ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду

ЛЕКЦІЯ 17-18. ФУНКЦІОНАЛЬНІ ТА СТЕПЕНЕВІ РЯДИ

ПЛАН

1. Поняття функціонального ряду

2. Властивості рівномірно збіжних рядів

3. Степеневі ряди

4. Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду

5. Диференціювання та інтегрування степеневих рядів

6. Зображення функцій степеневими рядами. Ряди Тейлора і Маклорена

7. Ряд Маклорена для деяких елементарних функцій

8. Застосування рядів для наближених обчислень

9. Ряд Фур’є

Поняття функціонального ряду

Означення 1. Ряд , (1). де членами ряду є функції від аргументу х, називається функціональним рядом. При х=х₀ ряд (1) перетворюється на числовий (2)

Якщо ряд (2) збігається (розбігається), то кажуть, що при х=х₀збігається (розбігається) функціональний ряд (1).

Означення 2. Усі значення аргументу х, при яких функціональний ряд збіжний, називаються областю збіжності функціонального ряду.

В області збіжності існує границя часткових сум функціонального ряду

де функція — сума ряду.

Ряд називається залишком ряду.

В області збіжності функціонального ряду виконується формула , де .

Означення 3. Ряд (2) збіжний для всіх х із області Х, називається рівномірно збіжним у цій області, якщо для будь-якого числа існує такий незалежний від х номер N, що при n > N виконується одночасно для всіх така нерівність:

Ознака Вейєрштрасса.Якщо ряд, складений із абсолютних величин членів функціонального ряду, для всіх мажорується одним і тим самим збіжним числовим рядом, то функціональний ряд буде рівномірно збіжним для

Приклад.Дослідити характер збіжності ряду .

Оскільки , тобто члени даного функціонального ряду для будь-якого х мажоруються членами збіжного числового ряду Діріхле , то за ознакою Вейєрштрасса даний ряд буде рівномірно збіжним для .

Властивості рівномірно збіжних рядів

1. Сума рівномірно збіжного ряду неперервних функцій є неперервна функція.

2. Якщо ряд (2) рівномірно збіжний на інтервалі (а; b) та існують границі

то виконується рівність

3. Якщо члени збіжного ряду (2) мають неперервні похідні для та ряд складений із похідних членів ряду (2) рівномірно збіжний для , то

4. Якщо члени ряду (2) неперервні, а сам ряд рівномірно збіжний для , то

У загальному випадку, при дослідженні на збіжність функціонального ряду використовується та сама методика, що і для знакозмінного ряду.

Приклад. Знайти область збіжності ряду

Побудуємо ряд із абсолютних величин членів даного ряду . Цей ряд буде знакододатний. Отже, маємо право застосовувати до нього ознаку Даламбера, при цьому х вважатимемо деяким параметром:

За ознакою Даламбера ряд буде збігатись, якщо

і розбігатись, якщо .

Залишається дослідити ряд на збіжність у точках х = 1 і х = 3. При х = 1 маємо ряд , а при х = 3 — ряд . Ці ряди розбігаються, бо, очевидно, для них не виконується необхідна умова збіжності. Таким чином, область збіжності функціонального ряду буде . У цій області ряд збігається абсолютно.

Степеневі ряди

Означення 4. Функціональний ряд (3) називається степеневим рядом, його загальний член ; числа називаються коефіцієнтами степеневого ряду.

Розглядають і більш загальний вигляд степеневого ряду

(4)

Якщо в (4) візьмемо х – с = у, то дістанемо ряд типу (3), тому властивості ряду (3) неважко перефразувати і для ряду (4).

Теорема (Абеля). Якщо степеневий ряд (3):

1) збігається при х = х₀, то він абсолютно збігається для будь-якого х, що задовольняє нерівність ;

2) якщо ряд (3) розбігається при х = х₁, то він розбігається при всіх х, що задовольняють нерівність .

Ілюстрацію до теореми Абеля наведено на рис. 1.

Рис. 1

Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду

Як наслідок із теореми Абеля для степеневого ряду (3) існує інтервал збіжності з центром у точці х = 0 (рис. 2).

Рис. 2

Означення 5.Інтервалом збіжності степеневого ряду називається такий інтервал, у всіх внутрішніх точках якого ряд збігається абсолютно, а для всіх точок ряд є розбіжним; при цьому число R>0 називається радіусом збіжності степеневого ряду.

Для узагальненого степеневого ряду (4) інтервал збіжності має центр симетрії в точці х = с.

Зауваження. На кінцях інтервалу збіжності, тобто в точках х=–R, ряд може як збігатись, так і розбігатись. Це питання потребує спеціального дослідження в кожному випадку.

Виведемо формулу для знаходження радіуса збіжності ряду (3). Для цього побудуємо ряд із абсолютних величин членів ряду (3):

(5)

Нехай існує границя . Тоді, застосовуючи ознаку Даламбера до ряду (5), дістаємо:

При ряд (5) збігається, а отже, ряд (3) збігається абсолютно; при ряд (5) розбігається. Розбіжність ряду, установлена за ознакою Даламбера, означає, що для цього ряду не виконується необхідна умова збіжності: , а тому не виконується необхідна умова збіжності і для ряду (3) , і ряд (3) при буде також розбіжним. Отже, нерівність визначає інтервал збіжності ряду (3): . Радіус збіжності визначається за формулою

. (6)

Аналогічно, використовуючи радикальну ознаку Коші, можна дістати формулу для радіуса збіжності, степеневого ряду у вигляді: .

5. Диференціювання та інтегрування степеневих рядів

Степеневий ряд буде рівномірно збіжним на будь-якому відрізку із його інтервалу збіжності , а тому на такому відрізку його можна почленно диференціювати та інтегрувати, при цьому мають місце рівності:

Приклад. Знайти суму ряду

Позначимо суму ряду через і знайдемо похідну : . Одержали ряд геометричної прогресії зі знаменником q = x і першим членом u₁ = 1. Цей ряд буде збіжним при , а його сума має вигляд: . Розв’язуючи це диференціальне рівняння, дістаємо . Зауважимо, що формула справджується на інтервалі збіжності .