ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Определение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой области.

Лекция 28. Исследование на экстремум функций нескольких переменных. Условный экстремум функций нескольких переменных.

Исследование функций многих переменных на экстремум – процедура гораздо более сложная, чем аналогичная процедура для функций одной переменной. Поэтому ограничимся рассмотрением этого вопроса на наиболее простом и наглядном примере функции двух переменных ( см рис.1). Здесь M₁(x₁; y₁), M₂(x₂; y₂), M₃(x₃; y₃)– точки экстремума этой функции. А именно, точки М₁ и М₃ – точки минимума функции, а точка М₂ – точка ее максимума. На рис.1 представлена функция с тремя точками экстремума, но этих точек, естественно, может быть и больше, и меньше.

Определим более точно, что такое точки экстремума для функции двух переменных.

Определение. Функция имеет максимум ( минимум ) в точке , если для любой точки , находящейся в некоторой окрестности - окрестности точки , выполняется ( ). - окрестность можно представить множеством точек , координаты которых удовлетворяют условию , где - положительное достаточно малое число.

Максимумы и минимумы функции называются экстремумами, а - экстремальной точкой.

Пусть M₀(x₀; y₀)– точка какого-либо экстремума (точка максимума или точка минимума) функции . Тогда справедлива

Теорема 1.

Если в точке экстремума M₀(x₀; y₀) существуют частные производные и , то обе они равны нулю:

(1)

Доказательство.

1) Рассмотрим функцию . Так как – экстремальное значение этой функции, то производная этой функции при х = х₀, если она существует, равна нулю:

(2)

2) Рассмотрим теперь функцию . Так как – экстремальное значение этой функции, то производная этой функции при y = y₀, если она существует, равна нулю:

(3)

Теорема доказана.

Заметим, что условия (1) являются лишь необходимыми условиями экстремума в точке M₀(x₀; y₀) дифференцируемой в этой точке функции . То есть, эти условия не являются достаточными условиями того, что в точке M₀(x₀; y₀) функция будет иметь экстремум (максимум или минимум). Иначе говоря, точка M₀(x₀; y₀), в которой выполняются оба равенства (1), является лишь подозрительной на экстремум точкой для функции . Окончательный вывод о характере такой подозрительной на экстремум точки можно сделать с помощью следующей теоремы (приведем ее без вывода):

Теорема 2.(Достаточные условия экстремума )

Пусть M₀(x₀; y₀) – такая точка из области D определения функции , что для нее выполняются необходимые условия (1) экстремума этой функции. То есть M₀(x₀; y₀) – подозрительная на экстремум точка. Найдем в этой точке числа

(4)

Тогда:

1) Если >0 и >0 ( или С>0 при А=0 ), то M₀(x₀; y₀) – точка минимума функции .

2) Если >0 и <0 ( или С<0 при А=0 ), то M₀(x₀; y₀) – точка максимума функции .

3) Если <0, то точка M₀(x₀; y₀) – не точка экстремума функции .

4) Если =0, то вопрос остается открытым – нужно дополнительное исследование.

Пример 1. Пусть х и у – количества двух произведенных товаров; p₁ = 8 руб. и p₂ = 10 руб. – цена единицы каждого из этих товаров соответственно; C = 0,01(x²+ xy+ y²) – функция затрат (в рублях) на производство этих товаров. Тогда доход R от продажи товаров составит R = 8x+10y (руб.), а прибыль П составит (в рублях)

П = R – C = 8x + 10y – 0,01(x²+xy+y²).

Найдем объемы х и у товаров, при которых прибыль П будет максимальной.

1) Сначала найдем значения (х;у), подозрительные на экстремум для функции П:

2) Теперь исследуем найденную подозрительную на экстремум для функции П точку М₀(200; 400). Для этого найдем в этой точке значения , определяемые выражениями (4). Так как

и это верно для любых (х; у), а значит, и в точке М₀(200; 400), то

Так как а то точка М₀(200; 400) – точка максимума функции П. То есть прибыль П от продаж будет максимальной при х = 200 (ед) и у = 400 (ед) и равна 2800 руб.

Пример 2. Найти точки экстремума и экстремальные значения функции

Решение. Данная функция – функция двух переменных, определенная для любых х и у, то есть на всей плоскости хоу, и имеющая в каждой ее точке частные производные первого порядка:

Сначала найдем точки плоскости хоу, подозрительные на экстремум для данной функции :

Затем, найдя частные производные второго порядка от функции , запишем выражения для :

Вычисляя теперь числовые значения этих величин для каждой из четырех подозрительных на экстремум точек, получим следующие выводы об этих точках:

- точка min.

- точка max.

- не точка экстремума.

Теперь найдем два экстремальных (максимальных) значения функции , определяющие высоту двух вершин графика этой функции:

Определение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой области.

Рассмотрим следующую задачу. Пусть – некоторая непрерывная функция двух переменных, рассматриваемая в замкнутой области , где – внутренняя часть области , а Г – ее граница (рис. 8.6).

То, что функция непрерывна в области , означает, что график этой функции (поверхность в пространстве) является сплошной (без разрывов) поверхностью для всех . То есть понятие непрерывности функции двух переменных аналогично понятию непрерывности функции одной переменной. Как и функции одной переменной, функции двух переменных, образованные из элементарных функций, непрерывны для всех значений своих аргументов, для которых они определены. Это касается и функций трех, четырех и более переменных.

Вернемся к рис. 2. Поставим следующий вопрос: в каких точках области функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений z_наиб и z_наим? И каковы эти значения? Заметим, что эта задача аналогична той, что была рассмотрена для функции одной переменной , рассматриваемой на замкнутом отрезке [a; b] оси ох.

Очевидно, что искомые точки области , в которых функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений, содержатся либо среди точек экстремума этой функции, находящихся внутри области (в области ), либо находятся где-то на границе Г этой области. В замкнутой области такие точки заведомо найдутся (теорема Вейерштрасса). А в открытой области (без границы Г) таких точек может и не быть.

Из сказанного выше вытекает следующая схема нахождения этих точек, аналогичная той, что была изложена для функций одной переменной.

1. Находим все подозрительные на экстремум точки функции , находящиеся в области D. Это – те точки, в которых обе частные производные и равны нулю (или одна равна нулю, а другая не существует; или обе не существуют).

2. Находим все подозрительные на экстремум точки функции , находящиеся на границе Г области . При этом используем уравнение границы Г.

3. Не исследуя найденные в пунктах 1 и 2 подозрительные точки (это излишне), находим значения функции во всех найденных подозрительных точках и выбираем те из них, где z будет наибольшим и наименьшим.

Пример 3. Найти z_наиб и z_наим функции , рассматриваемой в замкнутой области , представляющей собой треугольную пластинку с вершинами O(0; 0), A(1; 0), B(0; 1)(рис. 3).

Решение. Выполним изложенную выше схему.

1. Найдем внутри треугольника (в области D) точки, подозрительные на экстремум для нашей функции z. Для этого сначала найдем частные производные первого порядка и :

Эти производные существуют (их можно вычислить) для любых (х; у). Следовательно, точками, подозрительными на экстремум, будут лишь те, для которых обе эти частные производные равны нулю:

Точка , очевидно, принадлежит области D (рассматриваемому треугольнику). То есть она – подозрительная на экстремум точка для заданной функции z внутри треугольника, причем она там единственная.

2. Найдем теперь точки, подозрительные на экстремум, на границе треугольника.

а) Исследуем сначала участок ОА границы (у = 0; 0 £ х £ 1). На этом участке – функция одной переменной х. Ее производная существует для всех x Î [0; 1]. Поэтому свои экстремальные значения функция z может иметь или в точке, где , то есть в точке , или на концах отрезка ОА, то есть в точках О(0; 0) и А(1; 0).

б) Исследуем теперь участок ОВ границы треугольника ( там х = 0; 0 £ у £ 1). На этом участке функция (0 £ у £ 1) – функция одной переменной у. Повторяя рассуждения пункта (а), приходим к выводу, что свои экстремальные значения функция z может иметь или в точке , или на концах отрезка ОВ, то есть в точках О(0; 0) и B(0; 1).

в) Наконец, исследуем участок АВ границы. Так как на AB (убедитесь в этом) у = - х + 1 (0 £ х £ 1), то там функция z принимает вид: (0 £ х £ 1). Ее производная , поэтому своих экстремальных значений функция z может достигать лишь в точке, где , то есть в точке , либо на концах отрезка АВ, то есть в точках А и В.

Итак, полный набор подозрительных на экстремум точек функции
в треугольнике ОАВ таков:

; ; ; ; ; ; .

3. А теперь найдем значения функции z во всех найденных подозрительных точках и выберем из этих значений наибольшее значение z_наиб и наименьшее значение z_наим:

Таким образом, z_наиб = 3 и достигается функцией z в треугольнике ОАВ сразу в двух точках – в его вершинах А и В. А и достигается функцией z в треугольнике ОАВ в его внутренней точке .

Пример 4. Городской бюджет имеет возможность потратить на социальное жилье не более 600 млн. рублей, располагая при этом проектами и участками земли под 10 пятиэтажных домов на 90 квартир каждый и под 8 девятиэтажных домов на 120 квартир каждый. Средняя сметная стоимость одной квартиры в пятиэтажном доме составляет 400 тысяч рублей, а в девятиэтажном 500 тысяч рублей. Сколько пятиэтажных и сколько девятиэтажных домов должен построить город, чтобы получить максимальное число квартир?

Решение. Пусть х – искомое количество пятиэтажных домов, у – девятиэтажных, а z – общее количество квартир в этих домах:

z = 90x + 120y

Стоимость всех квартир в пятиэтажных домах составит 90 × 0,4·х = 36х млн. рублей, а в девятиэтажных 120 × 0,5·у = 60у млн. рублей. Согласно условиям задачи имеем:

0 £ х £10; 0 £ у £ 8; 36х + 60у £ 600

Данные ограничительные неравенства выполняются, очевидно, в пятиугольнике (рис.4). В этой замкнутой области нужно найти точку М(х; у), для которой функция z = 90x + 120y примет наибольшее значение z_наиб.

Реализуем изложенную выше схему решения такого рода задач.

1. Найдем внутри пятиугольника точки, подозрительные на экстремум для функции z. Так как , и эти частные производные заведомо не равны нулю, то подозрительных на экстремум точек внутри пятиугольника нет.

2. Найдем точки, подозрительные на экстремум, на границах пятиугольника. На каждом из пяти отрезков, составляющих границу пятиугольника, функция z – линейная функция вида z = ax + by, а следовательно, своих наибольшего и наименьшего значений она достигает на границах отрезков. То есть искомое наибольшее значение z_наиб функция z достигает в одной из угловых точек (О; А; М₁; М₂; В). Вычисляя значение z в этих точках, получим:

z(О) = 0; z(A) = 960; z(M₁) = 1260; z(M₂) = 1380; z(B) = 900.

Таким образом z_наимб = 1380 и достигается оно в точке M₂(10; 4). То есть наибольшее число квартир (1380) получится, если будут построены 10 пятиэтажных домов и 4 девятиэтажных.

Пример 5. Доказать, что из всех треугольников, имеющих данный периметр 2р, наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.

Решение.Обозначим стороны треугольника через х, у и z. По формуле Герона площадь треугольника S= . Замечая, что z = 2p –x - y, мы получим S как функцию только двух независимых переменных: S= .

Вместо того, чтобы искать экстремум этой функции, будем искать экстремум ее квадрата

f(x,y) = S² = p(p - x)(p - y)( x + y - p);

∂f/∂x = p(p - y)(2p - 2x - y); ∂f/∂y = p(p - x)(2p - 2y - x).

Решаем систему уравнений

Эта система приводит к таким четырем системам:

1) 2)

3) 4)

находим стационарные точки:

(p,p); (2p/3, 2p/3); (p,0); (0,p).

Исследованию подлежит только одна точка М(2p/3, 2p/3), т.к. остальные точки не удовлетворяют смыслу задачи: не может быть треугольника, у которого сторона равна половине периметра.

Исследуем на экстремум точку М(2p/3, 2p/3):

∂²f/∂x² = -2p(p-y); ∂²f/∂x∂y = p(2x+2y-3p); ∂²f/∂y² = -2p(p-x);

D=AC-B²= ;

D>0, а т.к. А<0, то в исследуемой точке функция достигает максимума. Итак, в единственной стационарной точке функция достигает максимума, а потому и наибольшего значения; таким образом, при х=2p/3, y=2p/3 функция достигает и наибольшего значения. Но тогда z=2p-x-y=2p/3. А т.к. х=у=z, то треугольник – равносторонний.