ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Решение задачи Коши ОДУ с помощью математических пакетов

Для решения с использованием пакета Mathcad ОДУ 1-го порядка методом Эйлера необходимо задать начальные условия: x₀, y₀, шаг интегрирования – h и количество вычисляемых точек – n. Используемый в расчетах параметр i показывает номер итерации. Результаты, полученные по формулам метода Эйлера, выводятся в форме таблицы, где помимо приближенного решения (y_i) получено точное решение (y_i) и погрешности (y_i - yt_i):

Пакет MatLab включает несколько функций, реализующих различные методы решения задачи Коши для ОДУ. Синтаксически эти функции различаются лишь именами, способ обращения к ним одинаков.

Так, например, в функции ode45( ) используется явный метод Рунге-Кутты 4-го и 5-го порядков. Если характеристики задачи неизвестны, рекомендуется первую попытку решения сделать с помощью этой функции. В функции ode23( ) используется явный метод Рунге-Кутты 2-го и 3-го порядков. В функции ode23t ( ) реализован неявный метод Рунге-Кутты с первым шагом по методу трапеции и вторым шагом по методу «дифференцирования назад» 2-го порядка.

Простейшее обращение к любой функции ode***( ) имеет следующий вид:

[xout, yout]=ode***(fun,xspan, y0),

где: fun - указатель на функцию вычисления правых частей дифференциального уравнения;

tspan - вектор, содержащий “контрольные значения” независимой переменной;

y0- начальное значение зависимой переменной;

xout - вектор-столбец контрольных значений независимой переменной;

yout - решение, представленное массивом, в котором каждая строка соответствует одному элементу в столбце tout.

Опишем функцию вычисления правых частей дифференциального уравнения

function dydx = fun(x,y) dydx = [y];

Задав начальные условия, обратимся к функциям ode23( ) и ode45( )

xspan=0:0.1:1 y0=[1]; options=odeset('InitialStep',0.1); [xout,yout]=ode23(@fun,xspan,y0); xout yout

xspan = 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000

xout = 0.1000 0.2000 0.3000 0 .400 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 0.0000

yout = 1.0000 1.1052 1.2214 1.3498 1.4918 1.6487 1.8221 2.0137 2.2255 2.4595 2.7182

xspan=0:0.1:1 y0=[1]; options=odeset('InitialStep',0.1); [xout,yout]=ode45(@fun,xspan,y0); xout yout

xspan= 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000

xout= 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000

yout= 1.0000 1.1052 1.2214 1.3499 1.4918 1.6487 1.8221 2.0138 2.2255 2.4596 2.7183

6.5.6. Контрольные вопросы по теме
Методы решения дифференциальных уравнений

Что такое обыкновенное дифференциальное уравнение?
Что такое порядок ОДУ?
Что называется аналитическим решением ОДУ 1-го порядка?
Что является общим решением ОДУ ?
Что является геометрической интерпретацией общего решения ОДУ ?
Что является частным решением ОДУ ?
Что является численным решением ОДУ ?
Что относится к начальным условиям при решении ОДУ 1-го порядка численными методами?
Имеет ли задача Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка единственное решение?
По какому правилу проводят оценку погрешности решения методов Рунге-Кутты?
Как выглядит формула для определения очередного значения функции по методу Рунге-Кутты 1-го порядка?
Уменьшение шага интегрирования при использовании методов Рунге-Кутты приводит к уменьшению или увеличению погрешности?
В обыкновенном дифференциальном уравнении присутствуют производные разных порядков от одной переменной или только первая производная от нескольких переменных?
Методы Рунге-Кутты являются одношаговыми или двухшаговыми методами?
Сколько раз на каждом шаге необходимо вычислять в модифицированном методе Эйлера?
Очередная точка решения ОДУ методом Рунге-Кутты вычисляется на основании одного или двух предыдущих значений функции?
Возможно ли в методах Рунге-Кутты применение переменного шага интегрирования?
Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием или дифференцированием?
Каковы формулы оценки погрешности методов Рунге-Кутты?
Почему метод Эйлера называют методом Рунге-Кутты первого порядка?
Модифицированный метод Эйлера относится к методам Рунге-Кутты решения ОДУ 1-го или 2-го порядка?
Что требуется предварительно сделать, чтобы применить методы Рунге-Кутты при решении ОДУ 2-го порядка?
С помощью чего при оценке погрешности метода автоматического выбора шага учитывается порядок используемого метода Рунге-Кутты?
С помощью какого параметра происходит достижение заданной точности решения ОДУ в методе автоматического выбора шага?
Можно ли оценить погрешность решения ОДУ,не зная точного решения?
В каком методе решения ОДУподынтегральная функция на отрезке аппроксимируется интерполяционным многочленом 1-го порядка, а затем интегрируется методом прямоугольников?
В каком методе решения ОДУ подынтегральная функция на отрезке [x_i;x_i₊₁] аппроксимируется интерполяционным многочленом 1-го порядка, а затем интегрируется методом трапеции?
Что является начальными условиями ОДУn-го порядка (для n=2)?

29.Сколько ОДУ 1-го порядка будет содержать система, построенная для решения n-го

порядка?