 ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение Как определить диапазон голоса - ваш вокал Игровые автоматы с быстрым выводом Как самому избавиться от обидчивости Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам Вкуснейший "Салат из свеклы с чесноком" Натюрморт и его изобразительные возможности Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д. Как научиться брать на себя ответственность Зачем нужны границы в отношениях с детьми? Световозвращающие элементы на детской одежде Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ) Глава 3. Завет мужчины с женщиной
Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.
| ПЕРИОД СОЗДАНИЯ МАТЕМАТИКИ ПЕРЕМЕННЫХ
С 17 в. начинается существенно новый период развития математики. “Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление...” (Энгельс Ф., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 573). Круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых теперь М., уже не исчерпывается числами, величинами и геометрич. фигурами. В основном это было обусловлено явным введением в М. идей движения и изменения. Уже в алгебре в скрытом виде содержится идея зависимости между величинами (значение суммы зависит от значений слагаемых и т. д.). Однако, чтобы охватить количественные отношения в процессе их изменения, надо было самые зависимости между величинами сделать самостоятельным предметом изучения. Поэтому на первый план выдвигается понятие функции, играющее в дальнейшем такую же роль основного и самостоятельного предмета изучения, как ранее понятия величины или числа. Изучение переменных величин и функциональных зависимостей приводит к основным понятиям математического анализа, вводящим в М. в явном виде идею бесконечного, к понятиям предела, производной, дифференциала и интеграла. Создаётся анализ бесконечно малых, в первую очередь в виде дифференциального исчисления и интегрального исчисления, позволяющий связывать конечные изменения переменных величин с их поведением в непосредственной близости отдельных принимаемых ими значений. Основные законы механики и физики записываются в форме дифференциальных уравнений, и задача интегрирования этих уравнений выдвигается в качестве одной из важнейших задач М. Разыскание неизвестных функций, определённых другого рода условиями, составляет предмет вариационного исчисления. Таким образом, наряду с уравнениями, в которых неизвестными являются числа, появляются уравнения, в которых неизвестны и подлежат определению функции. Предмет изучения геометрии также существенно расширяется с проникновением в геометрию идей движения и преобразования фигур. Геометрия начинает изучать движение и преобразование сами по себе. Напр., в проективной геометрии одним из основных объектов изучения являются сами проективные преобразования плоскости или пространства. Впрочем, сознательное развитие этих идей относится лишь к кон. 18 в. и нач. 19 в. Гораздо раньше, с созданием н 17 в. аналитической геометрии, принципиально изменилось отношение геометрии к остальной М.: был найден универсальный способ перевода вопросов геометрии на язык алгебры и анализа и решения их чисто алгебраич. и аналитич. методами, ас другой стороны, открылась широкая возможность изображения (иллюстрирования) алгебраич. и аналитич. фактов геометрически, напр. при графич. изображения функциональных зависимостей. Эта обратная возможность была, однако, ограничена трехмерностью пространства. Такое положение привело к склонности рассматривать арифметику, алгебру и анализ с теорией функций как части “чистой” М., определяемой в качестве науки о числах, величинах и зависимостях между изменяющимися величинами, геометрию же считать первой частью (предшествующей, напр., механике) “прикладной” М., применяющей результаты “чистой” М. и вырабатывающей свои методы для специального изучения геометрич. фигур и геометрич. преобразований. На следующем этапе развития такое подчинённое положение геометрии было вновь устранено. Алгебра 17 и 18 вв. в значительной мере посвящена следствиям, вытекающим из возможности изучать левую часть уравнения Р(x)==0 как функцию переменного х. Этот подход к делу позволил изучить вопрос о числе действительных корней, дать методы их отделения и приближённого вычисления, в комплексной же области привёл Ж. Д 'Аламбера (и почти одновременно и независимо Л. Эйлера) к не вполне строгому, но для математиков 18 в. достаточно убедительному доказательству “основной теоремы алгебры” о существовании у любого алгебраич. уравнения хотя бы одного корня. Достижения “чистой” алгебры, не нуждающейся в заимствованных из анализа понятиях о непрерывном изменении величин, в 17—18 вв. были тоже значительны (достаточно указать здесь на решение произвольных систем линейных уравнений при помощи определителей, разработку теории делимости многочленов, исключения неизвестных и т. д.), однако сознательное отделение собственно алгебраич. фактов и методов от фактов и методов математич. анализа типично лишь для более позднего времени (2-я пол. 19 в.— 20 в.). В 17—18 вв. алгебра в значительной мере воспринималась как первая глава анализа, в которой вместо исследования произвольных зависимостей между величинами и решения произвольных уравнений ограничиваются зависимостями и уравнениями алгебраическими. Создание новой М. переменных величин в 17 в. было делом учёных передовых стран Зап. Европы, причём более всего И. Ньютона и Г. Лейбница. В 18 в. одним из основных центров научных математич. исследований становится также Петербургская академия наук, где работает ряд крупнейших математиков того времени иностранного происхождения (Л. Эйлер, Д. Бернулли) и постепенно складывается русская математич. школа, блестяще развернувшая свои исследования в 19 в. 17 век. Охарактеризованный выше новый этап развития М. органически связан с созданием в 17 в. математич. естествознания, имеющего целью объяснение течения отдельных природных явлений действием общих, математически сформулированных законов природы. На протяжении 17 в. действительно глубокие и обширные математич. исследования относятся лишь к двум областям естественныхнаук — к механике [Г. Галилей открывает законы падения тел (1632, 1638), И. Кеплер — законы движения планет (1609, 1610), И. Ньютон — закон всемирного тяготения (1687) и к оптике [Г. Галилей (1609) и И. Кеплер (1611) сооружают зрительные трубы, И. Ньютон развивает оптику на основе теории истечения, X. Гюйгенс и Р. Гук — на основе волновой теории]. Тем не менее рационалистич. философия 17 в. выдвигает идею универсальности математич. метода (Р. Декарт, Б. Спиноза, Г. Лейбниц), придающую особенную яркость устремлениям этой, по преимуществу философской, эпохи в развитии М. Серьёзные новые математич. проблемы выдвигают перед М. в 17 в. навигация (необходимость усовершенствования часового дела и создания точных хронометров), а также картография, баллистика, гидравлика. Авторы 17 в. понимают и любят подчёркивать большое практич. значение М. Опираясь на свою тесную связь с естествознанием, М. 17 в. смогла подняться на новый этап развития. Новые понятия, не укладывающиеся в старые формальнологич. категории М., получали своё оправдание в соответствии реальным соотношениям действительного мира. Так, напр., реальность понятия производной вытекала из реальности понятия скорости в механике; поэтому вопрос заключался не в том, можно ли логически оправдать это понятие, а лишь в том, как это сделать. Математич. достижения 17 в. начинаются открытием логарифмов. Дж. Непер, опубликовавший свои таблицы в 1614, обосновывает их построение не ссылкой на давно известные свойства арифметич. и геометрич. прогрессий, а рассматривает непрерывное “течение” логарифма при изменении числа, т. е. впервые вводит представление о непрерывной функции, не заданной никаким алгебраич. выражением или геометрич. построением. В 1637 Р. Декарт публикует свою “Геометрию”, содержащую основы координатного метода в геометрии, классификацию кривых с подразделением их на алгебраические и трансцендентные, а алгебраических — по “родам” (к роду т он относит в современной терминологии кривые порядков 2т — 1 и 2т. В тесной связи с возможностью представить корни уравнения Р(x)=0 точками пересечения кривой у=Р(х) с осью абсцисс в алгебре исследуются действительные корни уравнения любой степени (Р. Декарт, И. Ньютон, М. Ролль). Исследования П. Ферма о максимумах и минимумах и разыскании касательных к кривым уже содержат в себе, по существу, приёмы дифференциального исчисления, но самые эти приёмы ещё не выделены и не развиты, и слова “производная” или “дифференциал” остаются ещё не произнесёнными. Другим источником анализа бесконечно малых является развитый И. Кеплером (1615) и Б. Кавальери (1635) метод неделимых, применённый ими к определению объёмов тел вращения и ряду других задач. В этом методе действительная принципиальная новизна основных понятий анализа бесконечно малых представляется в мистич. форме неразрешённого противоречия (напр., между объёмом тела и совокупностью не имеющих объёма плоских сечений, при помощи которых этот объём должен быть определён). Неудивительно поэтому, что приёмы И. Кеплера и Б. Кавальери подвергались критике (1635—41) со стороны П. Гульдина, предпочитавшего пользоваться классич. методом исчерпывания. Однако свободное употребление бесконечно малых одерживает окончательную победу в работах по определению площадей (“квадратур”) П. Ферма, Б. Паскаля и Дж. Валлиса. Так, в геометрич. форме были, по существу, созданы начала дифференциального и интегрального исчисления. Параллельно развивается учение о бесконечных рядах. Свойства простейших рядов, начиная с геометрич. прогрессий, возникающих из представления обыкновенных дробей в виде периодических десятичных, изучил Дж. Валлис (1685). Н. Меркатор получил разложение в степенной ряд 1n(1+x). И. Ньютон вывел формулу бинома для любого показателя, интегрируя разложение (1 — x2)-1/2 получил разложение arcsin x: и, наконец, нашёл степенные ряды обратных к y=ln(1+x) и y=arcsin x функций соответственно. В дальнейшем развитии учения о бесконечных рядах приняли участие почти все математики 17 в. (Дж. Грегори, X. Гюйгенс, Г. Лейбниц, Я. Бернулли и др.). Следует отметить, что авторы 17 в. имели достаточно ясные представления о понятии предела последовательности и сходимости ряда и считали нужным доказывать сходимость употребляемых ими рядов. С созданием координатного метода и распространением представлений о направленных механич. величинах (скорости, ускорения) понятие отрицательного числа приобрело полную наглядность и ясность. Наоборот, комплексные числа, по-прежнему оставаясь побочным продуктом алгебраич. аппарата, продолжают быть по преимуществу лишь предметом бесплодных споров. С наибольшей определённостью их признавал А. Жирар, впервые (1629) заявивший, что каждое уравнение n-й степени имеет п корней (что, как известно, справедливо лишь в комплексной области и при надлежащем учёте кратности корней). К последней трети 17 в. относится открытие дифференциального и интегрального исчисления в собственном смысле слова. В отношении публикации приоритет этого открытия принадлежит Г. Лейбницу, давшему развёрнутое изложение основных идей нового исчисления в статьях, опубликованных в 1682—86. В отношении же времени фактического получения основных результатов имеются все основания считать приоритет принадлежащим И. Ньютону, который к основным идеям дифференциального и интегрального исчисления пришёл в течение 1665—66. “Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов” И. Ньютона в 1669 был передан им в рукописи И. Барроу и Дж. Коллинзу и получил широкую известность среди английских математиков. “Метод флюксий” — сочинение, в котором И. Ньютон дал систематич. изложение своей теории,— был написан в 1670—71 (издан в 1736). Г. Лейбниц же начал свои исследования по анализу бесконечно малых лишь в 1673. И. Ньютон и Г. Лейбниц впервые в общем виде рассмотрели основные для нового исчисления операции дифференцирования и интегрирования функций, установили связь между этими операциями (т. н. формула Ньютона — Лейбница) и разработали для них общий единообразный алгоритм. Подход к делу у И. Ньютона и Г. Лейбница, однако, различен. Для И. Ньютона исходными понятиями являются понятия “флюенты” (переменной величины) и её “флюксии” (скорости её изменения). Прямой задаче нахождения флюксий и соотношений между флюксиями по заданным флюентам (дифференцирование и составление дифференциальных уравнений) И. Ньютон противопоставлял обратную задачу нахождения флюент по заданным соотношениям между флюксиями, т. е. сразу общую задачу интегрирования дифференциальных уравнений; задача нахождения первообразной появляется здесь как частный случай интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения. Такая точка зрения была вполне естественна для И. Ньютона как создателя математич. естествознания: его исчисление флюксий являлось просто отражением той идеи, что элементарные законы природы выражаются дифференциальными уравнениями, а предсказание хода описываемых этими уравнениями процессов требует их интегрирования. Для Г. Лейбница в центре внимания находился вопрос о переходе от алгебры конечного к алгебре бесконечно малых; интеграл воспринимался прежде всего как сумма бесконечно большого числа бесконечно малых, а основным понятием дифференциального исчислении являлись дифференциалы — бесконечно малые приращения переменных величин (наоборот, И. Ньютон, вводя соответствующее понятие “момента”, стремился в более поздних работах от него освободиться). С публикации работ Г. Лейбница в континентальной Европе начался период интенсивной коллективной работы над дифференциальным и интегральным исчислением, интегрированием дифференциальных уравнений и геометрич. приложениями анализа, в которой принимали участие, кроме самого Г. Лейбница, Я. Бернулли, И. Бернулли, Г. Лопиталь и др. Здесь создаётся современный стиль математич. работы, при котором полученные результаты немедленно публикуются в журнальных статьях или ежегодных “Записках” академий наук и уже очень скоро после опубликования используются в исследованиях других учёных. Очень большую роль в распространении научной информации играет переписка между учёными. Кроме аналитич. геометрии развивается в тесной связи с алгеброй и анализом дифференциальная геометрия [в области последней следует отметить, к частности, введение понятия радиуса кривизны у И. Кеплера (1604), изучение эволют и эвольвент у X. Гюйгенса (1673) и т. п.1. В 17 в. закладываются основы дальнейшего развития чистой геометрии, гл. обр. в направлении создания основных понятий проективной геометрии. Ж. Дезарг, занимаясь теорией перспективы (1636), развил целую систему представлений о бесконечно удалённых элементах, ввёл понятие инволюции и т. д. Теория конич. сечений разрабатывается с проективной точки зрения Ж. Дезаргом (1639), Б. Паскалем (1640), Ф. Лаиром (1685). Из других открытий 17 в. следует отметить: в теории чисел — формулировку принципа математич. индукции (Б. Паскаль, 1665) и глубокие исследования П. Ферма, в значительной мере определившие дальнейшее развитие этой науки, разработку основных понятий комбинаторики (П. Ферма, Б. Паскаль, Г. Лейбниц); первые работы по теории вероятностей (П. Ферма, Б. Паскаль), увенчавшиеся в конце века результатом принципиального значения — открытием простейшей формы закона больших чисел (Я. Бернулли, опубликовано в 1713); теорию непрерывных дробей [П. Катальди (1613), Д. Швентер (1617—18), Дж. Валлис (1656), X. Гюйгенс (1703)]; метод неопределённых коэффициентов (Р. Декарт, 1637); формулировку т. н. теоремы Эйлера о многогранниках (Р. Декарт, ок. 1620). Необходимо указать ещё на построение В. Шикардом (1623), Б. Паскалем (1641) и Г. Лейбницем (1673—74) первых счётных машин, оставшееся надолго, впрочем, без практич. последствий.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ Математическое моделирование, универсальность математических методов обуславливают огромную роль математики в самых различных областях человеческой деятельности. Основой любой профессиональной деятельности являются умения: - строить и использовать математические модели для описания, прогнозирования и исследования различных явлений; - осуществить системный, качественный и количественный анализ; - владеть компьютерными методами сбора, хранения и обработки информации; - владеть методами решения оптимизационных задач. Широкое применение находят математические методы в естествознании и сугубо гуманитарных науках: психологии, педагогике. Можно сказать, что в недалеком будущем любая часть человеческой деятельности будет еще более широко использовать в своих исследованиях математические методы.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Лаптев Б.Л.. Н.И.Лобачевский и его геометрия. М.: Просвещение, 1976. 2. Рыбников К.А.. История математики. М.: Наука, 1994. 3. Самарский А.А.. Математическое моделирование. М.: Наука, 1986. 4. Столл Р.Р.. Множество, Логика, Аксиоматическая теория. М.: Просвещение, 1968. 5. Стройк Д.Я.. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, Физматлит, 1990. 6. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П.. Рассказы о прикладной математике. М.: Вита-Пресс, 1996. 7. Юшкевич А.П.. Математика в ее истории. М.: Наука, 1996. |
