ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Ситуационная (практическая) задача № 1

Предполагается, что объем предложения Y некоторого блага для функционирующей в условиях конкуренции фирмы линейно зависит от цены этого блага X₁ и заработной платы X₂ сотрудников фирмы, производящих данное благо. Статистические данные за 18 месяцев собраны в следующую таблицу:

Месяц	y тыс. ед.	х₁, руб.	х₂, тыс. руб.	Месяц	y тыс. ед.	х₁, руб.	х₂, тыс. руб.

Требуется:

1. Построить корреляционное поле между объемом предложения блага и его ценой. Выдвинуть гипотезу о тесноте и виде зависимости между указанными показателями.

2. Оценить тесноту линейной связи между объемом предложения блага и его ценой с надежностью 0,9.

3. Рассчитать коэффициенты линейного уравнения регрессии для зависимости объема предложения блага от его цены.

4. Проверить статистическую значимость параметров уравнения регрессии с надежностью 0,9 и построить для них доверительные интервалы.

5. Рассчитать коэффициент детерминации. С помощью F -критерия Фишера оценить статистическую значимость уравнения регрессии с надежностью 0,9.

6. Дать точечный и интервальный прогноз с надежностью 0,9 объема предложения, если цена блага составит 30 руб.

7. Рассчитать коэффициенты линейного уравнения множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров.

Проанализировать статистическую значимость коэффициентов множественного уравнения с надежностью 0,9 и построить для них доверительные интервалы.

9. Найти коэффициенты парной и частной корреляции. Проанализировать их.

10. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.

11. С помощью F -критерия Фишера оценить адекватность уравнения регрессии с надежностью 0,9.

12. Дать точечный и интервальный прогноз с надежностью 0,9 объема предложения блага для фирмы, если цена блага составит 30 руб., а заработная плата сотрудников фирмы равна 11 тыс. руб.

13. Проверить построенное уравнение на наличие мультиколлинеарности по: критерию Стьюдента; критерию χ2. Сравнить полученные результаты.

Решение:

1. Построим корреляционное поле между объемом предложения блага и его ценой:

По виду корреляционного поля можно предположить, что между объемом предложения блага Y и его ценой X₁ существует тесная прямая линейная зависимость .

2. Оценим тесноту линейной связи между объемом предложения блага и его ценой, для этого вычислим коэффициент линейной корреляции:

№	x₁

Полученное значение коэффициента корреляции говорит о сильной прямой линейной связи между объемом предложения блага и его ценой.

Для проверки значимости найденного коэффициента корреляции вычислим расчетное значение t-критерия:

Найдем табличное значение t-критерия: , . Так как , то с надежностью 0,9 можно утверждать, что полученный коэффициент корреляции является статистически значимым.

3. Рассчитаем коэффициенты линейного уравнения регрессии для зависимости объема предложения блага от его цены. В соответствии с методом наименьших квадратов расчет произведем по формулам:

Получили линейное уравнение регрессии для зависимости Y(Х₁):

4. Проверим статистическую значимость параметров уравнения регрессии с надежностью 0,9. Выдвинем гипотезу Н₀: о незначимом отклонении от нуля каждого отдельного параметра модели. Эта гипотеза отклоняется при .

Рассчитаем значение критерия при

x
	954,12	30,3293	21,8156
	670,23	37,9558	8,7370
	436,35	45,5824	57,4927
	252,46	53,2089	17,7152
	0,79	76,0886	258,8435
	15,12	71,5127	6,3136
	4,46	80,6645	32,0871
	34,68	68,4621	20,5929
	8,35	73,0380	3,8495
	199,12	98,9683	24,6838
	83,01	91,3417	2,7499
	34,68	68,4621	42,7447
	0,79	76,0886	79,4128
	199,12	98,9683	36,3817
	16,90	83,7152	265,1958
	581,35	114,2214	38,7056
	365,23	106,5948	11,5952
	735,01	118,7973	14,4196
	4591,78		943,336

Так как оба расчетных значения t-критерия по модулю больше табличного значения , то параметры уравнения регрессии являются статистически значимыми.

Построим доверительный интервал для коэффициента :

5. Рассчитаем коэффициент детерминации. Так как регрессия парная, то

Оценим качество уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера. Проверим гипотезу Н₀ о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Рассчитаем фактическое значение F-статистики Фишера. Так как регрессия парная, то фактическое значение найдем по формуле:

Определим табличное значение критерия: при , . Так как табличное значение меньше фактического , то гипотезу Н₀ отклоняем, то есть данное уравнение регрессии является статистически значимым.

6. Дадим точечный прогноз объема предложения, если цена блага составит 30 руб.:

тыс. ед.

Составим интервальный прогноз объема предложения с надежностью 0,9:

7. Рассчитаем коэффициенты линейного уравнения множественной регрессии. В соответствии с методом наименьших квадратов оценки параметров множественной линейной регрессионной модели вычислим по формуле:

где Х – матрица размером 18х3, первый столбец которой является единичным, а два других представляют собой значения и :

Y – столбец значений .

, ,

Получили уравнение множественной регрессии:

Поясним экономический смысл его параметров. Свободный коэффициент уравнения множественной регрессии отражает объем предложения блага при его нулевой цене и нулевой заработной плате (в данном случае интерпретация свободного коэффициента не имеет физического смысла). Из уравнения множественной регрессии видно, что при неизменной заработной плате увеличение цены блага на 1 руб. предположительно может увеличить объем предложения блага на 1,103 тыс. ед., а при неизменной цене блага увеличение заработной платы на 1 тыс. руб. предположительно может привести к росту объема предложения блага на 3,115 тыс. ед.

8. Проанализируем статистическую значимость коэффициентов множественного уравнения с надежностью 0,9. Расчетное значение t-критерия вычислим по формуле:

где - диагональный элемент матрицы .


	39,0330	16,265
	38,3196	11,020
	37,6061	0,155
	46,2388	7,624
	62,7906	7,788
	62,5956	41,016
	75,4471	0,200
	72,8501	0,022
	73,0452	3,821
	98,0346	16,278
	92,5173	0,233
	75,9655	0,932
	84,5981	0,161
	104,2653	0,540
	93,2308	45,822
	109,0692	1,143
	109,7826	0,047
	118,6103	13,034
	39,0330	16,265
	38,3196	11,020
	37,6061	0,155
	46,2388	7,624
	166,103

, , ,

Найдем табличное значение критерия для : . Так как все расчетные значения t-критерия больше табличного значения, то параметры все параметры уравнения множественной регрессии являются статистически значимыми.

9. Найдем коэффициенты парной корреляции. Коэффициент корреляции между объемом предложения блага и его ценой найден в п. 2:

Значение коэффициента корреляции говорит о наличии между объемом предложения блага и его ценой сильной прямой связи.

Аналогично найдем коэффициент парной корреляции между объемом предложения блага и заработной платой:

№	x₂

Значение коэффициента корреляции говорит о наличии между объемом предложения блага и заработной платой сильной прямой связи.

Найдем общий коэффициент детерминации:

Рассчитаем фактическое значение при :


39,0330	16,265	1801,531
38,3196	11,020	1801,531
37,6061	0,155	1555,864
46,2388	7,624	809,086
62,7906	7,788	304,309
62,5956	41,016	71,309
75,4471	0,200	5,975
72,8501	0,022	19,753
73,0452	3,821	5,975
98,0346	16,278	274,086
92,5173	0,233	241,975
75,9655	0,932	5,975
84,5981	0,161	57,086
104,2653	0,540	759,309
93,2308	45,822	508,753
109,0692	1,143	933,642
109,7826	0,047	1059,864
118,6103	13,034	1410,420
39,0330	16,265	1801,531
38,3196	11,020	1801,531
166,1031	11626,44

Найдем частные коэффициенты корреляции:

Таким образом, более тесная связь наблюдается между объемом предложения блага и его ценой.

10. Общий коэффициент детерминации был найден в предыдущем пункте:

Найдем скорректированный коэффициент детерминации:

Значение скорректированного коэффициента детерминации близко к значению общего коэффициента детерминации.

11. Оценим адекватность уравнения регрессии с помощью F-теста. Проверим гипотезу Н₀ о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Так как регрессия множественная ( ), то фактическое значение F-статистики Фишера вычислим по формуле:

Найдем табличное значение критерия: при , . Так как , то есть табличное значение критерия меньше расчетного , то гипотезу Н₀ отклоняем, то есть данное уравнение регрессии является статистически значимым.

12. Дадим точечный и интервальный прогноз с надежностью 0,9 объема предложения блага для фирмы, если цена блага составит 30 руб., а заработная плата сотрудников фирмы равна 11 тыс. руб.:

тыс. ед.

Сделаем интервальный прогноз с надежностью 0,99:

где - вектор независимых переменных, для которого определяется интервал; .

13. Проверим построенное уравнение на наличие мультиколлинеарности по критерию Стьюдента. Для определения мультиколлинеарности найдем коэффициент корреляции :


-26,8	718,24	-0,05	0,003	1,34
-21,8	475,24	-2,05	4,203	44,69
-16,8	282,24	-4,05	16,403	68,04
-11,8	139,24	-3,05	9,303	35,99
3,2	10,24	-3,05	9,303	-9,76
0,2	0,04	-2,05	4,203	-0,41
6,2	38,44	-0,05	0,003	-0,31
-1,8	3,24	1,95	3,803	-3,51
1,2	1,44	0,95	0,902	1,14
18,2	331,24	2,95	8,703	53,69
13,2	174,24	2,95	8,703	38,94
-1,8	3,24	2,95	8,703	-5,31
3,2	10,24	3,95	15,603	12,64
18,2	331,24	4,95	24,503	90,09
8,2	67,24	4,95	24,503	40,59
28,2	795,24	2,95	8,703	83,19
23,2	538,24	4,95	24,503	114,84
31,2	973,44	4,95	24,503	154,44
	4892,72		196,545	720,32

Проверим, что этот коэффициент незначимо отличается от нуля:

Расчетное значение критерия по модулю больше табличного, поэтому можно считать, что переменные и коррелирует между собой и, следовательно, мультиколлинеарность присутствует.

Для проверки по критерию «хи-квадрат» χ² на уровне значимости 0,01 найдем определитель матрицы коэффициентов парной корреляции:

Вычислим χ²-критерий:

Найдем табличное значение χ² при и : . Так как , то в соответствии с критерием Пирсона мультиколлинеарность присутствует.

Таким образом, и тот и другой критерий показали наличие мультиколлинеарности.