ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике. Краснодарский край. 19 ноября 2015г.

Класс

Напомним, что в каждой задаче нужно не только записать ответ, но и объяснить, почему ответ в задаче именно такой. В частности, если в задаче требуется найти некоторую величину, то нужно найти все возможные её значения и доказать, что других значений она принимать не может.

1. Чертежнику поступило задание начертить четырёхугольник, в котором две стороны параллельны, а три — равны по 5 см. Можно ли утверждать, что периметр этого четырёхугольника обязательно будет равен 20 см?

2. В числе 123456789 можно взять любые две цифры и заменить каждую из них на целую часть их среднего арифметического. Эту операцию можно повторить с новым числом. Можно ли такими операциями получить число, большее 800000000?

3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых, уравнение

имеет единственное решение.

4. У Нептуна служат осьминоги. У каждого осьминога либо шесть, либо семь, либо восемь ног. Те, у кого 7 ног, всегда лгут, а у кого 6 либо 8 ног, всегда говорят правду. Встретились четыре осьминога. Синий сказал: «Вместе у нас 28 ног», зеленый: «Вместе у нас 27 ног», желтый: «Вместе у нас 26 ног», красный: «Вместе у нас 25 ног». Сколько ног у каждого из этих осьминогов?

5. Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению ее оснований.

6. Обозначим через сумму цифр натурального числа x. Решите уравнение в натуральных числах:

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике. Краснодарский край. 19 ноября 2015г.

Класс

1.Петя из всех цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 выбрал те цифры, которые являются простыми числами. Затем он составил всевозможные числа, в каждом из которых присутствовали все выбранные им цифры (и только они), причем каждая из них — ровно по одному разу. После этого, Вася из всех составленных Петей чисел, выбрал все такие, которые кратны 9. Сколько чисел выбрал Вася?

2. Множество всех натуральных чисел разбили на n арифметических прогрессий (каждое натуральное число принадлежит ровно одной из этих n прогрессий и каждая прогрессия - бесконечна). Пусть d₁, d₂, ... , d_n - разности этих прогрессий. Докажите, что 1/d₁+1/d₂+...+1/d_n=1.

3. Каждая из сторон выпуклого четырехугольника пересекает некоторую окружность в двух точках, причем окружность высекает на сторонах четырехугольника равные хорды. Докажите, что в этот четырехугольник можно вписать окружность.

4.Докажите, что для любых неотрицательных чисел x и y выполняется неравенство .

5. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение

имеет два корня, один из которых удовлетворяет условию
, а второй — нет.

6. В Лондоне произошло крупное ограбление банка. Для поимки вора Скотленд-Ярд позвал Шерлока Холмса. Шерлок не знает, где находится вор, но он знает, как вор движется. Лондон делится на 2015 районов, пронумерованных от 1 до 2015. Вор движется следующим образом: Каждый час вор покидает район X, в котором он на данный момент прячется, и переходит в один из районов X − 1 или X + 1 при условии, что этот район существует в Лондоне. Шерлок может каждый час выбирать любойрайон в Лондоне и полностью обыскивать его, (если вор расположен в нем, то он будет пойман). Может ли Шерлок Холмс поймать вора за 5000 часов?