ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Задания для аудиторной работы

Задание 1.1.Найти канонические разложения чисел

Решение.

Следовательно, 627 = 3∙11∙19, 399 = 3∙7∙19.

Задание 1.2.Найти НОД (627,399), воспользовавшись: а) алгоритмом Евклида; б) разложением чисел на простые множители.

Решение. Применим алгоритм Евклида:

627 = 399 ∙ 1 + 228;

399 = 228 ∙ 1 + 171;

228 = 171 ∙ 1 + 57;

171 = 57∙ 3. Следовательно, НОД (627; 399) = 57.

Найдем НОД (а, ), воспользовавшись разложением на простые множители чисел и полученным в решении задания 1.1:

627 = 3 ∙ 11∙ 19; 399 = 3 ∙ 7 ∙ 19.

Следовательно, наибольшим общим делителем будет произведение одинаковых множителей, входящих как в одно, так и в другое разложения чисел НОД (627; 399) = 3 ∙ 19 = 57.

Найдем НОД (а, ) методом вычитаний:

627 – 399 = 228; 399 – 228 = 171; 228 – 171 = 57; 171 – 57 = 114;

114 – 57 = 57; 57 – 57 = 0. Следовательно, НОД (627; 399) = 57.

Задание 1.3.С помощью расширенного алгоритма Евклида найти целые числа , удовлетворяющие соотношению Безу: для целых чисел

Решение. Сначала найдем по алгоритму Евклида НОД (110, 48):

110 = 48 ∙ 2 + 14;

48 = 14 ∙ 3 + 6;

14 = 6 ∙ 2 + 2;

6 = 3 ∙ 2. Следовательно, НОД (110, 48) = 2.

Теперь построим соотношение Безу для данных и :

110 = 48 ∙ 2 + 14; поэтому 14 = 110 + 48 ∙ (–2);

48 = 14 ∙ 3 + 6; поэтому 6 = 48 + 14 ∙ (–3);

14 = 6 ∙ 2 +2; поэтому 2 = 14 + 6 ∙ (–2). В это равенство подставим выше полученное выражение для 6 и приведем подобные относительно чисел 48 и 14. Итак 2 = 14 + 6 ∙ (–2) = 14 + (48 + 14 ∙ (–3))( –2) = 14 ∙ 7 + 48 ∙ (–2).

В полученное выражение для НОД (110, 48) = 2 подставим вышеприведенное выражение числа 14. Получим окончательно

2 = 14 ∙ 7 + 48 ∙ (–2) = (110 + 48 ∙ (–2)) 7 + 48 ∙ (–2) = 110 ∙ 7 + 48 ∙ (–16) = 2.

Задание 1.4.

а) записать в двоичной системе счисления число 137.

Решение. Проведем последовательные деления на 2:

_137 | 2

12 | _68 | 2

_17 68 | _34 | 2

16 0 34 | _17 | 2

1 0 16 | _8 | 2

1 8 | _4 | 2

0 4 | _2 | 2

0 2 | _1 | 2

0 0 | 0

Число записываем по остаткам деления на 2, но в обратном порядке:

137 = 10001001₂;

б) перевести число 10001001₂ в десятичную систему:

1 0 0 0 1 0 0 1₂ = (1 ∙ 2⁷ + 0 ∙ 2⁶ + 0 ∙ 2⁵ ∙ 0 ∙ 2⁴ + 1 ∙ 2³ + 0 ∙ 2² + 0 ∙ 2¹ + 1 ∙ 2⁰) =

= 7 6 5 4 3 2 1 0.

(2⁷ +2³ +1)₁₀ = 128 + 8 +1 = 137₁₀;

в) перевести число 10000 в восьмеричную систему счисления:

_10000 | 8

8 | _1250 | 8

_20 8 | _156 | 8

16 _45 8 | _19 | 8

_40 40 _76 16 | _2 | 8

40 _50 72 3 0 | 0

0 48 4 2

10000₁₀ = 23420₈.

Задание 1.5.Умножение и сложение в 16-ричной системе счисления.

В 16-ричной системе счисления используются цифры и латинские буквы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, B, C, D, E, F. Здесь буква А – это число 10, буква В – 11, С – 12, D – 13, E – 14, F – 15.

Для выполнения арифметических операций в 16-ричной системе построим таблицу 1.1 и таблицу 1.2.

Таблица 1.1

Сложение чисел в 16-ричной системе счисления

Таблица 1.2

Умножение чисел в 16-ричной системе счисления

1А

1С

1Е

Разберем пример сложения чисел непосредственно и с применением табл. 1.1.

(2 пишем, 1 переносим в старший разряд);

( пишем в сумме);

(1 пишем, 1 переносим в старший разряд);

(4 пишем, 1 переносим в старший разряд);

( пишем).

Табл. 1.1 используется так: первое слагаемое (в данном примере или ) отыскивается в строке таблицы сверху; второе слагаемое
(в примере соответственно 3, 7, 8, 9 или 2) – в крайнем левом столбце, а сумма чисел находится внутри таблицы на пересечении столбца и строки:

Таблицу сложения (см. таблицу 1.1) можно использовать и как таблицу для вычитания чисел:

6 – 8 (для вычитания берем единицу второго разряда и превращаем в 10 единиц первого, во втором разряде осталось 7 единиц);

10 + 6 – 8 = 16 – 8 = Е;

7 – 8 (для вычитания берем единицу третьего разряда, но так как записан 0, берем единицу четвертого разряда, превращаем ее в 10 единиц третьего разряда и единицу третьего – в 10 единиц второго; в четвертом разряде остались 2 единицы, в третьем – F единиц);

10 + 7 – 8 = 17 – 8 = F;

F – 9 – 6;

2 – 8 (для вычитания единицу пятого разряда превращаем в 10 единиц четвертого);

10 + 2 – 8 = 12 – 8 = А.

Для нахождения разности двух чисел по табл. 1.1 вычитаемое отыскивается в верхней строке, уменьшаемое – внутри таблицы в столбце, соответствующем вычитаемому, разность берется в крайнем левом столбце в соответствии с уменьшаемым.

Здесь умножение выполнялось следующим образом: (0 пишем, 2 переносим в старший разряд).

(А пишем, 4 – в старший разряд);

(3 пишем, С – пишем);

(С пишем, 1 – в старший разряд);

(0 пишем, 4 – в старший разряд);

(3 пишем, 5 пишем);

(С пишем);

(B пишем, 1 – в старший разряд);

(1 пишем, 6 пишем).

Отобразим схему решения (используем таблицу 1.2):

×	…		×	…		×	…
…		↓	…		↓	…		↓
	→			→	1C		→	C
…		↓	…		↓	…		↓
	→			→			→
…		↓	…		↓	…		↓
	→			→	3F		→	1B

Задание 1.6.

а) найти остаток от деления 2¹⁰⁰ на 3.

Решение.1-й способ: 2 делится на 3 с остатком 2, 2² делится на 3 с остатком 1. При дальнейшем возведении двойки в степень остатки от деления будут чередоваться: 2, 1, 2, 1, 2 … . Значит, в силу четности степени 100 остаток от деления требуемого числа на 3 будет равен 1.2-й способ – методом сравнений, по аналогии с примером 1.6: ;

б) найти остаток от деления на 7.

Решение. Заменим каждое число на его остаток от деления на 7:

_1989 | 7 _1990 | 7 1991 = 7 ∙ 284 + 3;

14 | 284 14 | 284

_58 _59 1992 = 7 ∙ 284 + 4.

5656

_29 _30

2828

1 2

1 ∙ 2 ∙ 3 + 4³ = 6 + 64 = 70. 70 : 7 = 10. Следовательно, остаток равен нулю;

в) найти остаток от деления на 8.

Решение. Заменим 9 на его остаток 1 от деления на 8. Имеем . Значит, остаток от деления на 8 равен 1;

г) найти остаток от деления на 7.

Решение. 3 делится на 7 с остатком 3. делится на 7 с остатком 2. Далее достаточно на 3 умножить только остаток и сделать выводы. делится на 7 с остатком 6, делится на 7 с остатком 4, делится на 7 с остатком 5,
делится на 7 с остатком 1, делится на 7 с остатком 3. Получили один из предыдущих остатков, значит «зациклились». Число дает тот же остаток деления на 7, что и 3¹. Значит, длина цикла равна 6. . Число дает тот же остаток от деления на 7, что и , т. е. 6.