ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Теорема 1 (существования и единственности решения задачи Коши).

Лекция 1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

И УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА

Дифференциальные уравнения произвольного и первого порядка

Определение 1. Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и производные этой функции . В общем случае это соотношение можно записать в виде:

, (1)

где – некоторая функция переменных.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в это уравнение (т.е. формула (1) задает дифференциальное уравнение го порядка).

Решением (или частным решением) дифференциального уравнения (на некотором множестве) называется всякая функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество (на этом множестве).

Если решение уравнения задано в неявной форме , то такое равенство называют интегралом дифференциального уравнения.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Решить дифференциальное уравнение – это означает найти все его решения.

Определение 2. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение

, (2)

где – некоторая функция трех переменных. Если из этого уравнения можно выразить , то оно примет вид

, (3)

где – некоторая функция двух переменных. Уравнение (3) называется уравнением, разрешенным относительно производной.

Мы будем в основном рассматривать именно такие уравнения.

Определение 3.Задачей Коши для уравнения (13.3) называется задача

, (4)

где и – некоторые числа. Т.е. требуется найти решение дифференциального уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию .

Теорема 1 (существования и единственности решения задачи Коши).

Пусть функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области на плоскости , и точка . Тогда задачи Коши (13.4) имеет решение и притом единственное. Это решение определено в некоторой окрестности точки .

Доказательство этой теоремы достаточно сложно и требует введения ряда дополнительных понятий, поэтому мы оставим его за пределами данных лекций.

Геометрический смысл теоремы заключается в том, что через точку проходит единственная интегральная кривая.

Определение 4. Пусть в области выполняются условия теоремы 1. Функция

, (5)

где – постоянная, называется общим решением уравнения первого порядка (3) в некоторой окрестности точки , если:

1. При и , где некоторое множество (в простых случаях вообще любое) функция (5) является решением уравнения (3).

2. Для любого начального условия , где , существует значение постоянной , при котором функция (5) удовлетворяет этому начальному условию: .

Определение 5. Равенство вида , неявно задающее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка (3).

Некоторые типы дифференциальных уравнений первого порядка

и методы их решений

В этом параграфе будут рассмотрены некоторые уравнения вида и указаны методы решения таких уравнений будет предполагаться удовлетворяющей условиям теоремы 1).

Уравнения с разделяющимися переменными это уравнения вида или

. (6)

Решение. Предполагая, что , запишем последнее равенство в виде (таким образом, мы сумели «разделить переменные» в уравнении (6)). Считая, что есть решение исходного уравнения, мы видим, что последнее равенство есть равенство дифференциалов двух функций от , которое может выполняться тогда и только тогда, когда сами эти функции, или интегралы от их дифференциалов, отличаются на произвольную постоянную: , или

. (7)

Равенство (7), имеющее вид , является общим интегралом исходного дифференциального уравнения (6).

Пример. Решить дифференциальное уравнение .

Решение.

; ; ; . Из полученного равенства вида (7) в этом примере можно выразить . Заменяя на (то и другое – произвольные постоянные), имеем:

; ; ; , или ( можно заменить на ) .

После деления на и переменные разделяются также в уравнениях вида

: (8)

Уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными:

, (9)

где , , – некоторые постоянные.

Решение.Сделаем в уравнении (9) замену , где – новая неизвестная функция. Тогда , , и (9) принимает вид ; ; , т.е. переменные разделились.

Пример. Решить дифференциальное уравнение .

Решение.

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; заменяя здесь на , имеем: , откуда

, или, заменяя на , .

Однородные уравнения первого порядка это уравнения вида

(10)

(т.е. в этих уравнениях правая часть зависит только от отношения ).

Решение. Сделаем в уравнении замену , где – новая неизвестная функция: ; . Тогда уравнение примет вид , или . Но последнее уравнение является уравнением с разделяющимися переменными: ; и решается как все такие уравнения: .

Пример. Решить дифференциальное уравнение .

Решение.

Переписав это уравнение в виде , мы видим, что оно является однородным. После замены , ; , уравнение примет вид ; . Разделяем переменные в последнем уравнении: ; . Далее имеем: ; ; ; ; ; ; .

Уравнения, сводящиеся к однородным:

, . (11)

Заметим, что если , то , , и (11) примет вид , где – некоторая функция, т.е. вид (9), и будет решаться как уравнение такого вида.

Если бы в уравнении (11) , то это уравнение имело бы вид , т.е. вид (10), и являлось бы однородным. Поэтому мы будем пытаться путем некоторой замены (аргумента и искомой функции ) обратить эти коэффициенты в 0. Положим , где и – некоторые числа. Тогда , и , где . Уравнение (11) теперь принимает вид

. Теперь подберем

и так, чтобы . Эта система имеет единственное решение, так как ее определитель , ибо, по условию, строки этого определителя не пропорциональны. При таких и наше уравнение, как было показано выше, становится однородным.

Пример. Решить дифференциальное уравнение .

Решение.

; и должны удовлетворять системе ; складывая и вычитая уравнения, имеем: , ; , ; т.е. , ; при такой замене ; ; в последнем однородном уравнении сделаем замену , , ; тогда ; ; разделяем переменные: ; ; интегрируем: ; ;

; ;

теперь вернемся к переменным и ; подставляя в эту формулу , , имеем:

, или ;

последнее равенство есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения.

Линейные уравнения первого порядка это уравнения вида

. (12)

Существуют два метода решения линейных уравнений, которые отличаются друг от друга лишь формой записи.

Первый способ (метод Бернулли). Будем искать решение уравнения (12) в виде , где , – некоторые функции. Тогда и (12) принимает вид . Перепишем последнюю формулу следующим образом:

(13)

Теперь выберем функцию такой, чтобы

, (14)

а затем найдем все функции , при которых справедливо равенство (13) (т.е. при нахождении решения в виде произведения двух сомножителей мы выбираем один из этих сомножителей как нам удобно, а затем находим второй сомножитель так, чтобы их произведение было решением).

Разделяя переменные, имеем:

; ; ; ;

= ; , или .

Так как нам достаточно найти лишь одно решение уравнения (13.14), то возьмем в последней формуле , и тогда

. (15)

Далее из (13) и (15) имеем: ; ;

; (16)

Эта функция и есть общее решение исходного линейного уравнения (12).

Пример. Решить дифференциальное уравнение .

Решение.

Обычно в примерах не используют готовую формулу (13.16), а проводят для каждого конкретного уравнения те действия, которые к ней привели. Будем искать решение уравнения в виде . Тогда , и уравнение принимает вид ; . Потребуем, чтобы , тогда ; ; ; ; ; ; , или . Принимая здесь , получаем, что . Теперь ; ; отсюда , и .

Второй способ (метод вариации произвольной постоянной). Рассмотрим так называемое линейное однородное уравнение, соответствующее данному уравнению (13.12):

. (17)

Решаем это уравнение (с разделяющимися переменными): ; ; ; ; , или

. (18)

Теперь будем искать решение уравнения (12) по той же формуле (18), считая, что в ней (отсюда и название метода). Тогда

= .

Подставляя эту производную в (12), имеем:

, или

(т.е. члены с всегда сокращаются, остается только член с ).

Отсюда ; , и ( заменяем на ) , т.е. мы опять получили формулу (16).

Пример. Решить задачу Коши .

Решение.

Переписав это уравнение в виде , мы видим, что оно действительно является линейным. Соответствующее однородное уравнение имеет вид . Решаем это уравнение: ; ; ; ;

; , или . Теперь ищем решение исходного уравнения по этой же формуле, считая, что в ней . Подставляя в уравнение, имеем: ; ; , и ( заменяем на ) . Подставляя сюда х = 0, имеем:

2 = с , т.е. единственное решение задачи Коши имеет вид .

Уравнения Бернулли это уравнения вида

, (19)

где , (при получаем линейное уравнение, а при – уравнение с разделяющимися переменными).

Легко убедиться, что к уравнениям Бернулли применим любой из описанных выше методов решения линейных уравнений.

Пример. Решить дифференциальное уравнение .

Решение.

1-й способ: ; ; . Потребуем, чтобы , тогда ; ; ; ; ; ; при .

Тогда ; ; ; ; ; ; .

2-й способ: Решаем соответствующее однородное уравнение . Имеем: ; ; ; ; ; ; . Теперь ищем решение исходного уравнения по этой формуле, считая, что в ней . Подставляя в уравнение, имеем: ; ; ; ; ; ; .

Уравнения в полных дифференциалах это уравнение вида

(20)

в котором левая часть является (полным) дифференциалом некоторой функции двух переменных, т.е. существует функция , такая, что .

В этом случае уравнение (20) имеет вид , что выполняется в том и только в том случае, когда , где – некоторая (произвольная) постоянная. Последнее равенство является общим интегралом уравнения (20).

Ранее была изложена

Теорема 2. Пусть функции , , и непрерывны в области . Тогда для того, чтобы в D выражение являлось полным дифференциалом некоторой функции двух переменных, необходимо, а в предположении односвязности области и достаточно, чтобы при

(21)

и приведены формулы для нахождения функции :

(22)

и . (23)

Пример. Решить дифференциальное уравнение .

Решение.

В этом примере , непрерывны вместе со своими частными производными на всей плоскости . , , т.е. , значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах (кстати, отметим, что оно также является однородным). Взяв , из формулы (22) имеем (достаточно знать одну функцию , поэтому берем ): .

Общий интеграл уравнения имеет вид , или .

Дифференциальные уравнения высшихпорядков

Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид . Если из этого уравнения можно выразить старшую производную , то мы получим так называемое уравнение, разрешенное относительно старшей производной ( некоторая функция -й переменной).

. (24)

Определение 6. Задачей Коши для уравнения (24) называется задача

(25)

где некоторые числа.

Теорема 3 (существования и единственности решения задачи Коши)(без доказательства). Пусть функция и ее частные производные первого порядка по всем аргументам, кроме , непрерывны в некоторой области - мерного пространства и точка . Тогда задача Коши (25) имеет единственное решение (определенное в некоторой окрестности точки ).

Определение 7.Пусть выполняются условия теоремы 3. Функция

, (26)

где постоянные, называется общим решением уравнения (24) в некоторой окрестности точки , если:

1. При и наборе , где некоторое множество (в простых случаях , будут любыми числами) функция (26) является решением уравнения (24).

2. Какие бы начальные условия , ,…, , где точка , мы не задали, существует набор , при котором функция (26) удовлетворяет этим начальным условиям.

Определение 8. Равенство вида , неявно задающее общее решение, называется общим интегралом уравнения (24).

Уравнения, допускающие понижение порядка

Одним из методов решения дифференциальных уравнений высших порядков является сведение их к уравнениям меньшего (лучше первого) порядка. Рассмотрим два основных типа уравнений, допускающих понижение порядка.

1. Уравнение не содержит явным образом искомую функцию y и, может быть, несколько ее первых производных, т.е. имеет вид

. (27)

Сделаем в этом уравнении замену , где новая неизвестная функция (т.е. за новую неизвестную функцию берется производная наименьшего порядка, входящая в это уравнение). Тогда , , …, , и (27) примет вид , и порядок уравнения понизился.

Пример. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения .

Решение.

Обозначая , , имеем . Это уравнение первого порядка является уравнением с разделяющимися переменными: ; . Интегрируя, получаем: ; ; ; , т.е. . Прежде чем интегрировать еще раз, найдем из второго начального условия. При из него ; ; . Значит .Отсюда . Подставляя , из первого начального условия находим постоянную : ; . Таким образом, .

Если бы нам нужно было найти общее решение исходного уравнения, то

= .

2. Уравнение не содержит явным образом независимую переменную х, т.е. имеет вид

. (28)

Сделаем в этом уравнении замену , где , т.е. за новую независимую переменную мы берем а за новую независимую функцию . Покажем, что при такой замене порядок уравнения понижается на единицу:

, т.е. ,

и так далее, т.е. порядок каждой производной становится на единицу меньше.

Пример. Решить дифференциальное уравнение .

Решение.

Обозначая , , , имеем . Это уравнение первого порядка, опять-таки, является уравнением с разделяющимися переменными: ; . Интегрируя, получаем: ; ; ; ; , т.е. . Еще раз разделяем переменные: ; . Далее имеем: ; . Возводя в квадрат обе части, находим общее решение :

; ; .

Если бы мы решали задачу Коши для нашего уравнения, т.е. добавили бы к нему начальные условия, например, , , то постоянные тоже проще было бы находить «по дороге»: считая, что в равенстве , получаем: ; значит, знак нужно брать «+» и , ;

тогда, аналогично изложенному выше, и при отсюда ; ; ; ; или .

Лекция 2.

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Определение 1. Линейным дифференциальным оператором называется оператор вида

, (1)

где , определены и непрерывны на некотором интервале .

Линейный дифференциальный оператор ставит в соответствие функции новую функцию , определенную по формуле (1).

Свойства линейного дифференциального оператора:

1. , где постоянная.

▲ . ■

▲

= = . ■

Определение 2. Линейным однородным дифференциальным уравнением называется уравнение вида , или

. (2)

Свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения.

1. Если решение уравнения (14.2), а произвольная постоянная, то тоже решение уравнения (2).

▲ Согласно свойству 1 линейного дифференциального оператора, . ■

2. Если и решения уравнения (2), то тоже решение уравнения (2).

▲ Согласно свойству 2 линейного дифференциального оператора, . ■

3. Если решения уравнения (2), а произвольные постоянные, то тоже решение уравнения (2).

▲ Это свойство является очевидным следствием свойств 1 и 2. ■

Функция зависит от и от произвольных постоянных. При любых значениях этих постоянных она является решением уравнения (2). Ниже будут изучаться условия, при которых эта функция является общим решением уравнения (2). т.е. условия, при которых она удовлетворяет определению 7 предыдущей лекции.

Линейная зависимость и независимость функций

Определение 3. Функции называются линейно зависимыми на некотором множестве , если существуют постоянные , хотя бы одна из которых отлична от нуля, такие, что

(3)

(здесь знак тождества « » означает выполнение равенства (14.3) для ). Функции называются линейно независимыми на множестве если тождество (3) выполняется только при всех коэффициентах .

Пример 1. Покажем, что функции , , , …, линейно независимы на любом конечном или бесконечном промежутке .

▲ Из равенства

(4)

следует, что любой является корнем уравнения (4). Но любой многочлен степени имеет только корней, откуда следует, что единственным возможным является случай . ■