ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Временная стоимость денег, простые и сложные проценты, аннуитеты

123

Ставка процентов – величина, характеризующая интенсивность начисления процентов.

Наращение первоначальной суммы долга – увеличение суммы долга за счет присоединения начисленных процентов и доходов.

Множитель наращения – величина, показывающая во сколько раз возрос первоначальный капитал.

Период начисления – промежуток времени, за который начисляются проценты.

Интервал начисления – минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.

Существуют два способа начисления процентов.

Декурсивный способ – проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется исходя из величины предоставляемого капитала. Декурсивная процентная ставка представляет собой сумму начисленного за определенный интервал дохода к сумме, имеющейся в начале интервала, в процентном отношении.

Антисипативный (предварительный) способ – проценты начисляются в начале каждого интервала начисления. Сумма процентных денег определяется исходя из наращения суммы. Процентной ставкой будет выраженное в процентах отношение суммы дохода за интервал к величине наращенной суммы, полученной по прошествии этого интервала. Такая процентная ставка называется учетной.

Простые ставкиприменяются к одной и той же первоначальной денежной сумме в течение всего периода начисления. При декурсивном способе простые ставки применяются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда интервал начисления совпадает с периодом начисления и составляет срок менее одного года, или когда после каждого интервала кредитору выплачиваются проценты.

Если обозначить будущую сумму S, а современную (или первоначальную) P, то I = S – P (1). Процентная ставка i является относительной величиной, измеряется в десятичных дробях или %, и определяется делением процентов на первоначальную сумму: i=I/P

Кроме процентной существует учетная ставка d (другое название – ставка дисконта), величина которой определяется по формуле:

S-P=D, P=S (2)

где D – сумма дисконта.

Однако продолжительность ссуды (или другой финансовой операции, связанной с начислением процентов) n необязательно должна равняться году или целому числу лет. Если обозначить продолжительность года в днях буквой K (этот показатель называется временная база), а количество дней пользования ссудой t, то использованное в формулах (3) и (4) обозначение количества полных лет n можно будет выразить как t/K. Подставив это выражение в (1) и (2), получим:

для декурсивных процентов: S=P(1+ i) (3)

для антисипативных процентов: S=P (4)

Если после очередного интервала начисления доход не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяется формула сложных процентов.

Сложные ставки процентов учитывают возможность реинвестирования процентов, так как в этом случае наращение производится по формуле не арифметической, а геометрической прогрессии, первым членом которой является начальная сумма P, а знаменатель равен (1 + i).

P, P * (1 + i), P * (1 + i)², P * (1 + i)³ , …, P * (1 + i)ⁿ,

где число лет ссуды n меньше числа членов прогрессии k на 1 (n = k – 1).

Наращенная стоимость (последний член прогрессии) находится по формуле:

S=P*(1+I) (5)

где (1 + i) ⁿ – множитель наращения декурсивных сложных процентов.

Так же как и в случае простых процентов возможно применение сложной учетной ставки для начисления процентов (антисипативный метод):

S=P* 1/(1-d)^n (6)

где 1/(1 – d)^n – множитель наращения сложных антисипативных процентов.

Формула наращения по сложным процентам при начислении их m раз в году имеет вид:

S=P*(1+ )^m*n (7)

При начислении антисипативных сложных процентов, номинальная учетная ставка обозначается буквой f, а формула наращения принимает вид:

S= (8)

Рекомендуемая литература:

1. Беренс В., Хавранек П.М. Руководство по оценке эффективности инвестиций. – М.: АОЗТ «Интерэксперт»; «ИНФРА - М», 1995

2. Бригхем Ю., Гапенски Л. Финансовый менеджмент (т. 1, 2). – СПб.: Экономическая школа, 1998

3. Криничанский К. Финансовая математика. Учебное пособие. – М.: «Дело и Сервис», 2011. – 336 с.

4. Печенежская И. Финансовая математика: сборник задач. – М.: Феникс, 2008. – 188 с.

5. Четыркин Е.М. Финансовая математика. – М.: «Дело и Сервис», 2011. – 392 с.

Примеры решения задач:

Задача 1

Предоставлена ссуда в размере 5 млн руб. с погашением через 180 дней под 60% годовых (по схеме простых ссудных процентов). Рассчитать сумму к погашению S.

Решение

Согласно формуле начисления простых процентов:

S = 5*(1+(180 / 365)*0,6) = 6,48 млн руб.

Задача 2

Векселедержатель предъявил банку для учета вексель на сумму 5 млн руб. со сроком погашения 28.09.1998 г. Вексель предъявлен 13.09.1998 г. Банк согласен учесть вексель с дисконтом в 75% годовых. Тогда сумму, которую векселедержатель может получить от банка, требуется определить.

Решение

Сумма Р находится по формуле учета стоимости векселя к погашению – банковский учет:

P = 5 * (1- (15 / 365) * 0,75) = 4,85 млн руб.

Задача 3

Предприниматель может получить ссуду: а) либо на условиях ежеквартального начисления процентов из расчета 75% годовых; б) либо на условиях полугодового начисления процентов из расчета 80% годовых. Какой вариант более предпочтителен?

Решение

Относительные расходы предпринимателем по обслуживанию ссуды могут быть определены с помощью расчета эффективной годовой процентной ставки: чем она выше, тем больше уровень расходов:

а) ic^ef = (1+0,75 / 4)⁴-1 = 0,99 или 99%,

б) ic^ef = (1+0,80/2)² - 1 = 0,96 или 96%.

Таким образом, вариант (б) является более предпочтительным для предпринимателя.

Задания к разделу 2.3:

Задача 2.9

Финансовый менеджер должен принять решение о получении в банке ссуды, выбрав один из двух вариантов: а) по ставке простых ссудных процентов сроком на 1 год 25%; б) по ставке сложных ссудных процентов сроком на 2 года 20% годовых; ссуда составляет 10 млн. руб.

Задача 2.10

Финансовый менеджер должен принять решение о предъявлении векселя в банк к учету, выбрав один из двух вариантов: а) по простой учетной ставке со сроком погашения через 1 год 80%: б) по сложной учетной ставке со сроком погашения через 1 год 50%. Вексельная сумма составляет 1 млн руб.

Задача 2.11

Определить наиболее выгодный вариант для получения финансовым менеджером ссуды в банке: а) сроком на 2 года по схеме сложных процентов со ставкой 40% годовых; б) сроком на 2.5 года по схеме сложных процентов со ставкой 25% годовых; в) сроком на 3.5 года по смешанной схеме со ставкой 20% годовых. Величина ссуды - 10 тыс. руб.

Задача 2.12

Определить срок удвоения размещенных финансовым менеджером временно свободных денежных средств на условиях ставки сложных ссудных процентов 40% годовых по правилам «72» и «69».

Задача 2.13

Определить ставку сложных ссудных процентов, эквивалентную ставке простых ссудных процентов, равной 20% годовых, на срок 3 года.

Задача 2.14

Определить эффективную ставку сложных ссудных процентов по двум имеющимся вариантам и принять соответствующее решение с точки зрения ссудозаемщика: а) на условиях ежемесячного начисления процентов из расчета 80% годовых; б) на условиях ежеквартального начисления процентов из расчета 90% годовых.

Задача 2.15

Определить скорректированную на величину инфляции ставку простых ссудных процентов, равную 20% годовых и рассчитанную на 2 года, если уровень инфляции в стране 10% в год.

Задача 2.16

Определить величину (будущую и приведенную стоимость) потока платежей постнумерандо с коэффициентом дисконтирования 10%: 200 тыс. руб.; 350 тыс. руб.; 400 тыс. руб.; 200 тыс. руб.; 250 тыс. руб.

Задача 2.17

Определить величину аннуитета пренумерандо с коэффициентом дисконтирования 12%, если поток рассчитан на 5 лет с ежегодной выплатой в размере 2 млн руб.

Задача 2.18

По завещанию наследнику полагается каждый год вплоть до его смерти 1 тыс.$ с гарантированной процентной ставкой 5% годовых. Определить приведенную стоимость этого бессрочного аннуитета.

Задача 2.19

Найти простую процентную ставку, эквивалентную сложной ставке в 15% для временного интервала в 5 лет при ежемесячном начислении процентов.

Задача 2.20

В уплату за выполненную работу, 10 мая компания выписывает вексель, который должен быть оплачен через 1,5 месяца – 25 июня и сумма погашения по которому составляет 370 тыс. руб. Стоимость работ составляет 360 тыс. руб. Получатель имеет возможность сразу учесть вексель в банке, учетная ставка которого по такого вида обязательствам составляет 24 % годовых. Определить, сумму, полученную при учете векселя в банке и дисконт в пользу банка. Какова должна быть вексельная сумма, чтобы при учете векселя копания получила 360 тыс. руб.? Определить процентную ставку, эквивалентную банковской учетной ставке.

Задача 2.21

Рассчитать накопленную сумму, если на вклад в 2 млн руб. в течение 5 лет начисляются непрерывные проценты с силой роста 10%.

123