ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Основные определения и правила приближенных

123

вычислений

1. Точные и приближенные значения величин (чисел). При решении задач и выполнении лабораторных работ необходимо различать, какие данные точные, какие – приближенные. К точным значениям чисел относятся, например: значения переводных и масштабных множителей, коэффициенты и показатели степени и др. Приближенные значения величин (чисел) получают в результате измерений, округлений и вычислений. При счете могут получаться как точные, так и приближенные значения. Достаточным признаком приближенности результата измерений (или счета) является наличие разных результатов при повторных измерениях (или разных ответов при повторных подсчетах).

2.При вычислениях с приближенными числами их следует записывать, сохраняя лишь верные знаки. Принято считать, что у числа А все знаки верные, если абсолютная погрешность величины A не превышает одной единицы разряда последней цифры числа А. Поясним это утверждение на следующем примере.

Пример 7. Пусть число А = 47,813 получено в результате действия над приближенными числами и известно, что относительная погрешность d = 0,1%. Найдем абсолютную погрешность: DА = 0,047813. Для наглядности сравнения DА с А отбрасываем лишние знаки и проводим округление; получаем DА = 0,048 и видим, что согласно определению последние цифры числа А (числа 1 и 3) следует считать сомнительными. Значит число А имеет три верных знака.

3.Сомнительными называют последние цифры приближенного значения числа А, если все предшествующие цифры этого значения являются верными.

4.Значащими цифрами числа называют все его верные цифры, кроме нулей, стоящих левее первой отличной от нуля цифры, и нулей, стоящих в конце числа, если они стоят взамен неизвестных или отброшенных цифр при округлении числа.

Пример 8.

1). Числа 0,000430 и 10,5 – каждое имеет по три значащих цифры.

2). 1 куб. фут = 0,0283 м³ – содержит три значащих цифры.

3). 1 дюйм = 2,5400 см – пять верных значащих цифр.

5.Незначащие нули чисел слева и справа, как правило, не пишут, их заменяют множителем 10 ⁿ: например, вместо 13500 записывают 135 ·10². Принято записывать числа в стандартном виде числа.

Пример 9.

1). Вместо 13500 = 135 ·10²записывают 1,35 •10⁴.

2). Вместо 0,00043 записывают 4,3 ·10^–4.

Обратите внимание, что при записи числа в стандартном виде числа сохраняют столько десятичных знаков (знаков после запятой), сколько верных значащих цифр имеет заданное число.

Пример 10.

1). В числе 52401 ± 1 верные все знаки. Это число содержит четыре значащих числа, поэтому в стандартном виде числа его следует записать так: 5,240 · 10³.

2). В числе 5240 ± 10 верные только первые три знака (последняя цифра – ноль – сомнительная). В стандартном виде число должно быть записано так: 5,24 · 10³.

Стандартная запись численных значений величин удобна для их оценки по порядку величины, а также для сравнения их численных значений по порядку величины: так числа

1,34 · 10⁴ и 4,3 · 10⁴

совпадают по порядку величины, а числа

1,34 · 10⁴и 4,3 · 10⁶

отличаются на два порядка (6 – 4 = 2).

6.Округление числа. Если приближенное число содержит лишние (или неверные) знаки, то его следует округлить. При округлении сохраняют только верные знаки, лишние знаки отбрасывают.

7.Основное правило округления: если первая отброшенная цифра равна 5 или больше 5, то последнюю из сохраняемых цифр увеличивают на единицу; если первая отброшенная цифра меньше 5, то последнюю из сохраняемых цифр оставляют без изменения.

8.Правило записи приближенных значений чисел. В приближенных значениях чисел, полученных в результате измерения или вычисления, сохраняют все верные цифры и одну сомнительную, если этот результат является промежуточным, и будет использован в дальнейших вычислениях. То же правило следует применять при записи численных значений взятых из справочных таблиц. Например: g – ускорение свободного падения, G – гравитационная постоянная и т.д.

9.Сложение и вычитание приближенных значений чисел. При сложении и вычитании приближенных значений чисел, в записи которых все цифры верные, оставляют столько десятичных знаков, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим числом десятичных знаков.

10. Умножение и деление приближенных значений чисел. При умножении и делении приближенных значений чисел следует в результате сохранять столько значащих цифр, сколько имеет приближенное данное с наименьшим числом верных значащих цифр.

11. Возведение в степень приближенного значения числа. При возведении в квадрат и куб следует в результате сохранять столько значащих цифр, сколько верных значащих цифр имеет возводимое в степень приближенное значение числа.

12.Извлечение корня из приближенного значения числа. При извлечении квадратного и кубического корня следует в результате брать столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное приближенное значение числа.

13.Применение таблицы логарифмов. В значении десятичного и натурального логарифма приближенного значения числа сохраняют столько десятичных знаков, сколько верных значащих цифр имеет заданное число.

14.Вычисление промежуточных результатов. При вычислении промежуточных результатов следует брать одной цифрой больше, чем рекомендуют предыдущие правила подсчета цифр пп. 9 - 13.

15.Предварительное округление более точных данных. Если некоторые данные имеют больше десятичных знаков (при сложении и вычитании) или больше значащих цифр (при остальных действиях), чем другие данные, то их предварительно следует округлить, сохраняя лишь одну лишнюю цифру.

Пример 11.Табличное значение плотности ртути при температуре 0 °С равна 13,5955 г/см³. Определить массу ртути объемом 25 см3.

Решение: m = 13,5955 г/см³ · 25 см³. В соответствии с правилом предварительного округления сохраняем в первом сомножителе три значащие цифры:

m » 13,6 г/см³ · 25 см³ = 340 г = 0,34 кг.

Вычисления без применения этого правила более громоздко, но дает тот же результат:

m = 13,5955 г/см³ · 25 см³ = 339,8875 г » 340 г » 0,34 кг.

Если округлить более точное число без лишней цифры, то результат будет менее точным:

m » 14 г/см³ · 25 см ³ = 350 г.

Правила предварительного округления применяют, в частности, тогда, когда используют данные из справочных таблиц.

16.Вычисления с заранее заданной точностью. Если окончательный результат надо получить с некоторой наперед заданной точностью, а данные можно брать с произвольной точностью, то в этих данных следует брать столько цифр, сколько нужно для получения результата с одной лишней цифрой. В окончательном результате эта лишняя цифра отбрасывается.

123