x).

3. Решить задачу многомерной оптимизации аналитическим методом.

4. Выбрать начальную точку x₀, y₀итерационного процесса оптимизации.

5. Решить задачу оптимизации « ручным расчетом»(3 итерации) выбранным методом.

6. Вычислить погрешности

7. Составить схему алгоритма, программу решения задачи оптимизации и провести контрольное тестирование.

8. Решить задачу многомерной оптимизации «расчетом на ПК» при точности определения минимума E=0.1, 0.05, 0.01, 0.001.

9. Построить траекторию поиска минимума по результатам «расчета на ПК» и изобразить схематически линии уровня, проходящие через точки траектории. На графике указать точку минимума, найденную в п.3 задания.

10. Решить задачу оптимизации спомощью математических пакетов.

Варианты задания

Таблица 6.8-1

№	Функция	р	t	r
	2 x² + 3 y² – 5 x + 6
	x² + 2 y² – 3 y + 7
	3 x² + y² – 15
	3 x² + 5 y² + x – 2
	2 x² + 3 y² + 2 x – 3 y
	5 x² + 2 y² + 3 x + 10
	4 x² + 3 y² – 3 y – 7
	5 x² + 6 y² + 3 x – 2 y + 3
	3 x² + y² + - 3 x + y – 2
	6 x² + 5 y² – 10
	5 x² + 2 y² – 2 x
	x² + 2 y² – 3 x + 5 y + 1
	x² + 4 y² – 2 x
	4 x² + 3 y² + y + 3
	3 x² + y² + 3
	6 x² + 4 y² – 5 x + 3 y –13
	5 x² + y² + x
	x² + 4 y² – 2 x + 3 y + 5
	2 x² + 5 y² + 2 y + 3
	x² + 3 y² – x + 2 y + 7
	3 x² + y² – y + 3
	6 x² + 3 y² + 10
	5 x² + 4 y² – 4 x – 11
	x² + 2 y² – x – y
	3 x² + 2 y² – 5 y + 1
	3 x² + 4 y² – 2 x + 3 y – 5
	4 x² + 5 y² + 2 x – 4 y + 12
	6 x² + 3 y² – 4 x + 17
	x² + 5 y² – x + 2 y + 10
	3 x² + y² – 10

В табл. 6.8-1 р, t – номер метода решения задачи оптимизации: 1 – ГДШ; 2 – НСЧ;
3 – НСА, а r – номер метода, используемого в подпрограмме при использовании метода НСЧ: 1 – метод дихотомии; 2– метод золотого сечения.

Содержание отчета

1.Индивидуальное задание.

2.Результаты проверки условия существования точки минимума.

3.Аналитическое решение задачи оптимизации.

4.Начальная точка численного процесса оптимизации.

5.Результаты «ручного расчета» задачи оптимизации выбранными методами (3 итерации), представленные в табл. 6.8-2.

Таблица 6.8-2

k	x	y

6.Значения погрешностей выбранных методов после
трех итераций.

7.Схемы алгоритмов и программы используемых численных методов оптимизации и результаты контрольного тестирования при точности вычисления минимума E = 0.1; 0.05; 0.01; 0.001.

8.Результаты решения задачи многомерной оптимизации «расчетом на ПК», представленные в табл. 6.8-3.

Таблица 6.8-3

K	E	x	y
	0.1





	0.05






	0.01








	0.001

9.Траектория поиска минимума.

10.Результаты выполнения задания, полученные с помощью математических пакетов.

Пример выполнения задания

1. Задание для решения задачи многомерной оптимизации:

· функция – ;

· метод оптимизации для «ручного расчета» - значение параметра p=3;

· метод оптимизации для расчета на ПК – значение параметра t=1.

Проверка существования минимума функции

Из [2] известно, что всякий глобальный минимум выпуклой функции является одновременно и локальным.

Проверить, что функция является выпуклой на множестве R.

Матрица Гессе для функции :

а угловые миноры:

Таким образом, функция - выпуклая на множестве R.