ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Структура общего решения линейного однородного уравнения

Определение 5. Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка называется любая система линейно независимых решений этого уравнения.

Теорема 3 (структура общего решения линейного однородного уравнения). Пусть функции образуют фундаментальную систему решений линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка . Тогда функция

, (8)

где произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

▲ Нужно проверить, что (8) удовлетворяет определению общего решения 7. При любых значениях постоянных , эта функция, согласно свойству 3. решений линейного однородного дифференциального уравнения, является решением уравнения .

Теперь проверим второе условие определения 7: зададим в точке произвольные начальные условия , , …, и покажем, что постоянные можно подобрать так, чтобы функция (8) удовлетворяла этим начальным условиям. Имеем:

. (9)

(9) является системой линейных уравнений с неизвестными . Определитель этой системы – это определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных , т.е. определитель Вронского , который отличен от 0 в силу линейной независимости функций . Но тогда система (9), как система линейных уравнений с n неизвестными и определителем, не равным 0, имеет единственное решение. ■

Таким образом, для нахождения общего решения уравнения (1) нужно знать фундаментальную систему его решений. Однако в общем случае методов нахождения такой фундаментальной системы не существует.

Ниже будет описан способ нахождения фундаментальной системы решений для одного класса уравнений вида .

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

В этом параграфе будет рассматриваться оператор вида

, (10)

где , постоянные действительные числа, и уравнение вида , , или

. (11)

Уравнение (11) можно разделить на , поэтому к нему применимы предыдущие рассуждения, и общее решение (11) ищется по формуле (8): где произвольные постоянные, а фундаментальная система решений.

Для нахождения последней будем искать решения (11) в виде , где некоторое число. Подставляя в (11) и учитывая, что , имеем: , или

. (12)

Т.е. функция является решением уравнения (11) тогда и только тогда, когда число является корнем уравнения (12).

Определение 6. Уравнение (12) называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения (11).

Характеристическое уравнение (12) получается из дифференциального уравнения (11) заменой производной на , (под нулевой производной функции понимается сама эта функция).

Определение 7. Левую часть характеристического уравнения (12) назовем характеристическим многочленом и обозначим .

Уравнение (12), как и всякое алгебраическое уравнение степени , имеет ровно корней с учетом их кратности. Рассмотрим следующие 4 случая:

1. Все корни характеристического уравнения действительные и различные

Пусть эти корни. Этим корням соответствуют решений уравнения (11): , , …, . Эти функции линейно независимы (см. пример выше), значит, они образуют фундаментальную систему решений уравнения (11), и общее решение этого уравнения задается формулой (8).

Пример. Решить дифференциальное уравнение .

Решение.

Характеристическое уравнение имеет вид: . Решаем это уравнение: Этим трем действительным различным корням соответствуют три решения из фундаментальной системы решений: , и общее рашение исходного уравнения имеет вид: .

2. Корни характеристического уравнения разные, но среди них есть комплексные

Так как в предыдущих рассуждениях нигде не использовалось, что корни характеристического уравнения и коэффициенты в решениях вида действительные числа, то все результаты пункта 1. справедливы и в случае таких комплексных чисел, однако в фундаментальной системе решений часть функций окажется тогда комплекснозначной. Чтобы от таких функций перейти к функциям с действительными значениями, поступим следующим образом.

Пусть корень характеристического уравнения (12) кратности 1. Так как это уравнение с действительными коэффициентами, то тоже корень уравнения (12) кратности 1. Этим корням соответствуют следующие решения уравнения (11):

Так как любая линейная комбинация (даже с комплексными коэффициентами) решений линейного однородного уравнения тоже является решением этого уравнения, то решениями (11) будут и функции

и .

Покажем, что если в фундаментальной системе решений заменить и на такие их линейные комбинации, то система останется фундаментальной. Для этого, согласно определению фундаментальной системы решений 5, достаточно доказать, что функции новой системы будут линейно независимыми. Приравняем к 0 линейную комбинацию таких функций:

Тогда

Так как линейно независимы, то все коэффициенты их линейной комбинации, равной 0, будут равны 0, т.е. ; ; ;…; . Складывая и вычитая два первых равенства, имеем и , , что и требовалось доказать.

Так же можно поступить с любой другой парой комплексно сопряженных корней кратности 1 уравнения (12).

Пример. Решить дифференциальное уравнение .

Решение.

Запишем характеристическое уравнение: . Комплексные корни этого уравнения имеют кратность 1, и общее решение дифференциального уравнение пишется в виде

3. Среди корней характеристического уравнения есть действительные кратные

Пусть действительный корень характеристического уравнения (12) кратности . Согласно предыдущему, ему соответствует решение уравнения (11) . Но чтобы сохранить количество решений в фундаментальной системе, этому корню должно соответствовать решений.

Оказывается, что такими решениями будут функции

, , , …, .

1) Эти функции являются решениями уравнения (11).

Проверим это в случае , т.е. при , , ,…, .

В этом случае характеристическое уравнение (12) имеет вид

, где , или

, где ,

тогда соответствующее дифференциальное уравнение (11) имеет вид

, ,

и, очевидно, что все наши функции удовлетворяют этому уравнению, так как все встречающиеся в нем производные этих функций равны 0.

Случай сводится к случаю путем замены , где новая неизвестная функция. Рассмотрение такой замены, однако, требует достаточно громоздких выкладок, которые мы здесь приводить не будем.

2) Теперь проверим, что полученные решения линейно независимы. Приравняем к 0 (тождественно на любом конечном или бесконечном промежутке) произвольную линейную комбинацию этих решений и докажем, что все коэффициенты этой линейной комбинации обязательно равны 0. Имеем:

(последний переход уже был разобран выше).

Так же можно поступить с любым другим действительным кратным корнем характеристического уравнения. Можно проверить, что вся полученная таким образом система решений будет линейно независимой.

Пример. Решитьдифференциальное уравнение .

Решение.

Характеристическое уравнение имеет вид: . Решаем это уравнение: ; ; ; , . В соответствии с изложенным выше, общее решение дифференциального уравнения имеет вид .

4. Среди корней характеристического уравнения есть комплексные кратные

Так как в рассуждениях пункта 3. не использовалась действительность корней характеристического уравнения и коэффициентов в решениях вида , то результаты 3. справедливы и в случае комплексных чисел, однако при этом часть функций в фундаментальной системе решений окажется комплекснозначными. Чтобы от них перейти к функциям с действительными значениями, поступим аналогично пункту 2. и получим новую фундаментальную систему решений:

и , .

Пример. Решить дифференциальное уравнение .

Решение.

Характеристическое уравнение имеет вид: , или . Корни этого уравнения: , . В соответствии с результатами пункта 4, общим решением дифференциального уравнения будет функция .

Подведем итог: Общее решение уравнения

имеет вид

где произвольные постоянные, а фундаментальная система решений уравнения, которая ищется следующим образом:

составляем характеристическое уравнение

Это уравнение имеет ровно корней (с учетом кратности). Этим корням соответствуют следующие функций в фундаментальной системе решений:

1. Каждому действительному корню кратности 1 соответствует решение .

2. Каждой паре комплексно сопряженных корней и , кратности 1 каждый, соответствуют два решения и .

3. Каждому действительному корню кратности соответствуют решений , , , …, .

4. Каждой паре комплексно сопряженных корней и кратности каждый, соответствует решений , , , ,…, , .

Лекция 3

НЕОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

В этом параграфе, как и выше, под понимается линейный дифференциальный оператор вида

, (1)

где все коэффициенты , определены и непрерывны на некотором интервале , и рассматривается так называемое неоднородное уравнение , где также определена и непрерывна на , или

. (2)

Уравнение вида или

(3)

называется однородным линейным уравнением, соответствующим уравнению (2). Общее решение (2) находится в соответствии с теоремой 3 предыдущей лекции.

Теорема 1 (структура общего решения линейного неоднородного уравнения).Пусть общее решение однородного уравнения (3) (здесь фундаментальная система решений этого уравнения, а произвольные постоянные), а частное решение неоднородного уравнения (2) (т.е. одно из решений этого уравнения). Тогда функция

(4)

является общим решением уравнения (2). Т.е. общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения исходного неоднородного уравнения.

▲ Нужно проверить, что функция (4) удовлетворяет определению общего решения дифференциального уравнения.

Как и , эта функция зависит от и произвольных постоянных . При любых значениях этих постоянных функция (4) является решением уравнения (2): .

Теперь в точке зададим произвольные начальные условия

, , … , и покажем, что постоянные можно подобрать так, чтобы функция (4) удовлетворяла этим начальным условиям. Имеем: . (5)

Система (5) является системой линейных уравнений с неизвестным и правыми частями , , … , . Определитель этой системы – это определитель Вронского , который отличен от 0 в силу линейной независимости функций . Значит, система (5) имеет единственное решение. ■

Приведем здесь еще одну теорему, которая в некоторых случаях облегчает нахождение частного решения неоднородного уравнения.

Теорема 2. Пусть частное решение уравнения , а частное решение уравнения . Тогда частное решение уравнения .

▲ . ■

В соответствии с теоремой 1, для нахождения общего решения уравнения (2) нужно знать фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения (3) (ее мы умеем находить для уравнений с постоянными коэффициентами) и частное решение данного неоднородного уравнения.

Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами

и правой частью специального вида

В этом параграфе коэффициенты линейного оператора –постоянные действительные числа:

, .

Тогда неоднородное и соответствующее однородное уравнения из предыдущего параграфа будут иметь вид:

(6)

, . (7)

Эти уравнения можно разделить на , поэтому сюда применима теорема 1, и общее решение (6) будет иметь вид (4):

Частное решение неоднородного уравнения (6) будет искаться при следующих двух правых частях (которые называются правыми частями специального вида):

1. , где многочлен степени .

Пусть число является корнем характеристического уравнения для однородного уравнения (7) кратности (если не является корнем этого уравнения, то мы будем считать, что ).

а) Сначала рассмотрим случай , т.е. .

В этом случае естественно искать частное решение неоднородного уравнения (6) в виде , где многочлен некоторой степени . Подставим такую функцию в уравнение (6), которое в данном случае (см. выше) имеет вид , .

Имеем:

. (8)

В этой формуле многочлен степени , многочлен степени , … , многочлен степени . Тогда ( ) левая часть формулы (8) есть многочлен степени . Но правая часть этой формулы есть многочлен степени , значит, , .

В левую часть формулы (8) не войдут коэффициенты многочлена при (так как эти коэффициенты «пропадут» при нахождении производных порядка и выше), значит, эти коэффициенты можно взять любыми. Взяв их равными 0, имеем:

где многочлен степени с неопределенными коэффициентами (т.е. коэффициентами, которые нам еще надо найти).

б) Теперь рассмотрим случай произвольного .

Такой случай сводится к случаю а) путем замены , где, новая неизвестная функция. Опуская довольно громоздкие выкладки, получим частное решение уравнения для , где – многочлен степени с неопределенными коэффициентами. Отсюда частное решение (6) можно искать в виде

. (9)

Подставляя функцию (9) в уравнение (6) и сокращая это уравнение на , получим тождественное равенство (на ) двух многочленов степени . Необходимым и достаточным условием такого равенства является совпадение коэффициентов этих многочленов при одинаковых степенях . Приравнивая эти коэффициенты, получим систему уравнений с неизвестными, которая, как можно доказать, всегда имеет единственное решение.

Таким образом, если , то частное решение неоднородного уравнения (6) ищется по формуле (9), в которой многочлен степени с неопределенными коэффициентами, а кратность как корня характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения (7), или сколько раз , взятое из правой части уравнения (6), встречается среди корней характеристического уравнения.

Пример. Решить дифференциальное уравнение .

Решение.

Характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения имеет вид . Корни этого уравнения , , и общее решение однородного уравнения . Теперь ищем частное решение исходного уравнения: , , , и . Находим производные этой функции и подставляем в исходное уравнение (для удобства записи опуская символ *): ;

; теперь

;

; .

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях этого равенства:

. Из этой системы ; ; . В итоге, .

2. , где и многочлены степени и соответственно с действительными коэффициентами (это обобщение случая 1, который получается отсюда при ).

Можно показать, что вэтом случае частное решение неоднородного уравнения (6) следует искать по формуле

, (10)

где и многочлены степени с неопределенными (действительными) коэффициентами , а – кратность как корня характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения (7), или сколько раз , взятое из правой части уравнения (6), встречается среди корней характеристического уравнения.

Подставляя решение вида (10) в уравнение (6), после сокращения на получаем тождественное равенство (на ) двух функций. Приравнивая коэффициенты при и в обеих частях этого равенства (такие функции линейно независимы), получаем систему уравнений, из которой единственным образом находим коэффициенты многочленов и .

Пример. Решить диффененциальное уравнение .

Решение.

Соответствующее однородное уравнение . Его характеристическое уравнение имеет вид , или . Отсюда и . Общее решение исходного уравнения: . Находим частное решение исходного уравнения: , , ; , , ; это число не является корнем характеристического уравнения, поэтому и . Отсюда (символ * для удобства записи опускаем) , , . Подставляем в исходное уравнение: ; . Приравниваем коэффициенты при и в левой и правой частях: Отсюда , и .

Этот пример показывает, что независимо от наличия в правой части линейного дифференциального уравнения обеих функций и или только одной из них, в решении вида (10) должны быть обе эти функции.

Замечание. Если правая часть уравнения (6) является суммой двух или большего числа функций специального вида, то для нахождения частного решения этого уравнения удобно использовать упомянутую выше теорему 2.

Метод вариации произвольных постоянных

Теперь вернемся к общему виду линейного неоднородного дифференциального уравнения. Пусть

(1)

и неоднородное и соответствующее однородное уравнения имеют вид

, (2)

, . (3)

Общее решение уравнения (2) имеет вид

(4)

где

(11)

– общее решение уравнения (3) ( фундаментальная система решений этого уравнения), а частное решение уравнения (2).

Метод вариации произвольных постоянных заключается в нахождении по той же формуле (11), считая, что в ней коэффициенты являются функциями : , .

При подстановке такой функции в уравнение (2) получим одно уравнение с неизвестными: . Остальные уравнения мы допишем наиболее удобным для нас способом. Имеем:

Потребуем, чтобы (это 1-е уравнение)

Потребуем, чтобы (это 2-е уравнение)

………………………………………………………………………………….. (12)

Потребуем, чтобы (это -ое уравнение)

Последнее -ое уравнение получается после подстановки всех этих функций в формулу (2). Для этого надо умножить последнее из равенств (12) на 1, предпоследнее – на , …, второе – на , первое – на (все эти множители приведены в столбце слева), и все полученные новые равенства сложить. Собирая вместе члены с , получим:

. (13)

Так как решения (3), то , , …, , и уравнение (13) приобретает вид

. (14)

Теперь выпишем систему уравнений для :

. (15)

(15) – это система линейных уравнений с неизвестными . Ее легко запомнить: коэффициентами являются – в 1-м уравнении , во 2-м , в 3-м и т. д.; правые части, кроме последней ( ой), равны 0, а последняя правая часть равна .

Определитель системы (15) есть определитель Вронского функций , который отличен от 0 во всех точках интервала , так как функции линейно независимы на этом интервале. Значит, система (15) имеет единственное решение , , …, .

Первообразные для этих функций и являются нужными нам коэффициентами в формуле (11).

Пример. Решить дифференциальное уравнение .

Решение.

Соответствующее однородное уравнение имеет вид . Характеристическое уравнение имеет корни , , , и общее решение имеет вид . Теперь ищем частное решение исходного уравнения по той же формуле, считая, что в ней , . Система (15) выглядит так:

. Складывая 2-е и 3-е уравнения, имеем: ; .

Подставим во 2-е уравнение: ; . Подставим и в 1-е уравнение: . Теперь находим сами коэффициенты (произвольные постоянные не пишем, так как находим лишь одно частное решение неоднородного уравнения):

;

Значит, и

Метод вариации произвольных постоянных в принципе применим для любых линейных неоднородных уравнений (даже с коэффициентами, зависящими от ). Однако для произвольных таких уравнений нет общего метода решения соответствующих однородных уравнений, поэтому этот метод применяется для решения уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью, не являющейся функцией специального вида. При правых же частях специального вида применяется более простой (в частности, не содержащий операции интегрирования) метод, изложенный выше.