ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Релятивистское изменение длин

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА.

Основные формулы

В специальной теории относительности рассматриваются только инерциальные системы отсчета. Во всех задачах считается, что оси у, у' и z, z' сонаправлены, а относительная скорость υ₀ системы координат К' относительно системы К направлена вдоль общей оси хх' (рис. 5.1).

• Релятивистское (лоренцево) сокращение длины стержня

Рис. 5.1

где l₀ — длина стержня в системе координат К' , относительно которой стержень покоится (собственная длина). Стержень параллелен оси х'; l—

длина стержня, измеренная в системе К, относительно которой он движется со скоростью υ; с — скорость распространения электромагнитного излучения.

• Релятивистское замедление хода часов

где Δt₀ — интервал времени между двумя событиями, происходящими в одной точке системы K', измеренный по часам этой системы (собственное время движущихся часов); Δt — интервал времени между двумя событиями, измеренный по часам системы K.

• Релятивистское сложение скоростей

где υ' — относительная скорость (скорость тела относительно системы K'); υ₀ — переносная скорость (скорость системы K' относительно К), υ0 — абсолютная скорость (скорость тела относительно системы К).

В теории относительности абсолютной скоростью называется скорость тела в системе координат, условно принятой за неподвижную.

• Релятивистская масса

, ИЛИ ,

где т₀ — масса покоя; β — скорость частицы, выраженная в долях скорости света

• Релятивистский импульс

, или

• Полная энергия релятивистской частицы

где Т — кинетическая энергия частицы; — ее энергия покоя. Частица называется релятивистской, если скорость частицы сравнима со скоростью света, и классической, если υ<<с.

• Связь полной энергии с импульсом релятивистской частицы

• Связь кинетической энергии с импульсом релятивистской частицы

Примеры решения задач

Пример 1. Космический корабль движется со скоростью υ=0,9 с по направлению к центру Земли. Какое расстояние l пройдет этот корабль в системе отсчета, связанной с Землей (K-система), за интервал времени Δt₀=1 с, отсчитанный по часам, находящимся в космическом корабле (K'-система)? Суточным вращением Земли и ее орбитальным движением вокруг Солнца пренебречь.

Решение. Расстояние l, которое пройдет космический корабль в системе отсчета, связанной с Землей (K-система), определим по формуле

(1)
где —интервал времени, отсчитанный в K-системе отсчета.
Этот интервал времени связан с интервалом времени, отсчитан
ным в K'-системе, соотношением Подставив
выражение в формулу (1), получим

После вычислений найдем

l=619 Мм.

Пример 2.В лабораторной системе отсчета (K-система) движется стержень со скоростью υ=0,8 с . По измерениям, произведенным в K-системе, его длина l оказалась равной 10 м, а угол φ, который он составляет с осью х, оказался равным 30° . Определить собственную длину l₀ стержня в K'-системе, связанной со стержнем, и угол φ₀, который он составляет с осью х' (рис. 5.2).

Рис. 5.2

Решение. Пусть в K'-системе стержень лежит в плоскости х'О'у'. Из рис. 5.2, а следует, что собственная длина l₀ стержня и угол φ₀, который он составляет с осью х', выразятся равенствами

(1)

В K-системе те же величины окажутся равными (рис. 5.2, б)

(2)

Заметим, что при переходе от системы К.' к К размеры стержня в направлении оси у не изменятся, а в направлении оси х претерпят релятивистское (лоренцево) сокращение, т. е.

(3)

С учетом последних соотношений собственная длина стержня выразится равенством

или

Заменив в этом выражении на (рис. 5.2, б), получим

Подставив значения величин в это выражение и произведя
вычисления, найдем

l₀=15₍3 м.

Для определения угла воспользуемся соотношениями (1), (2) и (3):

, или

откуда

Подставив значения φ и β в это выражение и произведя вычисления, получим

Пример 3.Кинетическая энергия Т электрона равна 1 МэВ. Определить скорость электрона.

Решение. Релятивистская формула кинетической энергии

Выполнив относительно β преобразования, найдем скорость частицы, выраженную в долях скорости света (β=υ/c):

(1)

где E₀ — энергия покоя электрона (см. табл. 22).

Вычисления по этой формуле можно производить в любых единицах энергии, так как наименования единиц в правой части формул сократятся и в результате подсчета будет получено отвлеченное число.

Подставив числовые значения Е₀и Т в мега электрон-вольтах, получим

β=0,941.
Так как , то

υ = 2,82-10⁸ м/с.

Чтобы определить, является ли частица с кинетической энергией Т релятивистской или классической, достаточно сравнить кинетическую энергию частицы с ее энергией покоя.

Если , частицу можно считать классической. В этом
случае релятивистская формула (1) переходит в классическую:

, или

Пример 4. Определить релятивистский импульс р и кинетическую энергию Т электрона, движущегося со скоростью υ =0,9 с (где с — скорость света в вакууме).

Решение. Релятивистский импульс

(1)

После вычисления по формуле (1) получим

В релятивистской механике кинетическая энергия Т частицы определяется как разность между полной энергией E и энергией покоя Е₀этой частицы, т. е.

Так как и , то, учитывая зависимость массы от
скорости, получим

или окончательно

(2)

Сделав вычисления, найдем

T=106 фДж.

Во внесистемных единицах энергия покоя электрона m₀с²=0,51 МэВ. Подставив это значение в формулу (2), получим

Т=0,66 МэВ.

Пример 5.Релятивистская частица с кинетической энергией T=т₀c² (m₀ — масса покоя частицы) испытывает неупругое столкновение с такой же покоящейся (в лабораторной системе отсчета) частицей. При этом образуется составная частица. Определить: 1) релятивистскую массу т движущейся частицы; 2) релятивистскую массу т' и массу покоя m₀' составной частицы; 3) ее кинетическую энергию Т'.

Решение. 1. Релятивистскую массу m движущейся частицы
до столкновения найдем из выражения для кинетической энергии
релятивистской частицы . Так как , то m=
=2т₀.

2. Для того чтобы найти релятивистскую массу составной частицы, воспользуемся тем, что суммарная релятивистская масса частиц сохраняется *: m+m₀=m', где т+т₀ — суммарная релятивистская масса частиц до столкновения; т' — релятивистская масса составной частицы. Так как т—2т₀ , то

Массу покоя m₀' составной частицы найдем из соотношения

(1)
Скорость υ' составной частицы (она совпадает со скоростью V_cцентра масс в лабораторной системе отсчета) можно найти из закона сохранения импульса р=р', где р— импульс релятивистской частицы до столкновения; р' — импульс составной релятивистской частицы. Выразим р через кинетическую энергию Т:

Так как , то

Релятивистский импульс . Учитывая, что ,
закон сохранения импульса можно записать в виде ,
откуда

Подставив выражения υ' и т' в формулу (I), найдем массу покоя составной частицы:

, или

3. Кинетическую энергию Т' составной релятивистской частицы найдем как разность полной энергии т'с²и энергии покоя т₀'с² составной частицы:

Подставив выражения т' и m₀', получим

· Этот закон см., например, в кн.: Савельев И. В. Куре общей физики.

М., 1977. Т. I, §70.

Задачи

Релятивистское изменение длин

и интервалов времени

5.1. Предположим, что мы можем измерить длину стержня с точностью Δl=0,1 мкм. При какой относительной скорости и двух инерциальных систем отсчета можно было бы обнаружить релятивистское сокращение длины стержня, собственная длина l₀ которого равна 1 м?

5.2. Двое часов после синхронизации были помещены в системы координат К и К', движущиеся друг относительно друга. При какой скорости и их относительного движения возможно обнаружить релятивистское замедление хода часов, если собственная длительность τ0 измеряемого промежутка времени составляет 1 с? Измерение времени производится с точностью Δτ=10 пс.

5.3. На космическом корабле-спутнике находятся часы, синхронизированные до полета с земными. Скорость υ₀ спутника составляет 7,9 км/с. На сколько отстанут часы на спутнике по измерениям земного наблюдателя по своим часам за время τ₀=0,5 года?

5.4. Фотонная ракета движется относительно Земли со скоростью υ=0,6 с. Во сколько раз замедлится ход времени в ракете с точки зрения земного наблюдателя?

5.5. В системе К' покоится стержень, собственная длина l₀ которого равна 1 м. Стержень расположен так, что составляет угол φ₀=45° с осью x'. Определить длину l стержня и угол φ в системе K, если скорость υ о системы K' относительно К равна 0,8 с.

5.6. В системе К находится квадрат, сторона которого параллельна оси х'. Определить угол φ между его диагоналями в системе К, если система К' движется относительно К со скоростью υ=0,95 с.

5.7. В лабораторной системе отсчета (K-система) пи-мезон с момента рождения до момента распада пролетел расстояние l=75 м. Скорость υ пи-мезона равна 0,995 с. Определить собственное время жизни τ₀ мезона.

5.8. Собственное время жизни τ₀ мю-мезона равно 2 мкс. От точки рождения до точки распада в лабораторной системе отсчета мю-мезон пролетел расстояние l=6 км. С какой скоростью υ (в долях скорости света) двигался мезон?