ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Дії з комплексними числами, поданими в тригонометричній формі

Додавати і віднімати комплексні числа простіше і зручніше, коли компоненти подані в алгебраїчній формі. Зовсім інша річ з останніми чотирма алгебраїчними діями.

Множення. Нехай треба перемножити числа:

, .

Дістанемо:

(5)

Звідси випливає:

Модуль добутку двох комплексних чисел дорівнює добуткові модулів співмножників, а аргумент — сумі аргументів співмножників.

Приклад. Нехай:

; .

Тоді .

Ділення. Нехай треба число a = R₁(cos a + sin a) поділити на число b = R₂ (cos b +i sin b).

Матимемо:

. (6)

Модуль частки двох комплексних чисел дорівнює частці модулів, а аргумент — різниці аргументів діленого і дільника.

Приклад. Нехай a=12 (cos55°+i sin55°); b=3(cos35°+i sin 35°).

Тоді .

Піднесення до степеня. Нехай треба число a = R(cos a + i sin a) піднести до степеня n:

Матимемо:

. (7)

Модуль степеня комплексного числа дорівнює тому самому степеню модуля основи, а аргумент — аргументові основи, помноженому на показник степеня.

У частинному випадку, якщо r = 1, формула (7) набуває вигляду

Ця формула має назву формули Муавра.

Приклад. Піднести до куба число a = 2 (cos 20° + i sin 20°).

Матимемо:

Формула Ейлера: , ,

, .

Добування кореня. Добудемо корінь n-го степеня з числа:

Матимемо:

(8)

1. Модуль кореня n-го степеня з комплексного числа дорівнює кореню того самого степеня з модуля підкореневого числа, а аргумент — аргументові підкореневого числа, поділеному на показник кореня.

2. Корінь n-го степеня з комплексного числа має n різних значень.

За допомогою формули Ейлера можна дістати показникову форму комплексного числа

6. Квадратний тричлен з комплексними числами

Дано тричлен y = ax² + bx + c.

Відомо, що корені його комплексні. У цьому випадку . Перетворимо тричлен до вигляду

Додамо й віднімемо по :

; .

При всіх значеннях х вираз є число додатне або таке, що дорівнює нулю (при ).

Дослідимо, який знак має другий доданок .

У випадках комплексних коренів вираз b² – 4ac від’ємний, а протилежне йому число – (b² – 4ac), тобто 4ac – b², — число додатне.

Знаменник 4а² теж число додатне, а отже, дріб є додатним числом. Значить, уся сума, що міститься в квадратних дужках, буде додатним числом при всіх значеннях.

Звідси випливає, що знак числової величини тричлена залежить лише від знака а: при а додатному тричлен має додатні значення, при а від’ємному - від’ємні.

Якщо тричлен має комплексний корінь, то при всіх значеннях х його числове значення має той самий знак, що й коефіцієнт при х².

Загальний висновок про квадратні рівняння

Загальна формула для коренів повного квадратного рівняння виду ax² + bx + c = 0 буде

Корені квадратного рівняння будуть обидва дійсні або обидва уявні залежно від того, чи буде дискримінант (у перекладі розрізнювач) b² – 4ac величиною додатною чи від’ємною:

1. b² – 4ac > 0. У цьому випадку вираз під коренем додатний. Квадратний корінь з цього виразу має два значення, і, отже, рівняння має два різні дійсні корені:

; .

2. b² – 4ac = 0. У цьому випадку другий член чисельника дорівнює нулю і рівняння має два рівні корені: .

3. b² – 4ac < 0. У цьому випадку рівняння має два комплексно спряжені корені:

, .