ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике. Краснодарский край. 19 ноября 2015г.

Муниципальный этап региональной олимпиады школьников по математике.

Краснодарский край. 19 ноября 2015г.

Класс

1. Имеется 5 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Через каждые две точки проведена прямая линия. Сколько проведено прямых линий?

2. В турнире по шахматам участвовали три пятиклассницы и две шестиклассницы. В каждой партии играли: пятиклассница и шестиклассница. Известно, что Анна выиграла у Марии, Софья выиграла у Ирины, а Анна у Ольги, и, наконец, Ольга выиграла у Софьи. Ничьих не было. Выясните, как зовут шестиклассниц. Обоснуйте свой ответ.

3. Набор чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 разбейте на четыре группы (в группе может быть одно или несколько чисел) так, чтобы в каждой следующей группе сумма всех её чисел была в два раза больше, чем в предыдущей группе.

4. Расставьте в клетки таблицы 6×6 крестики и нолики (по одному символу в каждую клетку) так, чтобы всего в таблице крестиков и ноликов оказалось поровну, но при этом в любом квадрате 2×2 крестиков и ноликов было бы не поровну.

5. Старинные часы (со стрелками) за всю неделю по сравнению с точными часами «спешат» на 1час 52 минуты в неделю (при этом всю неделю скорость хода часов постоянна). В полночь с воскресенья на понедельник старинные часы поставили правильно. Какое время они будут показывать в 6 часов вечера в ближайший четверг? Обоснуйте свой ответ.

6. Саша после прогулки в лесу с друзьями стал считать собранные грибы. Оказалось, что «не подосиновиков» собрано вдвое больше, чем «не сыроежек». Сыроежек вдвое больше, чем подосиновиков и груздей вместе взятых. Единственный белый гриб нашёл Саша. Каких грибов было собрано больше — груздей или маслят? Обоснуйте свой ответ.

Муниципальный этап региональной олимпиады школьников по математике. Краснодарский край. 19 ноября 2015г.

Класс

1. Бараш выписал все целые числа от 100 до 10000 включительно. Сколько четных чисел пришлось выписать Барашу?

2. У Кости есть четыре палочки длиной по 1 см каждая, четыре палочки длиной по 2 см, семь палочек длиной по 3 см и пять палочек длиной по 4 см. Костя захотел из всех этих палочек выложить контур прямоугольника. Сможет ли он это сделать? Если да, то нарисуйте как, если нет – объясните, почему.

3. В детский сад завезли карточки для обучения чтению: на некоторых написано «МА», на остальных – «НЯ». Каждый ребенок взял три карточки и стал составлять слова. Оказалось, что слово «МАМА» могут сложить из своих карточек 20 детей, слово «НЯНЯ» – 30 детей, а слово «МАНЯ» – 40 детей. У скольких ребят все три карточки одинаковые? Обоснуйте свой ответ.

4.В велопробеге Краснодар-Новороссийск приняли участие три велосипедиста. Сначала стартовал велосипедист A, затем — Б, и последний — В. После финиша выяснилось, что во время велопробега, Аобгонял других 5 раз (в сумме), Б обгонял других 8 раз (в сумме), В обгонял других 15 раз (в сумме), причем все трое ни разу не оказывались в одной точке одновременно. В каком порядке финишировали велосипедисты, если известно, что они пришли к финишу в разное время? Обоснуйте свой ответ.

5. Сто котов-рыбаков ловили рыбу. Никто из них не остался без улова, но никто не поймал больше 7 рыб. При этом, не более 6 рыб поймало ровно 98 рыбаков, не более 5 рыб поймало ровно 95 рыбаков, не более 4 рыб поймало ровно 87 рыбаков, не более 3 рыб поймало ровно 80 рыбаков, не более 2 рыб поймало ровно 65 рыбаков и не более одной – 30. Сколько всего рыб поймали рыбаки? Обоснуйте свой ответ.

6. По некоторым разведданным стало известно, что три профессора: Петров, Виноградов и Третьяков преподают различные предметы: химию, биологию и математику (каждый по одному своему предмету) в университетах: Москвы, Ярославля и Краснодара (каждый в своем городе, там где и проживает). Разведчики также доложили: 1) Петров никогда не был в Краснодаре, а Виноградов в Ярославле. 2) Краснодарец старше профессора математики. 3) Виноградов играет в шахматы лучше, чем биолог. 4) Профессор из Ярославля преподает химию. Какой предмет и в каком городе преподает Третьяков? Обоснуйте свой ответ.

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике. Краснодарский край. 19 ноября 2015г.

Класс

Напомним, что в каждой задаче нужно не только записать ответ, но и объяснить, почему ответ в задаче именно такой. В частности, если в задаче требуется найти некоторую величину, то нужно найти все возможные её значения и доказать, что других значений она принимать не может.

1. На бумажной полоске написано число 123456. Полоску разрезают на три части; каждый разрез проходит между цифрами. Сколькими способами это можно сделать?

2. Очень неточные и не предсказуемые весы показывают вес, который может отличаться от настоящего, но не больше, чем на 500г (при различных взвешиваниях отклонения показаний весов от истинного веса могут быть разными!). Петя взвесил на них свой рюкзак. Весы показали 5 кг. А когда Миша взвесил этот же рюкзак уже вместе с килограммовой гирей — весы показали 7 кг. Сколько весит рюкзак на самом деле?

3. По дороге идут Коля и Саша. Саша делает шаги на 20% короче и в то же время на 20% чаще, чем Коля. Кто из мальчиков идет быстрее?

4. Натуральные числа a и b таковы, что 56a = 65b. Докажите, что a + b является составным числом.

5. На плоскости нарисовано шесть отрезков, причем никакие два из них не лежат на одной прямой. Максим отметил все точки пересечения этих отрезков красным цветом (и только их). Оказалось, что каждая такая точка принадлежит ровно двум отрезкам. На первом отрезке Максим отметил 3 красные точки, на втором – 4, на трех других – по 5 на каждом. Сколько красных точек Максим отметил на шестом отрезке?

6. Хозяйка испекла для гостей пирог в форме круга (вид сверху). К ней может прийти либо 10, либо 11 человек. На какое наименьшее число кусков (необязательно одинаковых) ей нужно заранее разрезать пирог так, чтобы его можно было поделить поровну как между 10, так и между 11 гостями?

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике. Краснодарский край. 19 ноября 2015г.

Класс

1.В равнобедренном треугольнике один из углов равен 30°. Найдите остальные его углы.

2. По некоторым разведданным стало известно, что из пункта A в пункт B проехал автомобиль. Также разведчики доложили, что за каждый промежуток времени длиною в один час автомобиль проезжал ровно 60 км. Вся поездка из пункта А в пункт B заняла 3,5 ч. Следует ли из всего этого, что средняя скорость автомобиля за всё время его пути была равна 60 км/ч?

3. На чудо-яблоне выросло 2015 ананасов и 2016 бананов (других плодов нет). Каждый час садовник срывает ровно два плода, и после этого на дереве тут же вырастает один плод. При этом, если он срывает два одинаковых плода, то вырастает ананас, а если два разных – банан. Может ли последний плод, который останется на этом дереве, оказаться бананом?

4. Известный политик каждый день лжет. При этом, в каждый будний день (с понедельника по пятницу) он лжет ровно девять раз, в каждую субботу — ровно три раза, а в каждое воскресение лжет ровно 2 раза. В полночь новогодней ночи его заместитель с интересом осознал, что за год этот политик солгал ровно 2603 раза. Рассвет какого дня недели сменит эту новогоднюю ночь?

5. В трапеции ABCD c меньшим основанием BC диагональ АС перпендикулярна к боковой стороне CD. . Найдите AB, если периметр трапеции равен 2015, а .

6. В парламенте 2015 депутатов, некоторые из которых — лжецы, а остальные — рыцари. Если лжец обманул рыцаря, то между ними на вечно устанавливается вражда. (депутаты одного типа никогда не враждуют). В один момент оказалось, что любые два рыцаря имеют различное число врагов в парламенте. Какое наибольшее количество рыцарей могло быть в таком парламенте?