ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Решение обобщенного уравнения состояния

123

Электрической системы

Электрическая система - это электрическая часть энергетической системы, т.е. совокупность элементов, вырабатывающих, преобразующих, передающих, распределяющих и потребляющих электрическую энергию. Состояние системы в любой момент времени называется режимом системы. Параметры режима - это показатели, зависящие от изменения режима. К ним относятся напряжения в различных точках системы, токи в ее элементах, ЭДС, мощности и т.д. Параметры режима будем отмечать точками над буквами (например, ).

Различают переходный и установившийся режимы электрической системы. В переходном процессе параметры режима изменяются во времени и связаны между собой системой дифференциальных уравнений. Установившийся режим характеризуется параметрами, которые не изменяются со временем и при использовании символического метода являются комплексными величинами, связанными между собой системой алгебраических комплексных уравнений.

Математическим описанием установившегося режима являются уравнения состояния электрической цепи, основанные на законах Ома и Кирхгофа. В этих уравнениях параметры режима связаны между собой коэффициентами пропорциональности, которые называются параметрами системы и зависят от свойств элементов системы и от способов соединения их между собой. К ним относятся полные, активные и реактивные сопротивления, собственные и взаимные проводимости элементов и т.д. Параметры системы будем обозначать без точки над буквами (например, ). Обычно считают, что параметры системы не зависят от параметров режима, т.е. система является линейной. В общем случае параметры системы могут зависеть от изменений ее режима и тогда система называется нелинейной. Кроме того, в энергосистеме всегда присутствует нелинейность, обусловленная характером соотношений между параметрами ее режима. Например, потребляемая в сопротивлении мощность связана квадратичной зависимостью с напряжением. Поэтому, если в качестве исходных параметров принимаются мощности в узлах цепи, то уравнения состояния оказываются нелинейными.

Исследование электрической системы начинается с составления ее схемы замещения, которая представляет собой совокупность схем замещения ее отдельных элементов, соединенных между собой в той же последовательности, что и в реальной схеме. При рассмотрении симметричных установившихся режимов системы трехфазного переменного тока все величины, характеризующие схемы замещения ее элементов, являются комплексными. При этом схемы замещения составляются на одну фазу с нейтралью. Отдельные элементы электрической системы представляются схемами замещения, состоящими из элементов электрической цепи - источников напряжения или тока и сопротивлений. Источники электроэнергии могут быть представлены в схеме замещения либо в виде источника напряжения с ЭДС и внутренним сопротивлением , либо в виде источника тока , который обычно называют задающим током. Нагрузки (т.е. потребители электроэнергии) имеют схему замещения либо в виде сопротивления , либо в виде задающего тока . Линии электропередачи, трансформаторы подстанций и электростанций представляются в схеме замещения системы в виде сопротивлений, причем схемы замещения трансформаторов могут быть объединены со схемами замещения соответствующих источников питания и нагрузок. Таким образом, схему замещения электрической системы можно представить в виде электрической цепи, содержащей ветви, узлы и контуры. В узлах цепи подключены генераторы или нагрузки. Ветвью называется участок цепи, который состоит из последовательно соединенных ЭДС и сопротивления (или только сопротивления) и вдоль которого в любой заданный момент времени ток имеет одно и то же значение. Узел - это точка соединения двух или более ветвей. Контур - это участок цепи, образованный таким последовательным соединением нескольких ветвей, при котором начало первой ветви контура соединено с концом последней в одном узле. Схема, содержащая контуры, называется замкнутой. При отсутствии контуров схема замещения называется разомкнутой.

Основная трудность при исследовании сложных электрических систем заключается в составлении и решении большого количества уравнений состояния. Для упрощения этой процедуры используют теорию графов и матричную алгебру. Конфигурацию схемы замещения можно отобразить в виде графа. Граф представляет собой совокупность вершин и ребер, соединяющих некоторые (или все) пары вершин. Любая часть графа называется подграфом. Если в графе можно выбрать путь, который соединяет любые две его вершины, то этот граф является связанным; иначе - несвязанным. Если ребра графа имеют фиксированные направления, то граф называется направленным. Наименьший связанный подграф, содержащий все вершины графа и не содержащий контуры, называется деревом. Ветви, не вошедшие в дерево графа, называются хордами. Схема замещения электрической системы обычно является связанным направленным графом, ребрами которого служат ветви, а вершинами - узлы. Направление ветви от начального узла к конечному узлу обозначается стрелкой и является положительным направлением в этой ветви ЭДС , тока и падения напряжения . Условимся нумеровать ветви просто цифрами, узлы - цифрами, заключенными в окружности, а контуры - цифрами в прямоугольниках. Один из узлов выбирается в качестве балансирующего и обозначается цифрой 0 (см. рис.1).

Рис. 1. Граф схемы замещения электрической системы

Топологию графа схемы замещения описывает матрица соединений ветвей в узлах или первая матрица инциденций:

(1)

где - число независимых узлов (без учета балансирующего узла), а - число ветвей. Строки матрицы соответствуют узлам графа, а столбцы - ветвям. Элемент равен: +1, если узел является начальной вершиной ветви ; -1, если узел является конечной вершиной ветви ; 0, если узел не является вершиной ветви . Для графа, изображенного на рис. 1,

. (2)

Матрица позволяет компактно записать уравнения первого закона Кирхгофа:

, (3)

где - столбец токов в ветвях ( ), а - столбец задающих токов в узлах ( ).

Для графа на рис. 1 матричное уравнение (3) в развернутом виде есть:

. (4)

Информацию о контурах графа схемы замещения содержит вторая матрица инциденций или матрица соединений ветвей в независимые контуры:

(5)

где - число независимых контуров в схеме, связанное с числом ветвей и числом независимых узлов соотношением:

(6)

Строки матрицы соответствуют независимым контурам, а столбцы - ветвям. Элемент равен: +1, если ветвь входит в контур и их направления совпадают; -1, если ветвь входит в контур и их направления противоположны; 0, если ветвь не входит в контур .

Чтобы найти матрицу , необходимо выбрать независимые контуры, причем количество вариантов такого выбора обычно велико. Например, граф на рис. 1 содержит три контура, но только два из них независимы (l=6-4=2) и выбрать их можно тремя способами (число сочетаний ). Сделать однозначный выбор независимых контуров в схеме и составить матрицу можно по следующему алгоритму.

Матрицы и связаны соотношением:

, (7)

где - транспонированная матрица , а - нулевая матрица размерностью . Разобьем матрицы и на блоки, соответствующие дереву и хордам графа:

, (8)

где - квадратная матрица размерностью , - прямоугольная матрица размерностью , - прямоугольная матрица размерностью и - квадратная матрица размерностью . Матрицы и относятся к дереву графа, а и - к хордам, причем число хорд равно числу независимых контуров в схеме . В качестве хорд удобно выбрать ветви с наибольшими номерами (ветви 5 и 6 на рис. 1).

Теперь уравнение (7) можно записать в виде:

. (9)

Матрица - квадратная порядка и неособенная (ее определитель не равен нулю), поэтому обратная ей матрица существует и из уравнения (9) следует, что

. (10)

Можно доказать, что для любой схемы замещения имеется такая система независимых контуров, для которой является единичной матрицей порядка . Такая система называется системой базисных контуров и для нее выполняется условие:

, (11)

где символ обозначает единичную матрицу размерностью .

Таким образом, с помощью соотношений (11) по известной первой матрице инциденций можно определить вторую матрицу инциденций , соответствующую системе базисных контуров.

Для графа на рис. 1 разбиение матрицы на блоки , и их последующее транспонирование дает:

Обратную матрицу найдем методом Гаусса. Для этого сформируем объединенную прямоугольную матрицу путем добавления к матрице справа единичной матрицы того же порядка:

Выполняя преобразования над строками этой матрицы в соответствии с алгоритмом метода Гаусса, переместим единичный блок из правой части в левую часть матрицы. Тогда правая квадратная часть этой объединенной мат-рицы и будет обратной матрицей .

На первом шаге умножим первую и вторую строки матрицы на –1:

Вычтем из третьей строки первую, а из четвертой - вторую:

Умножим третью и четвертую строки матрицы на -1:

Следовательно,

Применяя формулы (8), получим:

Таким образом, искомая вторая матрица инциденций , соответствующая системе базисных контуров, имеет вид:

. (12)

Полученной матрице соответствуют базисные контуры 1 и 2, показанные на рис. 1.

Используя матрицу , второй закон Кирхгофа можно записать в следующей матричной форме:

, (13)

где - столбец падений напряжений на ветвях схемы ( ). Для графа на рис. 1 матричное уравнение (13) в развернутом виде есть:

. (14)

Запишем закон Ома в матричной форме:

, (15)

где - столбец ЭДС в ветвях ( ), а - матрица сопротивлений ветвей ( ). Если между ветвями отсутствует взаимоиндуктивная связь, то матрица является диагональной матрицей порядка .

Комбинируя (13) и (15), получим:

, (16)

где

. (17)

Здесь - это столбец контурных ЭДС, представляющих собой суммы ЭДС ветвей, входящих в каждый контур ( ).

Уравнения (3) и (16) можно заменить одним матричным уравнением, если матрицы и рассматривать как блоки одной объединенной матрицы:

, (18)

а столбцы и рассматривать как один объединенный столбец

. (19)

Здесь - квадратная матрица порядка , называемая матрицей параметров схемы замещения системы, а - столбец, содержащий элементов и называемый столбцом исходных параметров режима.

В результате получаем одно матричное уравнение, которое называется обобщенным уравнением состояния электрической системы:

. (20)

Для графа на рис. 1 в предположении диагональности матрицы обобщенное уравнение состояния в развернутом виде есть:

, (21)

где и .

Токи в ветвях можно найти либо путем обращения матрицы и применения уравнения:

, (22)

либо путем решения системы линейных уравнений (20) методом последовательного исключения неизвестных (методом Гаусса), который является более эффективным в вычислительном отношении для сложных схем замещения.

Коль скоро токи в ветвях найдены, можно определить напряжения в ветвях согласно уравнению закона Ома (15).

Обозначим напряжение узла через , а напряжение балансирующего узла - через . Тогда

, (23)

где - столбец узловых напряжений, а - столбец узловых напряжений относительно балансирующего узла ( ), связанный со столбцом падений напряжений на ветвях соотношением:

. (24)

Матрица - прямоугольная и ее нельзя обратить. Чтобы найти , необходимо разбить матрицу и столбец на блоки, соответствующие дереву и хордам графа:

. (25)

Отсюда

(26)

, (27)

где матрица уже была найдена раньше при определении второй матрицы инциденций .

Определив по уравнению (27) относительные узловые напряжения , можно затем найти абсолютные узловые напряжения

. (28)

Обозначим через столбец узловых мощностей ( ). Элементы этого столбца можно найти из соотношений:

, (29)

где - комплексно-сопряженный задающий ток в -ом узле. В уравнениях (29) мощность трехфазной цепи определяется фазными значениями напряжений и токов. При использовании линейных узловых напряжений мощности узлов определяются как .

123