ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Ситуационная (практическая) задача № 2

Имеются поквартальные данные по товарообороту некоторой компании в 1999-2008 гг.

Год	Товарооборот, млн. руб.	Год	Товарооборот, млн. руб.
	100,0		95,7
	93,9		98,2
	96,5		104,0
	101,8		99,0
	107,8		98,8

Требуется:

1. Проверить гипотезу о наличии тренда во временном ряде.

2. Рассчитать коэффициенты автокорреляции. Проверить наличие сезонных колебаний во временном ряде.

3. Оценить параметры линейной трендовой модели, проверить статистическую значимость соответствующего уравнения регрессии с надежностью 0,99.

4. Дать точечный и интервальный прогноз товарооборота компании на 2011 год с надежностью 0,99.

Решение:

1. Проверим гипотезу о наличии тренда во временном ряде. Значение критерия рассчитаем по формуле:

где


				95,7	8,218
	93,9	37,210		98,2	0,134
	96,5	12,250			29,521
	101,8	3,240			0,188
	107,8	60,840		98,8	0,054
		0,000		95,7	8,218
ИТОГО			ИТОГО	591,4	46,333

Критическим значением критерия Стьюдента при уровне значимости и числе степеней свободы является . Так как , то гипотезу об отсутствии тренда принимаем, то есть тренд отсутствует.

2. Рассчитаем коэффициенты автокорреляции. Коэффициент автокорреляции уровней ряда 1-го порядка:

где

Коэффициент автокорреляции уровней ряда 2-го порядка:

Аналогично можно найти коэффициенты автокорреляции уровней ряда n-го порядка. Однако для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции воспользуемся правилом: max лаг £ n/4, то есть в нашем случае максимальный лаг будет равен 3.

Расчет коэффициента автокорреляции 1-го порядка



93,9		-5,318	0,391	-2,079	28,283	0,153
96,5	93,9	-2,718	-5,709	15,518	7,389	32,594
101,8	96,5	2,582	-3,109	-8,027	6,666	9,666
107,8	101,8	8,582	2,191	18,802	73,648	4,800
	107,8	0,782	8,191	6,404	0,611	67,091
95,7		-3,518	0,391	-1,375	12,378	0,153
98,2	95,7	-1,018	-3,909	3,980	1,037	15,281
	98,2	4,782	-1,409	-6,738	22,866	1,986
		-0,218	4,391	-0,958	0,048	19,280
98,8		-0,418	-0,609	0,255	0,175	0,371
95,7	98,8	-3,518	-0,809	2,847	12,378	0,655
				28,628	165,476	152,029

Расчет коэффициента автокорреляции 2-го порядка



93,9
96,5		-12,64	0,31	-3,918	159,770	0,096
101,8	93,9	-7,34	-5,79	42,499	53,876	33,524
107,8	96,5	-1,34	-3,19	4,275	1,796	10,176
	101,8	-9,14	2,11	-19,285	83,540	4,452
95,7	107,8	-13,44	8,11	-108,998	180,634	65,772
98,2		-10,94	0,31	-3,391	119,684	0,096
	95,7	-5,14	-3,99	20,509	26,420	15,920
	98,2	-10,14	-1,49	15,109	102,820	2,220
98,8		-10,34	4,31	-44,565	106,916	18,576
95,7		-13,44	-0,69	9,274	180,634	0,476
				-88,495	1016,086	151,309

Расчет коэффициента автокорреляции 3-го порядка



93,9
96,5
101,8		2,582	0,391	1,009	6,666	0,153
107,8	93,9	8,582	-5,709	-48,994	73,648	32,594
	96,5	0,782	-3,109	-2,431	0,611	9,666
95,7	101,8	-3,518	2,191	-7,708	12,378	4,800
98,2	107,8	-1,018	8,191	-8,340	1,037	67,091
		4,782	0,391	1,869	22,866	0,153
	95,7	-0,218	-3,909	0,853	0,048	15,281
98,8	98,2	-0,418	-1,409	0,589	0,175	1,986
95,7		-3,518	4,391	-15,448	12,378	19,280
				-78,6	129,805	151,003

По значениям коэффициентов автокорреляции можно сделать вывод о наличии сезонных колебаний.

3. Оценим параметры линейной трендовой модели. В соответствии с методом наименьших квадратов оценки параметров уравнения линейного тренда вычислим по формулам:

t	z

	93,9	187,8
	96,5	289,5
	101,8	407,2
	107,8

	95,7	669,9
	98,2	785,6


	98,8	1086,8
	95,7	1148,4
	1191,4	7740,2

Уравнение тренда будет иметь вид:

Проверим статистическую значимость уравнения регрессии с надежностью 0,99. Найдем коэффициент детерминации:


		99,433	0,513611	0,32
	93,9	99,406	28,98028	30,32
	96,5	99,379	7,746944	8,29
	101,8	99,352	6,333611	6,00
	107,8	99,324	72,53361	71,84
		99,297	0,513611	0,49
	95,7	99,270	12,84028	12,74
	98,2	99,242	1,173611	1,09
		99,215	22,24694	22,89
		99,188	0,080278	0,04
	98,8	99,161	0,233611	0,13
	95,7	99,133	12,84028	11,79
Всего			166,04	165,93

Вычислим коэффициент детерминации:

Оценим качество уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера. Проверим гипотезу Н₀ о статистической незначимости уравнения регрессии:

Критическое значение критерия . Так как критическое значение больше фактического, то гипотезу Н₀ отклоняем, то есть данное уравнение регрессии не является статистически значимым.

4. Дадим точечный и интервальный прогноз товарооборота компании на 2011 год с надежностью 0,99. Точечный прогноз:

млн. руб.

Интервальный прогноз:

Тестовыезадания

Необходимо из предложенных вариантов ответа на вопрос теста выбрать единственно верный, по Вашему мнению.

1. С помощью какого метода можно найти оценки параметра уравнения линейной регрессии:

a) метода наименьших квадратов;

b) корреляционно-регрессионного анализа;

c) дисперсионного анализа;

d) метода серий.

2. Уравнение регрессии, описывающее зависимость удельных постоянных расходов от объема выпускаемой продукции имеет вид: . Чему может быть равен линейный коэффициент парной корреляции?

a) -0,9;

b) 0,75;

c) 1,5;

d) -0,75.

3. Линейный коэффициент парной корреляции для величин X и Y равен 0,8. Чему равен коэффициент детерминации для линейного уравнения парной регрессии, построенного по этой выборке?

a) 0,64;

b) 0,894;

c) 0,2;

d) 0,4.

4. По 30 наблюдениям построено уравнение регрессии . Каким квантилем нужно воспользоваться при проверке статистической значимости коэффициентов частной корреляции для этого уравнения?

5. По формуле вычисляется 

a) статистика χ² для проверки наличия мультиколлинеарности в модели регрессии;

b) вектор оценок коэффициентов для уравнения множественной регрессии;

c) критерий для проверки адекватности модели;

d) прогнозное значение исследуемого показателя.

6. С помощью какого критерия проверяют наличие автокорреляции остатков?

a) Дарбина-Уотсона;

b) Фишера;

c) Голдфельда-Кванта;

d) Стьюдента.

7. Следствием гетероскедастичности является

a) несостоятельность оценок параметров уравнения, полученных по МНК;

b) смещенность оценок параметров уравнения, полученных по МНК;

c) неприменимость статистических тестов;

d) ненадежность оценок параметров уравнения, полученных по МНК.

8. Какая из составляющих временного ряда описывает конъюнктурные факторы, формирующие изменения анализируемого признака, обусловленные воздействием долговременных циклов экономической, демографической или солнечной активности?

a) тренд;

b) сезонная составляющая;

c) циклическая составляющая;

d) случайная составляющая.

9. Какая из представленных моделей временного ряда является моделью тренда?

a) y_t*= at+b+ε;

b) y_t*= a₀+a₁t+a₂cos(kt)+a₃sin(kt)+ε;

с) y_t*= ay_t-1+b+ε;

d) y_t*= a₀+a₁t+a₂t²+b₁δ₁+ b₂δ₂+ ε.

10. Для каких видов систем параметры отдельных эконометрических уравнений могут быть найдены с помощью обычного МНК?

a) система нормальных уравнений;

b) система независимых уравнений;

c) система рекурсивных уравнений;

d) система взаимозависимых уравнений.