ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Постановка задачи численного дифференцирования и простейшие формулы численного дифференцирования

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Тульский государственный университет»

Политехнический институт

Кафедра "Автоматизированные станочные системы"

Методические указания к

Лабораторной работе № 4

ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
И ИНТЕГРИРОВАНИЕ

по дисциплине

«ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА»

Направление подготовки: 230100 – «Информатика и вычислительная техника»

Специальность: 230104 «Системы автоматизированного проектирования»

Форма обучения: очная

Тула 2012

Методические указания к лабораторным работам составлены профессором Ямниковой О.А. и обсуждены на заседании кафедры «Автоматизированные станочные системы» механико-технологического факультета

протокол №1 от "31" августа 2011 г.

Зав. кафедрой ________________________ А.Н. Иноземцев

Методические указания к лабораторным работам пересмотрены и утверждены на заседании кафедры «Автоматизированные станочные системы» механико-технологического факультета

протокол №1 от "____" ___________20___ г.

Зав. кафедрой ________________________ А.Н. Иноземцев

1. Цель и задачи работы

Получить навык

- построения расчетной интерполяционной формулы для нахождения производной и вычисления определенного интеграла функции, заданной таблично;

- разработки программных средств для дифференцирования и интегрирования функции, заданной таблично.

Теоретические положения

Постановка задачи численного дифференцирования и простейшие формулы численного дифференцирования

Простейшие выражения для производных получаются в результате дифференцирования интерполяционных форм. Рассмотрим следующую задачу. На сетке в узлах заданы значения функции f, непрерывно дифференцируемой n+m+1 раз. Требуется вычислить производную и оценить погрешность.

Один из возможных способов решения этой задачи заключается в следующем. Построим для функции f по узлам интерполяционный многочлен с остаточным членом , так что

. (1)

Продифференцируем правую и левую части соотношения (1) m раз и положим :

. (2)

Для достаточно гладких функций, т.е. для функций с ограниченными производными, необходимым количеством узлов и заданной точностью величиной, величина мала и является хорошим приближенным для , так что можно положить

. (3)

Остановимся более подробно на получении расчетных формул для и в узлах равномерной сетки. Для получения производных в узловых точках целесообразно использовать интерполяционный многочлен Стирлинга и его остаточный член. Так дифференцируя многочлен Стирлинга и его остаточный член по x и полагая ( ), получим следующие выражения для производной:

(k=1) (4)

(k=2) (5)

Дифференцируя многочлен Стирлинга два раза по x и вычисляя значение второй производной в точке имеем

(k=1) (6)

(k=2) (7)

Для вычисления производной точно в середине между узлами применяют многочлен Бесселя. В этом случае соответствующие формулы для производной имеют вид

(k=1) (8)

(k=2) (9)

Практический интерес представляют также так называемые формулы одностороннего дифференцирования, позволяющие вычислить по узлам (i=0,1,…,k,… или i=0,- 1,…,- k,…). Построение этих формул удобно провести с помощью первого и второго интерполяционных многочленов Ньютона.

Дифференцируя первый многочлен Ньютона по x и вычисляя значение производной в точке (t = 0) для k=1 и k=2 получим соответственно следующие формулы: