ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

12 3

Линейные операторы

Определение.Пусть и два линейных пространства. Если дано правило, по которому каждому элементу ставится в соответствие элемент , , то говорят, что задан оператор (отображение, закон), действующий из пространства в пространство

Записывают: или

Говорят: «Оператор переводит вектор в вектор ».

Принято называть образом , а - прообразом .

Оператор называется линейным, если выполняются условия:

1. - свойство аддитивности оператора;

2. - свойство однородности оператора.

Если пространства и совпадают, то оператор отображает пространство в себя.

Пример 52.Проверить линейность оператора

Выберем в пространстве базис

Запишем разложение произвольного вектора по данному базису:

В силу линейности оператора получаем:

Так как также вектор из , то его можно разложить по базису

Тогда (5)

С другой стороны, вектор , имеющий в том же базисе координаты можно записать так:

(6)

Так как любой вектор можно разложить по базису, причем единственным образом, получаем равенство правых частей в (5) и (6).

Отсюда

Матрица называется матрицей оператора в базисе , а ранг матрицы – рангом оператора .

Утверждение. Каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе.

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Определение. Пусть R – заданное - мерное линейное (векторное) пространство. Ненулевой вектор R называется собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число , что выполняется равенство:

(7)

Число называется собственным числом (значением) линейного оператора (матрицы ), соответствующим вектору .

Собственный вектор под действием линейного оператора переходит в вектор, коллинеарный самому себе.

Равенство (7) можно представить в матричной форме:

где вектор представлен в виде вектора-столбца, или в развернутом виде

Перепишем систему так, чтобы в правых частях были нули:

(8)

Или в матричном виде

Полученная однородная система всегда имеет нулевое решение. Для существования ненулевого решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю:

(9)

Определитель системы является многочленом –го порядка относительно . Этот многочлен называется характеристическим многочленом оператора или матрицы , а уравнение (9) – характеристическим уравнением оператора или матрицы . Это уравнение имеет степень относительно , равную порядку матрицы линейного оператора (т.е. ).

По основной теореме алгебры, уравнение -й степени имеет корней. Таким образом, для нахождения собственных чисел надо составить характеристическое уравнение и найти его действительные корни. Затем, подставляя каждое собственное число в систему (8), находим для каждого собственного числа соответствующий собственный вектор.

Характеристический многочлен линейного оператора не зависти от выбора базиса.

Пример 53. Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора заданного матрицей .

Решение

Составим характеристическое уравнение, используя формулу (9):

Вычислим полученный определитель (понижением порядка):

- собственные числа (значения) линейного оператора (собственные числа матрицы оператора).

Найдем собственные векторы.

Если , то для определения координат собственного вектора составим и решим соответствующую систему уравнений:

Пусть (свободная переменная), тогда , .

Составим собственный вектор .

Если , то .

Пусть , тогда и .

Составим собственный вектор .

Если , то .

Пусть , тогда и .

Составим собственный вектор .

Пример 54 . Найти собственные числа матрицы .

Решение

Составим характеристическое уравнение матрицы, ,используя формулу (9):

- характеристическое уравнение оператора (матрицы) .Разложив левую часть уравнения на множители, получим . Следовательно, матрица имеет два собственных числа: .