ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Некоторые приложения частных производных.

123

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид

а уравнение нормали – вид .

В случае задания поверхности неявным уравнением : - уравнение касательной плоскости к поверхности в точке и

- уравнение нормали.

6.72 Написать уравнения касательной плоскости и нормали в точке к следующим поверхностям:

а) ; б) ;

в) ;

г)

6.73 Написать уравнения касательной плоскости и нормали в точке к следующим поверхностям:

а) ;

б) ; в) ;

г) .

6.74 Для поверхности найти уравнение касательной плоскости, параллельной плоскости

6.75 Для поверхности найти уравнение нормали, параллельной прямой

Множество точек называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками и , оно содержит и отрезок .

Функция , определённая на выпуклом множестве называется выпуклой вверх, если для всех точек , где , и для любого выполняется неравенство и выпуклой вниз, если .

Матрица называется матрицей Гессе функции в точке .

Дважды дифференцируемая на выпуклом множестве функция является на этом множестве: 1) выпуклой вниз, если при всех ; 2) выпуклой вверх, если при всех . Если на множестве матрица Гессе функции знакопеременна, то на этом множестве выпуклой не является.

Знакоопределённость матрицы Гессе устанавливают, используя критерий Сильвестра знакоопределённости матриц квадратичных форм.

6.76.Исследовать следующие функции на выпуклость:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Частные эластичности функции вычисляются по формулам: , . Частные эластичности , являются мерами реагирования переменной на изменение переменных и , и показывают приближённый процентный прирост при изменении и на один процент, соответственно.

Под производственной функцией понимается функция , независимые переменные которой имеют смысл объёмов используемых ресурсов, а зависимая переменная – объёма выпускаемой продукции.

Предельной по переменной для называется величина , средней– величина . Буква - сокращение от слова (предельный), буква - сокращение от слова (средний).

Производственной функцией Кобба-Дугласа называется функция вида , где - некоторые постоянные, - объём производственных фондов, - объём трудовых ресурсов, - объём выпускаемой продукции.

6.77.Найти частные эластичности и функций в указанных точках :

а) , ; б) , .

6.78Для заданных значений и найти: а) среднюю и предельную производительности труда; б) среднюю и предельную фондоотдачу; в) эластичности выпуска по труду и по фондам, если производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид: