ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Наибольшее и наименьшее значения функции,

Дифференцируемой на отрезке.

Пусть функция y = f(x) дифференцируема на отрезке [ab]. Тогда по теореме 17.2 она непрерывна на нем, и по теореме 16.2 достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения. Если f(x) имеет на [ab] конечное число критических точек, то ее наибольшее значение будет либо одним из ее максимумов (а именно, наибольшим максимумом), либо будет достигаться в одной из конечных точек отрезка. То же можно сказать и о наименьшем значении. Из сказанного следует, что поиск наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой функции на отрезке можно проводить по следующей схеме:

1) найти критические точки функции, принадлежащие данному отрезку;

2) вычислить значения функции в точках а и b, а также в найденных критических точках. Наименьшее из полученных чисел будет наименьшим значением функции на данном отрезке, а наибольшее – ее наибольшим значением на нем.

Пример. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции y = x³ + 3x² - 9x –15 на отрезке [-4, 4]. y ′ = 3x² + 6x – 9 = 0 при х = -3 и х =1 . При этом обе найденные критические точки принадлежат данному отрезку. Вычислим значения функции при х = -4, х = -3, х = 1 и х =4.

х	-4	-3
у			-20

Таким образом, наибольшее значение функции на рассматриваемом отрезке равно 61 и принимается на его правой границе, а наименьшее равно –20 и достигается в точке минимума внутри отрезка.

Лекция 23.

Исследование выпуклости функции. Точки перегиба, их нахождение. Асимптоты функций. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

Определение 23.1. Кривая называется выпуклой (обращенной выпуклостью вверх) на интервале (ab), если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

Определение 23.2. . Кривая называется вогнутой (обращенной выпуклостью вниз) на интервале (ab), если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале.

А В С

Например, кривая, изображенная на рисунке, выпукла на интервале (ВС) и вогнута на интервале (АВ).

Теорема 23.1. Если f ′′(x) < 0 во всех точках интервала (ab), то кривая y = f(x) выпукла на этом интервале. Если f ′′(x) > 0 во всех точках интервала (ab), то кривая y = f(x) вогнутаа на этом интервале.

Доказательство. Докажем первое утверждение теоремы. Пусть f ′′(x) < 0 на (ab).

а x₀ b

Выберем на интервале (ab) произвольную точку х = х₀ и докажем, что все точки кривой на этом интервале лежат ниже проведенной в точке с абсциссой х₀ касательной, то есть ордината любой точки кривой на рассматриваемом интервале меньше ординаты касательной. Уравнение кривой имеет вид y = f(x), а уравнение касательной при х = х₀:

Тогда . Применив теорему Лагранжа, получим: , где с лежит между х и х₀. Применим к первому множителю правой части полученного равенства еще раз теорему Лагранжа: (23.1)

(здесь с₁ – между х₀ и с). Пусть x > x₀. Тогда x₀ < c₁ < c < x, то есть c – x₀ > 0, x – x₀ > 0, f ′′(c₁) < 0, поэтому Если же x < x₀, то x < c < c₁ < x₀ , поэтому c – x₀ < 0, x – x₀ < 0, f ′′(c₁) < 0. Но при этом по-прежнему Таким образом, любая точка кривой на данном интервале лежит ниже касательной в точке с абсциссой х₀. Следовательно, кривая является выпуклой.

Второе утверждение теоремы доказывается аналогичным образом.

Определение 23.3. Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

Замечание. Если в точке перегиба существует касательная к кривой, то в этой точке она пересекает кривую, потому что по одну сторону от данной точки кривая проходит выше касательной, а по другую – ниже.

Теорема 23.2 (необходимое условие точки перегиба). Если в точке x₀ перегиба кривой, являющейся графиком функции y = f(x), существует вторая производная f ′′(x), то f ′′(x₀) = 0.

Доказательство. Так как при х = х₀ , по формуле Тейлора получаем: . Если бы , разность сохраняла бы постоянный знак в некоторой окрестности точки х₀ , в то время как в точке перегиба эта разность должна менять знак. Следовательно, f ′′(x₀) = 0.

Теорема 23.3 ( достаточное условие точек перегиба). Если функция y = f(x) дифференцируема в точке х₀ , дважды дифференцируема в проколотой окрестности этой точки и f ′′(x) меняет знак при х = х₀ , то х₀ – точка перегиба.

Доказательство. Воспользовавшись формулой (23.1), получим, что знак разности определяется знаком f ′′(c₁), так как (c – x₀)(x – x₀)> 0 по обе стороны точки х₀. Следовательно, меняет знак при х = х₀, то есть х₀ – точка перегиба.

Замечание. Можно доказать, что если в условиях теоремы 22.5 критическая точка не является точкой экстремума, то она является точкой перегиба.

Пример. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба функции y = x³ -6x² + x – 12. y′ = 3x² - 12x + 1, y′′ = 6x – 12. y′′ = 0 при х = 2, y′′ < 0 при х < 2, y′′ > 0 при х > 2. Таким образом, график функции является выпуклым при х < 2, вогнутым при х > 2, а х = 2 – точка его перегиба.

Асимптоты.

Определение 23.4. Прямая называется асимптотойграфика функции y = f(x) , если расстояние от переменой точки этого графика до прямой стремится к нулю при удалении точки в бесконечность.

Рассмотрим три вида асимптот и определим способы их нахождения.

1. Вертикальные асимптоты – прямые, задаваемые уравнениями вида х = а. В этом случае определение асимптоты подтверждается, если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке а бесконечен. Пример. Вертикальной асимптотой графика функции y = 1/x является прямая х = 0, то есть ось ординат.

2. Горизонтальные асимптоты – прямые вида у = а. Такие асимптоты имеет график функции, предел которой при или при конечен, т.е. .

3. Наклонные асимптоты – прямые вида y = kx + b. Найдем k и b. Поскольку при , , если этот предел существует, конечен и не равен нулю. Однако даже при выполнении этих условий наклонная асимптота может не существовать. Для ее существования требуется, чтобы имелся конечный предел при разности f(x) – kx. Этот предел будет равен b , так как при .

Замечание. Число вертикальных асимптот графика функции не ограничено, а наклонных и горизонтальных в сумме может быть не более двух (при и при ).

Примеры.

1. Функция y = tgx имеет разрывы 2-го рода при , причем односторонние пределы в этих точках бесконечны. Следовательно, - вертикальные асимптоты графика.

2. Функция имеет бесконечный разрыв при х = 1, то есть х = 1 – вертикальная асимптота. , поэтому горизонтальных асимптот график не имеет. Проверим наличие наклонных асимптот. Для этого вычислим Тогда Заметим, что оба предела не зависят от знака бесконечности, поэтому прямая y = x + 1 является асимптотой графика на обоих концах оси Ox.