ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Теорема «Мощность декартова произведения конечных множеств»

Пределы

I) Определения

Множество - совокупность различных элементов, мыслимую как единое целое

Пусто́емно́жество— множество, не содержащее ни одного элемента.Пустое множество является конечным множеством и имеет наименьшую мощность среди всех множеств.

Подмножество- Множество является подмножеством множества , если любой элемент, принадлежащий , также принадлежит . Формальное определение

Сумма множеств- множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Объединение двух множеств и обычно обозначается , но иногда можно встретить запись в виде суммы .

Разность множеств- (А-В) множество элементов А не входящие в множество В.

Прямое произведение множеств– множество элементов всевозможно упорядоченных пар

Фу́нкция (отображе́ние)— математическое понятие, отражающее однозначную парную связь элементов одного множества с элементами из другого множества.

Иньекция – элементы противопоставлены разным элементам

Сюрьекция – противопоставлено может быть и нескольким

Биекция – один к одному, каждому элементу свой элемент

Взаимно-однозначное соответствие- биективное отображение

Эквивалентные множества– соответствие одного множества другому.

Равномощные множества- множества, содержащие равное кол-во элементов.

Счетное множество– множество, элементы которого можно пронумеровать натуральными числами.

Множество мощности континуума– (несчетное множество) –точно максимальная мощность?! - хз

Инфинум – наибольший элемент , который равен или меньше всех элементов множества . Другими словами, инфимум — это наибольшая из всех нижних граней.

Супремум – Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается .

Последовательность – набор элементов некоторого множества.

Предел последовательности - Поэтому, число называется пределом последовательности , если для любого существует номер , зависящий от такой, что для любого выполняется неравенство .

Последовательность называется бесконечно малой, если Например, последовательность чисел — бесконечно малая.

Последовательность называется бесконечно большой, если .

Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества , имеющая предел в этом множестве.

Расходящаяся последовательность— это последовательность, не являющаяся сходящейся.

Сумма, разность, произведение и частное последовательностей- Суммой числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что .

Разностью числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что .

Произведением числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что .

Частным числовой последовательности и числовой последовательности , все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность . Если в последовательности на позиции всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность .

Ограниченная последовательность- последовательность ограниченная сверху, снизу, сверху и снизу. Это значит элементы не превышают некоторый элемент\число.

Возраст, убыв, неубывающие, невозрастающие– Пусть имеется множество , на котором введено отношение порядка.

Последовательность элементов множества называется неубывающей, если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним.

— неубывающая

Последовательность элементов множества называется невозрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего.

— невозрастающая

Последовательность элементов множества называется возрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий.

— возрастающая

Последовательность элементов множества называется убывающей, если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним.

— убывающая

Монотонные последовательности– Последовательность называется монотонной, если она является неубывающей, либо невозрастающей

Предел функции–

Односторонние пределы - предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́ннимпреде́лом (или преде́ломсле́ва) и правосторо́ннимпреде́лом (преде́ломспра́ва).

Предел справа - Число называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции в точке , если для всякого положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек из интервала справедливо неравенство .

Предел слева - Число называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции в точке , если для всякогоположительного числа отыщется отвечающее ему положительное число , такое, что для всех точек из интервала справедливо неравенство .^[1]

Бесконечно малая функция – функция стремящаяся к 0

Бесконечно малая функция одного порядка - Если (предел конечен и не равен 0), то и являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости. Это обозначается как или как одновременное выполнение отношений и . Следует заметить, что в некоторых источниках можно встретить обозначение, когда одинаковость порядков записывают в виде только одного отношения «о большое», что является вольным использованием данного символа.

Бесконечно малая функция более высокого порядка - Если , то — бесконечно малая высшего порядка малости, чем . Обозначают или .

Несравнимые бесконечно малые –Если не существует, предела то α(x) и β(x) называются несравнимыми бесконечно малыми функциями.

Эквивалентные бесконечно малые - Если , то бесконечно малые или бесконечно большие величины и называются эквивалентными (обозначается как ).

Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых (бесконечно больших) величин одного порядка малости.

Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции

Непрерывная функция в точке –Если предел функции слева равен пределу справа и равен функции

Если для любого ε>0 существует б>0 : |f(x)-f(x0)|<ε для любого x:|x-x0|<б

Функция непрерывная справа –

Функция непрерывная слева –

Функция непрерывная на интервале –f(x) непрерывна на (a,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция непрерывная на отрезке –f(x) непрерывна на отрезке [a,b] если она непрерывна на интервале (a,b), и непрерывна справа в точке и слева в точке b.

Точки разрыва –Если условие, входящее в определение непрерывности функции, в некоторой точке нарушается, то говорят, что рассматриваемая функция терпит в данной точке разрыв.

Точка разрыва 1-го рода –если оба односторонних предела существуют и конечны, то такую точку называют точкой разрыва первого рода. К точкам разрыва первого рода относят устранимые разрывы и скачки.

Точка разрыва 2-го рода –если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода. К точкам разрыва второго рода относят полюса и точки существенного разрыва.

Устранимый разрыв –Если предел функции существует и конечен, но функция не определена в этой точке, либо предел не совпадает со значением функции в данной точке: ,

то точка называется точкой устранимого разрыва функции

Если «поправить» функцию в точке устранимого разрыва и положить , то получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называется доопределением функции до непрерывной или доопределением функции по непрерывности, что и обосновывает название точки, как точки устранимого разрыва.

Ii) Теоремы

Теорема «Мощность декартова произведения конечных множеств»

Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа элементов. То есть для конечного множества понятие мощности совпадает с привычным понятием количества.

| А1|=m1…| Аn |=mn

| А1×…×Аn |= m1*...*mn

1)n=1

| А1|=m1

2) Пусть теорема верна при n=k

Докажем для n=k+1

| А1×…×Аk |= m1*...*mk

| А1×…×Аk+1 |= (m1*...*mk )mk+1