ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИЧЕСКОЙ КИНЕТИКИ

1. Средняя длина свободного пробега, эффективный диаметр

молекул.

При формулировке ряда задач физической кинетики существенное значение имеет характер взаимодействия молекул. В газах это взаимодействие осуществляется путем столкновения молекул. В течение значительных промежутков времени молекулы находятся сравнительно далеко друг от друга и их взаимодействие пренебрежимо мало. Молекулы вступают во взаимодействие лишь на короткие промежутки времени, во время их «столкновений». В противоположность этому, молекулы жидкости находятся в непрерывном взаимодействии и поэтому нет смысла рассматривать отдельно "столкновения" молекул жидкости.

В тех случаях, когда применимо понятие столкновений молекул, можно ввести важную характеристику газа в данном состоянии - длину свободного пробега молекул . Эта величина представляет собой среднее расстояние между двумя последовательными столкновениями. Для среднего времени между двумя столкновениями молекул имеем

, (1)

где - величина средней скорости теплового движения молекул. Тогда среднее число столкновений молекулы за 1секунду

(2)

Будем считать "столкновением" только такое сближение одной молекулы с другой, при котором взаимодействие изменяет скорость этих молекул по величине и по направлению. Расстояние между центрами молекул, при котором взаимодействие становится существенным, называется эффективным диаметром молекул (рис.1-П). Величина называется эффективным сечением столкновений. Сечение - это площадь вокруг данной молекулы, куда должен попасть центр другой молекулы, чтобы она испытала столкновение. Рассмотрим некоторую молекулу с эффективным диаметром движущуюся со скоростью .

После каждого столкновения молекула, вообще говоря, меняет направление своего движения, но мы предположим для простоты, что этого не происходит. Кроме того, допустим, что все молекулы, кроме данной, неподвижны. Тогда в единицу времени рассматриваемая молекула

Рис. 1-П.

столкнётся на своем пути с теми молекулами, центры которых лежат внутри цилиндра длиной U, радиусом d и осью, совпадающей с вектором . Число таких молекул, а значит и число столкновений, равно

z= d² u n, (3)

где n- число молекул в единице объёма.

При более строгом подсчёте, с учётом движения всех молекул, получим

z = d² n

Средняя длина свободного пробега молекулы равна

(4)

2. Явление переноса

Явления переноса в физике - это явления, направленные на установление состояния равновесия.

Если молекулы отличаются одна от другой какой-либо характерной величиной (массой, энергией, импульсом и др., причём их распределение по значениям указанных характеристик неоднородно, то вследствие теплового движения молекул эта величина переносится из одного места в другое. В результате возникает поток рассматриваемой величины. Пусть G - переносимая величина и пусть она распределена вдоль оси X неравномерно. Рассмотрим площадку ΔS , перпендикулярную к оси X (рис.2-П). За единицу времени через эту площадку вследствие теплового движения пройдёт некоторое количество молекул справа налево и обратно, что вызовет поток величины G через данную площадку. Будем считать поток положительным, если величина G переносится в положительном направлении оси X и отрицательным, если она переносится в обратном направлении. Вместе с тем, перенос происходит из точек с большей величиной G в точки с меньшей её величиной, и потому знак потока должен быть обратным знаку производной или градиенту величины G.

Напомним, что градиентом G называется

(5)

Так как по условию G есть функция только координаты X , то условно можно принять, что - градиент G . Тогда величина потока G через площадку ΔS за единицу времени будет равна

, (6)

где - коэффициент, характеризующий процесс переноса.

Рис. 2-П.

Рассмотрим явления переноса в газах в рамках молекулярно-кинетической теории. Возьмём два слоя, параллельных площадке ΔS, на расстояниях справа и слева от неё, где - средняя длина свободного пробега, G₁ и G₂ - значения величины G в этих слоях. Если U - средняя скорость молекул, то слева направо перейдут за время все молекулы, движущиеся в направлении положительной оси X и находившиеся в момент t внутри слоя толщиной . Число таких молекул составляет 1/6 от полного их числа в слое. Так как объём слоя есть , а число молекул в единице объёма равно n, то за время перейдёт слева направо молекул. Поскольку - средняя длина свободного пути, каждая молекула пролетит это расстояние без столкновения и перенесёт с собой именно величину G₁. Все молекул перенесут за величину

(7)

В обратном направлении будет за аналогично перенесена величина

(8)

Тогда поток величины G через будет равен

(9)

Будем предполагать, что градиенты переносимой величины малы, тогда приближённо

(10)

Следовательно,

(11)

Сравнивая выражения (6) и (11), получаем следующее значение коэффициента переноса для газов с точки зрения молекулярно-кинетической теории:

(12)

3. Диффузия

Если концентрация газовой смеси или раствора различна в различных точках, то вследствие теплового движения молекул происходит выравнивание концентраций. Вещество, концентрация которого С в данном месте повышена, переходит в места с меньшей концентрацией. Этот процесс называется диффузией. Если градиент концентрации вещества вдоль оси X равен , то согласно общему соотношению (6) для диффузионного потока Ф_G через площадку имеем

, (13)

где D – коэффициент диффузии. Заметим, что наряду с молекулярным процессом - диффузией - перемешивание жидкости или газа может происходить в результате микроскопических процессов. Если, например, осторожно капать слой жидкости поверх слоя более плотной жидкости, то возникают струи и жидкости перемешиваются гораздо быстрее, чем в процессе диффузии. Подобный процесс называется конвекцией.

В случае газов коэффициент диффузии можно связать с величинами, характеризующими состояние газа и его свойства. Рассмотрим смесь двух газов, общее давление которой во всех точках одинаково, а состав меняется вдоль оси X. Для простоты можно полагать, что молекулы обеих компонент мало отличаются по массе и эффективным сечениям , то есть ; . Тогда молекулам этих компонент можно приписать одинаковую среднюю скорость U, а среднюю длину свободного пробега считать равной

где - полное число молекул в единице объёма смеси. "Переносимой величиной" в случае диффузии является концентрация молекул данного (например, первого) сорта, то есть

(14)

Используя формулу (11) для диффузионного потока, получим выражение

(15)

Сравнивая (15) и (13), находим

(16)

Для потока в единицу времени через единицу поверхности имеем:

(17)

Эта формула выражает закон Фика. Таким образом, коэффициент диффузии D имеет размерность [D] = м²/с.

Подставляя в последнее соотношение значение длины свободного пробега из (4), получаем

~ U/ (18)

Если воспользоваться уравнением состояния идеального газа, то

и, следовательно,

, (19)

то есть коэффициент диффузии при заданной температуре обратно пропорционален давлению. Если молекулы значительно различаются по своим массам и размерам, то приведенные выше расчёты требуют уточнения. Более детальное рассмотрение показывает, что процесс диффузии определяется наибольшей из тепловых скоростей молекул, то есть скоростью молекул наименьшей массы, а для эффективного сечения нужно принять наибольшее его значение.

4. Теплопроводность.

Известно, что если в разных точках произвольного тела температура различна, например, изменяется от слоя к слою, то вследствие явления теплопроводности температура во всём теле выравнивается. Макроскопически явление теплопроводности заключается в процессе переноса некоторого количества тепла от более горячего слоя к более холодному. В газах это явление обычно осложняется переносом тепла струями газа (конвекцией), возникающими из-за того, что слои газа при разных температурах имеют разную плотность.

В рамках молекулярно-кинетической теории процесс теплопроводности заключается в том, что молекулы из более горячего слоя, где они имеют большую кинетическую энергию, проникают в более холодный слой и переносят свою кинетическую энергию, что создаёт поток тепла.

Таким образом, в данном случае в общей формуле (6) Ф_G -
есть поток тепла. Переносимой величиной G в случае явления теплопроводности является количество тепла, то есть G = C_vT, где C_v - теплоёмкость вещества.

В соответствии с общей формулой (6) можно записать (считая, что температура меняется только вдоль оси X)

(20)

или, считая, что поток , запишем

(21)

Поток тепла через единичную поверхность в единицу времени

, (22)

где k - коэффициент теплопроводности.

Этот закон носит название закона Фурье.

Знак (-) здесь указывает, что направление теплового потока противоположно направлению возрастания температуры.

Если тепловой поток измеряется в Дж/с, то согласно формуле (21), коэффициент теплопроводности имеет размерность [k] = Дж/м∙с∙К .

В случае газов мы можем применить к процессу теплопроводности общую формулу переноса (11). Подставляя в неё , где - теплоёмкость, рассчитанная на одну молекулу, находим

(23)

Согласно последним двум соотношениям коэффициент теплопроводности равен

(24)

Этому выражению можно придать другой вид. Умножим и разделим правую его часть на массу молекулы . Поскольку - число молекул в единице объёма, то - есть плотность газа, а - удельная теплоёмкость газа при постоянном объёме. Следовательно,

(25)

Так как коэффициент теплопроводности пропорционален теплоёмкости газа, он зависит от числа и типа степеней свободы молекулы. Подставляя в формулу (24) значение длины свободного пробега , находим

k ~ (26)

Это соотношение показывает, что, в отличие от коэффициента диффузии D, коэффициент теплопроводности газа k не зависит ни от давления, ни от плотности. Зависимость k от температуры определяется зависимостью от неё средней скорости молекул U, а также более слабой зависимостью от температуры эффективного сечения и теплоёмкости .

5. Вязкость.

Рассмотрим поток газа, в котором скорость течения U неизменна по направлению, но меняется по величине вдоль перпендикуляра к направлению скорости. Выберем в качестве направления оси X направление этого перпендикуляра, тогда скорость представляет собой .

Рис.3-П.

Как показано на рис.3-П, поток газа можно разделить на слои, которые движутся со скоростями, параллельными друг другу. Вследствие теплового движения молекулы газа могут переходить из одного слоя в другой, перенося импульс своего направленного движения. В результате возникает процесс переноса импульса из слоёв, где скорость больше, в слои, где она меньше. Этот процесс, приводящий к выравниванию скоростей течения разных слоёв, называется внутренним трением, или вязкостью.

Используем общую формулу (6) для переноса импульса.

Переносимой величиной является импульс, то есть , где - масса молекулы. Подставляя это значение G в формулу (6) , находим:

(27)

Величина называется коэффициентом вязкости, или коэффициентом внутреннего трения. Для газов, учитывая (11), получаем:

(28)

Следовательно,

(29)

Выражение (27) может быть отнесено к единице поверхности и к единице времени, тогда поток импульса имеет вид:

, (30)

носящий закон Ньютона.

Используя выражение для средней длины свободного пробега (4), можно записать формулу для коэффициента вязкости в виде:

~ (31)

Размерность потока Ф_G есть размерность импульса, делённого на м² и на секунду, то есть

[Ф ] =

Размерность с^-1 , поэтому [ ] = .

К задаче о вязкости среды можно подойти с другой точки зрения, оправдывающей второе название - коэффициента внутреннего трения. Рассмотрим течение жидкости (или газа) в канале или трубке. Во всех реальных случаях жидкость течёт, соприкасаясь с твёрдой стенкой. Слой жидкости, непосредственно прилегающий к стенке, остаётся неподвижным; он как бы "прилипает" к ней и удерживается силами межмолекулярного взаимодействия. Поэтому в жидкости возникает градиент скорости, который изменяется от нуля (на стенке) до некоторого максимального значения в центральных областях трубы. Соответственно, возникает поток импульса в направлении от центра трубы к стенке.

Согласно общим законам механики изменение импульса тела со временем равно силе, действующей на тело. Импульс, передаваемый от слоя к слою жидкости и, в конце концов, от жидкости к стенке, также приводит к появлению силы, называемой силой трения. Можно сказать, что при течении слоёв жидкости или газа с различными скоростями между слоями возникают силы: более быстрый слой «ускоряет» соседний с ним более медленный, а более медленный, наоборот, «замедляет» более быстрый. Возникающие при этом силы внутреннего трения касательны к слоям жидкости. Величина этих сил определяется формулой:

(32)

Отсюда следует, что коэффициент внутреннего трения (вязкости) численно равен силе внутреннего трения, действующей на единичную площадку соприкасающихся слоёв жидкости или газа при градиенте скорости, равном с^-1 .

Существуют два существенно различных вида течения вязкой жидкости или газа. Дня одного из них характерно сохранение слоёв: жидкость как бы разделяется на слои, которые скользят друг относительно друга, не перемешиваясь. Этот вид течения жидкости называется ламинарным (слоистым). Для второго вида течения жидкости характерно быстрое перемешивание. Такое течение называется турбулентным.

Ламинарное течение жидкости стационарно, оно характеризуется определённым распределением скоростей по сечению потока жидкости. В противоположность этому, турбулентное течение нестационарно. При таком течении скорость частиц в каждом данном месте всё время изменяется беспорядочным образом. Поэтому турбулентное течение описывается средней по времени скоростью течения в каждой точке сечения потока жидкости.

Важной характеристикой движения жидкости является число Рейнольдса (Re), которое определяется следующим образом:

Re = (33)

Здесь и , как обычно, - плотность и вязкость жидкости, U - средняя скорость течения, - величина, характерная для поперечного сечения потока (например, при течении жидкости по трубе есть радиус трубы). Число Рейнольдса (Re) представляет собой безразмерную величину. При малых его значениях течение жидкости ламинарное. При некотором значении Re, называемым критическим, течение становится турбулентным. Существенно, что характер течения различных жидкостей или газов в трубах разного радиуса совершенно одинаков, если течению соответствует одно и то же значение Re .