МегаПредмет

ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение


Как определить диапазон голоса - ваш вокал


Игровые автоматы с быстрым выводом


Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими


Целительная привычка


Как самому избавиться от обидчивости


Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам


Тренинг уверенности в себе


Вкуснейший "Салат из свеклы с чесноком"


Натюрморт и его изобразительные возможности


Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д.


Как научиться брать на себя ответственность


Зачем нужны границы в отношениях с детьми?


Световозвращающие элементы на детской одежде


Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия


Как слышать голос Бога


Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ)


Глава 3. Завет мужчины с женщиной


Оси и плоскости тела человека


Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.


Отёска стен и прирубка косяков Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.


Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Тригонометрична форма комплексного числа





ЛЕКЦІЯ 11. Комплексні числа

ПЛАН

1. Поняття комплексних чисел

2. Дії з комплексними числами

3. Геометричне зображення комплексного числа (інтерпретація Гаусса)

4. Тригонометрична форма комплексного числа

5. Дії з комплексними числами, поданими в тригонометричній формі

6. Квадратний тричлен з комплексними числами

7. Загальний висновок про квадратні рівняння

Поняття комплексних чисел

Означення 1. Комплексним числом називається число виду , де a, b — дійсні числа, і2 = – 1. Число а називається дійсною частиною, biуявною частиною, іуявною одиницею. Множина комплексних чисел позначається С.

Означення 2. Комплексні числа виду a + bi і abi називаються спряженими. Комплексні числа виду a + bi і – abi називаються протилежними. Спряжене до комплексного числа z позначається .

Означення 3. Два комплексних числа a + bi і a1 + b1i вважаються рівними в тому і тільки в тому випадку, якщо a = a1 і b = b1.

Зауваження. Щодо комплексних чисел не прийнято жодної угоди, яке з них вважати більшим.

Дії з комплексними числами

Додавання: (a + bi) + (a1 + b1і) = (a + a1) + (b + b1)i.

Віднімання: (a + bi) – (a1 + b1i) = (aa1) + (bb1)i.

Множення: (a + bi)(a1 + b1i) = aa1 + a1bi + ab1i + bb1i2 = (aa1
bb1) + (a1b + ab1)i.

Ділення:

Піднесення до степеня: спочатку знайдемо результати від піднесення до степеня уявної одиниці, знаючи, що за умовою і2 треба вважати таким, що дорівнює – 1.

і0 = 1 і5 = і4 × і = і

і1 = і і6 = і5 × і = – 1

і2 = – 1 і7 = і6 × і = – 1 × і = – і

і3 = і2 × і = – і і8 = і7 × і = – і × і = 1

і4 = і3 × і = – і × і = 1 і т. п.

Отже, дістали чотири значення, що чергуються:

і; – 1; – і; + 1, тоді:

(а + ib)2 = a2 + 2abi + b2i2 = (a2b2) + 2abi,

(а + ib)3 = a3 + 3a2b + 3a(ib)2 + (ib)3 = (a3 – 3ab2) + (3a2bb3)i і т. п.

Добування квадратного кореня: Припустимо, що

Тоді a + bi = (x2y2) + 2xyi.

Отже, маємо:

.

З рівняння 2ху = b випливає, що знаки х та у мають бути однакові, якщо b > 0, і різні, якщо b < 0.

Тому при b > 0;

при b < 0.

Зауваження. Для того щоб з комплексного числа можна було добути корінь третього, або вищого степеня, йому треба надати іншого вигляду.

Приклад. Нехай z1 = 5 + i6; z2 = 7 – i9; z3 = 5 + 12i.

Знайти: z1 + z2, z1 × z2, z1 / z2, z12, .

z1 + z2 = (5 + 6і) + (7 – 9і) = (5 + 7) + і(6 – 9) = 12 – 3і;

z1 × z2 = (5 + 6і) × (7 – 9і) = 5 × 7 + 6і × 7 – 5 × 9іі6 × і9 =
= 35 + 42і – 45і + 54 = 89 – 3і;

z12 = (5 + i6)2 = 25 + 2 × 5 × 6i + (i6)2 = 25 + 60i – 36 = – 11 + 60i;

.

3. Геометричне зображення комплексного числа (інтерпретація Гаусса)

Будь-яке комплексне число a + bi можна зобразити геометрично.

Візьмемо в площині прямокутну систему координат і, вибравши одиницю довжини, зображатимемо дійсні числа на осі абсцис, а уявні — на осі ординат. Відповідно до цього вісь абсцис називається дійсною віссю, а вісь ординат - уявною.

Число a + bi зображатимемо точкою площини, абсциса якої чисельно дорів­нює а, а ордината дорівнює b (рис. 1).

Рис. 1

Тригонометрична форма комплексного числа

Зображення комплексних чисел за допомогою точок на площині дає змогу подати число a + bi в іншому вигляді, а саме — у тригонометричній формі.

Нехай точка М (рис. 2) зображає комплексне число a + ib.

Тоді ОА = а, АМ = b. Позначимо віддаль ОМ точки від початку координат через r, а кут АОМ, утворюваний ОМ з віссю х, — через j. Тоді з трикутника АОМ матимемо:

a = r cosj, b = r sinj. (1)

Підставивши в комплексне число a + bi значення a і b (1), дістанемо



a + bi = r cos j + r sin j × i або a + bi = r (cos j + i sin j). (2)

Це є тригонометрична форма комплексного числа. Довжина OM = r називається модулем комплексного числа, а кут АОМ = j — його аргументом.

Покажемо, як перетворити в тригонометричну форму комплексне число, подане в звичайній алгебраїчній формі.

Для цього треба знайти r і j за даними a і b. З трикутника ОАМ (рис. 2) маємо:

, , (3)

, (4)

Рис. 2

Приклад. Подати в тригонометричній формі число – 3 + 2і.

З формул (3) маємо:

,

Тангенс від’ємний, отже, кут j треба шукати в ІІ або IV чверті. З формул (4) виходить, що при а = – 3 і b = 2 синус буде додатний, а косинус — від’ємний, тобто j буде кутом ІІ чверті. На ПОМ або за таблицями знаходимо: j = 146° 18¢, а тому .





©2015 www.megapredmet.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.