ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Теорема. Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Доказательство. Пусть M - бесконечное множество. Тогда . выберем какой-нибудь из его элементов и обозначим его через a₁. Пусть в M уже выбраны n различных между собою элементов a₁, a₂, ..., a_n. Так как M бесконечно, то

и можно выбрать элемент

Он отличен от всех ранее выбранных элементов. По принципу индукции доказано, что для любого n существует в M подмножество A_n = {a₁, a₂, ..., a_n} из n элементов, причем множество A_n₊₁ получается из A_n присоединением одного нового элемента a_n₊₁. Очевидно, что объединение

является счетным подмножеством M.

Теорема о мощности множества рациональных чисел.

Теорему хз, но множество рациональных чисел есть счетное множество

4. Теорема. Отрезок [0,1] есть бесконечное несчетное множество.

http://fan-5.ru/best/best-187892.php

5. Теорема 1. Последовательность точек расширенной числовой прямой может иметь на этой прямой только один предел.

Рис. 49

Допустим противное. Пусть существует такая последовательность x_n , n = 1, 2, ..., что = a и = b, причем a b, a , b . Возьмем какие-либо непересекающиеся окрестности U = U(а) и V = V(b) точек а и b (рис. 49): U V = . Согласно определению предела вне окрестности U точки а, в частности в окрестности Vточки b, содержится лишь конечное число членов последовательности {x_n}. Однако точка b также является ее пределом, и потому в ее окрестности V должны находиться все члены последовательности {x_n}, начиная с некоторого номера, а следовательно, бесконечно много ее членов. Получилось противоречие.

Теорема о связи бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей.

Предел частного (отношения) двух бесконечно малых или бесконечно больших величин не изменится, если одну из них (или обе) заменить эквивалентной величиной.

Данная теорема имеет прикладное значение при нахождении пределов

8. Свойства пределов:

1. Предел сonst равен сonst

2. Постоянный множитель c можно выносить за знак предела:

3. Предел произведения последовательностей равен произведению пределов последовательности.

4. Для того чтобы {Xn} сходилось к «а», необходимо и достаточно, чтобы

Xn=a+α_n(n→0)а Xn→а

5. Алгебраическая сумма\разность сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность и ее предел равен сумме\разности пределов данной последовательности

6. Если {Xn} и {Yn} сходятся, а предел {Xn} равен аипредел {Yn} равенв(n→∞)

Причем{Yn≠0} ив≠0, то{Xn\Yn}сходящиеся и предел от{Xn\Yn}=а\в

Теорема о переходе к пределу в неравенствах

Пусть заданы две последовательности и . Если и, начиная с некоторого номера, , то выполняется неравенство:

Док-во

Yn-Xn≥0 (т.к. Xn≤Yn )

lim(Yn-Xn)=limYn-limXn≥0приn→∞

Теорема о 2х милиционерах

Если функция такая, что для всех в некоторой окрестности точки , причем функции и имеют одинаковый предел при , то существует предел функции при , равный этому же значению, то есть