ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Условный экстремум функций нескольких переменных.

Собственно это та же задача отыскания наибольших и наименьших значений функции, но для функций, у которых переменные связаны между собой некоторыми добавочными условиями.

Этой задаче можно дать и геометрическую интерпретацию. Пусть на плоскости XOY задана функция z=f(x,y) и линия L: j(x,y)=0. Требуется на линии L найти такую точку P(x,y), в которой значение функции z=f(x,y) было бы наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями этой функции в точках линии L, находящихся вблизи точки P(x,y). Такие точки P называются точками условного экстремума функции z=f(x,y) на линии L. В отличие от обычной точки экстремума, значение функции в точке условного экстремума сравнивается со значениями не во всех точках некоторой ее окрестности, а только в тех, которые лежат на линии L.

Точка обычного экстремума (или безусловного) является и точкой условного экстремума для любой линии, проходящей через эту точку. Обратное неверно.

Рассмотрим этот вопрос нахождения условного экстремума на примере функции двух переменных, если эти переменные связаны одним условием.

Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции

(5)

при условии, что x и y связаны уравнением

(6)

При наличии условия (6) из двух переменных x и y независимым будет только одна, например х, так как y определяется из равенства (6) как функция от х. Если бы мы разрешили уравнение (6) относительно у, то, подставляя в равенство (5) вместо у найденное выражение, получили бы функцию одного переменного х и свели бы задачу к задаче об исследовании на максимум и минимум функции одного независимого переменного х.

Но можно решить задачу, не разрешая уравнения (6) относительно x и y. При тех значениях х, при которых функция u может иметь максимум или минимум, производная от u по х должна обращаться в нуль.

Из (5) находим , помня, что у есть функция от х:

Следовательно, в точках экстремума

. (7)

Из равенства (6) находим:

. (8)

Это равенство удовлетворяется для всех x и y, удовлетворяющих уравнению (6). Умножив члены равенства (8) на неопределенный пока коэффициент и сложив их соответствующими членами равенств (7), получим:

или

. (9)

Последнее равенство выполняется во всех точках экстремума. Подберем так, чтобы для значений x и y, соответствующих экстремуму функции и, вторая скобка в равенстве (9) обратилась в нуль:

Тогда при этих значениях x и y из равенства (9) следует равенство

Таким образом, получается, что в точках экстремума удовлетворяются три уравнения:

(10)

с тремя переменными x,y и . Из этих уравнений определяем x,y и , которое играло только вспомогательную роль и нам в дальнейшем не требуется. Из вывода понятно, что полученные уравнения (10) является необходимыми условиями условного экстремума, но недостаточными. Для определения характера, полученной в результате решения системы (10), критической точки требуется дополнительное исследование. При решении конкретных задач иногда удается установить характер критической точки на основании существа задачи. Заметим, что левые части уравнений (10) являются частными производными функции по переменным x,y и .