ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Полный дифференциал функции многих переменных.

Для начала рассмотрим это понятие на примере функции двух переменных

. Для этого рассмотрим приращение функции при условии, что аргументы х и у получат некоторые приращения и :

(9)

Если и малы, то согласно (3)

(10)

Приближенные равенства (10) будут тем точнее, чем меньше и . При этом выражение (9) для примет вид:

(11)

А теперь будем считать и не просто малыми, а бесконечно малыми. В этом случае обозначим их символами dx и dy соответственно и будем называть дифференциалами аргументов х и у:

– это бесконечно малое

; – это бесконечно малое

(12)

При бесконечно малых приращениях аргументов = и = и приращение функции будет, согласно (11), бесконечно малым. Обозначим его символом и будем называть дифференциалом функции :

– это бесконечно малое

(13)

При = ; = и = приближенное равенство (11) станет уже точным:

(14)

Или короче:

(15)

Выражения (14) и (15) представляют собой так называемый полный дифференциал функции в точке .

Аналогично, если – функция трех переменных, то ее полный дифференциал в точке найдется по формуле:

(16)

Или короче:

(17)

А конечное приращение такой функции, соответствующее конечным приращениям , и ее аргументов, найдется по приближенной формуле (18), аналогичной формуле (11):

(18)

Эта формула тем точнее, чем меньше , и .

Полные дифференциалы функций многих переменных являются аналогами полного дифференциала функции одной переменной , который определяется равенством:

(19)

Полные дифференциалы функций многих переменных – это абстрактные понятия. Они, как и дифференциал функции одной переменной, имеют в основном теоретическое значение. А вот приближенные формулы (11), (18) и им подобные, определяющие конечное приращение функции при конечных приращениях ее аргументов, широко применяются и на практике.

Пример 10. При измерении размеров цилиндра (его радиуса основания и его высоты ) из-за несовершенства измерительных приборов возможно допущение малых ошибок и соответственно. Найти максимально возможные абсолютную и относительную ошибки при вычислении объема цилиндра.

Решение. Объем цилиндра – функция двух переменных и . Поэтому, используя формулу (11), получим следующее приближенное выражение для абсолютной ошибки при вычислении объема цилиндра :

(19)

Ошибки и могут быть любых знаков. При разных знаках этих ошибок ошибка объема цилиндра может быть весьма незначительной. Максимально возможной она будет в том случае, если и будут одинаковых знаков (скажем, обе со знаком (+)). При этом максимально возможная относительная ошибка при вычислении объема V найдется по формуле:

(21)

Упражнения

1. Найти частные производные первого порядка функции

Ответ:

2. Найти частные производные функции первого и второго порядков.

Ответ:

3. Найти приближенное приращение функции в точке М(1; 2) при = 0,1и = - 0,2. Сравнить полученное приближенное значение с его точным значением.

Ответ:

– приближенно.

– точно.

4. При измерении на местности треугольника получены следующие данные: сторона а = 100м ± 2м; сторона b = 200м ± 3м; угол между ними a = 60° ± 1°. С какой степенью точности (с какой максимальной погрешностью) будет вычислена сторона с ?

Ответ: максимальная погрешность для с составит ±4,35м.