ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Зображення функцій степеневими рядами. Ряди Тейлора і Маклорена

Формули, що подають функцію f(x) у вигляді степеневих рядів, мають вигляд:

(7)

(8)

Кажуть, що ряд Маклорена (7) дає розвинення функції в ряд поблизу точки х = 0, а ряд Тейлора (8) - поблизу точки х=с. Справді, як далі буде показано, чим ближче х до точки розвинення функції f(x) у ряд, тим меншою кількістю членів ряду буде досягнуто більшої точності при обчисленні f(x).

Теорема 15 (достатня умова розвинення функції в ряд Маклорена). Якщо на проміжку похідні будь-якого порядку для функції f(x) обмежені одним і тим самим числом то на інтервалі функція f(x) може бути розвинена в ряд Маклорена). Іншими словами, ряд Маклорена для f(x) у кожній точці із збігається абсолютно.

Приклад. Розвинути в ряд за степенями х функцію .

Знайдемо значення функції та її похідних при х = 0:

Оскільки , то для будь-якого фіксованого х маємо , тобто достатня умова розвинення функції у ряд Маклорена виконується і ряд Маклорена для неї буде абсолютно збіжним для .

Зауваження.Залишок ряду Маклорена можна замінити одним залишковим членом , який у формі Лагранжа такий:

(9)

Тоді ряд Маклорена (7) набирає вигляду формули Маклорена

(10)

Теорема 16. Для того щоб функцію f(x) можна було розвинути в ряд Маклорена на інтервалі , необхідно і достатньо, щоб на цьому інтервалі

Ряд Маклорена для деяких елементарних функцій

Область збіжності .

Інтервал збіжності (–1; 1). Область збіжності (–1; 1).

Область збіжності [–1; 1]. (11)

Використовуючи ці формули, можна у ряді випадків записати розвинення функції в ряд Маклорена без обчислення коефіцієнтів цього ряду (без обчислення похідних функцій).

Приклад. Розвинути в ряд Маклорена функцію і знайти область збіжності ряду.

Перетворимо функцію так: Скористаємось формулою розвинення в ряд Маклорена функції тоді дістанемо:

Область збіжності новоутвореного ряду для буде така ж, як і для , тобто .

8. Застосування рядів для наближених обчислень

Розвинення функцій у степеневі ряди використовується для наближеного обчислення значень функцій, визначених інтегралів, наближеного розв’язування рівнянь і т. ін. При цьому в ряді Маклорена чи Тейлора для даної функції залишають кілька перших членів (як правило, не більше трьох), а решту відкидають. Похибка при наближених обчисленнях являє собою суму відкинутих членів ряду — залишок ряду. Для оцінки похибки, якщо ряд знакосталий, залишок ряду порівнюють із рядом нескінченно спадної геометричної прогресії. Якщо ряд знакопочерговий, то за наслідком теореми Лейбніца похибка за абсолютною величиною не перевищує першого із відкинутих членів ряду.

Приклад. Обчислити з точністю до 0,001: .

Зробимо такі перетворення: . Скористаємось рядом Маклорена (11) для функції , узявши , . Тоді дістанемо:

За винятком першого члена дістали знакопочерговий ряд, він буде збіжним, бо . Похибка за абсолютною величиною буде меншою від першого із відкинутих членів. Послідовно обчислюємо: . Отже, щоб обчислити з точністю до 0,001, достатньо залишити три перші члени: .

Ряд Фур’є

На практиці часто доводиться мати справу з періодичними процесами, що описуються кусково-гладкими функціями. Такі функції подають не степеневими, а тригонометричними рядами.

Означення 6.Функція називається такою, що задовольняє умови Діріхле на відрізку , якщо на цьому відрізку виконуються такі умови:

1. має скінченне число розривів першого роду;

2. має скінченне число екстремумів;

3. для .

Теорема. Функція , що задовольняє умови Діріхле на відрізку на інтервалі може бути визначена тригонометричним рядом Фур’є:

(12)

де коефіцієнти Фур’є та обчислюються за такими формулами:

Зауваження. Якщо функція — парна, то в (12) , а якщо — не парна, то .

Теорема (ознака Діріхле). Якщо — періодична функція з періодом 2π задовольняє умови Діріхле на відрізку , то її ряд Фур’є збіжний, а його сума в точці х₀ дорівнює: