ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Листинг 5.4. Файл Iterac.m.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Сформировать у студентов представление о прямых и итерационных методах решения систем линейных уравнений, выработать умения составлять и применять алгоритмы и программы для решения систем уравнений, дать навыки в использовании программных средств для решения систем уравнений.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Изучить теоретическую часть. Выполните задания, соответствующие номеру Вашего варианта, и продемонстрируйте их преподавателю.

2. Оформите отчет по лабораторной работе, который должен содержать:

· титульный лист;

· исходные данные варианта;

· решение задачи;

· результаты решения задачи.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Пример 5.1.

Найти решение системы методом Гаусса:

Решение:

Создать файл Exchange.m (листинг 5.1), содержащий описание функции, осуществляющей перестановку строк при обнаружении в текущей строке нулевого элемента на главной диагонали.

Листинг 5.1. Файл Exchange.m.

function z=Exchange(C,i)

k=i+1;

while C(k,i)==0

k=k+1;

end;

for j=1:size(C,1)

s=C(i,j);

C(i,j)=C(k,j);

C(k,j)=s;

end;

z=C;

2. Создать файл Simplex.m (листинг 5.2), содержащий описание функции, возвращающей расширенную матрицу системы к диагональному виду.

Листинг 5.2. Файл Simplex.m.

function z=Simplex(A,b)

N=size(A,1); % Определение числа уравнений системы

C=cat(2,A,b); % Создание расширенной матрицы системы

for i=1:N-1

if C(i,i)==0

C=Exchange(C,i);

end;

for j=0:N

C(i,N+1-j)=C(i,N+1-j)/C(i,i);

end;

for m=i+1:N

alpha=C(m,i);

for j=i:N+1

C(m,j)=C(m,j)-alpha*C(i,j);

end;

C(N,N+1)=C(N,N+1)/C(N,N);

C(N,N)=1;

z=C;

3. Создать файл Gauss.m (листинг 5.3), содержащий описание функции, возвращающей решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

Листинг 5.3. Файл Gauss.m.

function z=Gauss(A,b)

C=Simplex(A,b);

N=size(A,1);

v(N)=C(N,N+1);

for j=1:N-1

s=0;

for k=0:j-1

s=s+C(N-j,N-k)*v(N-k);

end;

v(N-j)=(C(N-j,N+1)-s)/C(N-j,N-j);

end;

z=v';

4. Задать матрицу системы линейных уравнений:

>> A=[1.23,-3.25,-8.69;7.03,4.81,0.27;4.49,-7.55,12.51]

A =

1.2300 -3.6900 -8.6900

7.0300 4.8100 0.2700

4.4900 -7.5500 12.5100

5. Задать вектор-столбец свободных членов:

>> b=[10.33;-6.43;41.53]

b =

10.3300

-6.4300

41.5300

6. Решить систему уравнений, использую функцию Gauss( ):

>> x=Gauss(A,b)

x =

1.6468

-3.7694

0.4540

7. Проверить правильность решения системы линейных уравнений:

>> A*x

ans =

10.3300

-6.4300

41.5300

Ответ: решением системы методом Гаусса является вектор-столбец .

Пример 5.2.

Решить систему линейных алгебраических уравнений методом итерации с точностью 0,001:

Решение:

Для начала преобразуем данную систему к виду пригодному для итерационного процесса:

1. Возьмем первым уравнением второе, третьим - третье, а вторым сумму первого и третьего уравнений:

2. Разделим каждое уравнение на диагональный коэффициент и выразим из каждого уравнения диагональное неизвестное:

3. Создайте файл Iterac.m (листинг 5.4), содержащий описание функции, возвращающей решение системы линейных уравнений методом простой итерации.

Листинг 5.4. Файл Iterac.m.

function Iterac(C1,d1,eps)

N=size(C1,1);

R1=d1;

q1=R1;

q2=(C1*q1)+R1;

p=0;

s=0;

for i=1:N

if abs(q2(i)-q1(i))>s

s=abs(q2(i)-q1(i));

end;

while s>eps

p=p+1;

q1=q2;

q2=(C1*q1)+R1;

s=0;

for i=1:N

if abs(q2(i)-q1(i))>s

s=abs(q2(i)-q1(i));

end;

(C1*q2)+R1-q2

abs(q2-q1)

4. Задайте матрицу системы, приведенной к виду, пригодному для метода простой итерации:

>> A=[0,-0.6842,-0.0384;0.5296,0,0.3537;-0.3589,0.6035,0]

A =

0 -0.6842 -0.0384

0.5296 0 0.3537

-0.3589 0.6035 0

5. Задайте вектор-столбец свободных членов:

>> b=[-0.9146;-4.8018;3.3197]

b =

-0.9146

-4.8018

3.3197

6. Найдите решение системы линейных уравнений:

>> Iterac(A,b,0.001)

q2 =

1.6469

-3.7688

0.4537

ans =

1.0e-003 *

-0.3175

-0.3475

0.4688

p =

ans =

1.0e-003 *

0.5043

0.4768

0.2273

Ответ: решением системы является вектор-столбец , полученный на 11 шаге итерации.

Пример 5.3.

Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Зейделя с точностью 0,001:

Решение:

1. Создать файл Zeidel.m (листинг 5.5), содержащий описание функции, выполняющей последовательно: а) приведение системы к нормальному виду; б) приведение нормальной системы к виду, пригодному для итерационного процесса Зейделя; в) реализацию итерационного процесса Зейделя.