ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

ПЕРИОД ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ

12 3 4

МАТЕМАТИКА XVII ВЕКА

Охарактеризованный выше новый этап развития математики органически связан с созданием в XVII в. математического естествознания, имеющего целью объяснение течения отдельных природных явлений действием общих, математически сформулированных законов природы. На протяжении 17 в. действительно глубокие и обширные математические исследования относятся лишь к двум областям естественных наук - к механике Г. Галилей открывает законы падения тел (1632, 1638), И. Кеплер - законы движения планет (1609, 1610), И. Ньютон- закон всемирного тяготения (1687)] и к оптике Г. Галилей (1609) и И. Кеплер (1611) сооружают зрительные трубы, И. Ньютон развивает оптику на основе теории истечения, Х. Гюйгенс и Р. Гук -- на основе волновой теорий. Тем не менее рационалистическая философия 17 в. выдвигает идею универсальности математического метода (P. Декарт, Б. Спиноза, Г. Лейбниц), придающую особенную яркость устремлениям этой, по преимуществу философской, эпохи в развитии математики.
Серьёзные новые математические проблемы выдвигают перед математикой в 17 в. навигация (необходимость усовершенствования часового дела и создания точных хронометров), а также картография, баллистика, гидравлика. Авторы 17 в. понимают и любят подчёркивать большое практическое значение математики. Опираясь на свою тесную связь с естествознанием, математика 17 в. смогла подняться на новый этап развития. Новые понятия, не укладывающиеся в старые формально-логические категории математики, получали своё оправдание в соответствии реальным соотношениям действительного мира.

Так, например, реальность понятия производной вытекала из реальности понятия скорости в механике; поэтому вопрос заключался не в том, можно ли логически оправдать это понятие, а лишь в том, как это сделать.
Математические достижения 17 в. начинаются открытием логарифмов. Дж. Непер, опубликовавший свои таблицы в 1614, обосновывает их построение не ссылкой на давно известные свойства арифметических и геометрических прогрессий, а рассматривает непрерывное «течение» логарифма при изменении числа, т. е. впервые вводит представление о непрерывной функции, не заданной никаким алгебраическим выражением или геометрическим построением. В 1637 Р. Декарт публикует свою «Геометрию», содержащую основы координатного метода в геометрии, классификацию кривых с подразделением их на алгебраические и трансцендентные, а алгебраических - по «родам» (к роду т он относит в современной терминологии кривые порядков 2m-1 и 2m). В тесной связи с возможностью представить корни уравнения Р(х)=0 точками пересечения кривой у=Р (х) с осью абсцисс в алгебре исследуются действительные корни уравнения любой степени

(P. Декарт, И. Ньютон, М. Ролль). Исследования П. Ферма о максимумах и минимумах и разыскании касательных к кривым уже содержат в себе, по существу, приёмы дифференциального исчисления, но самые эти приёмы ещё не выделены и не развиты, и слова «производная» или «дифференциал» остаются ещё не произнесёнными. Другим источником анализа бесконечно малых является развитый И. Кеплером (1615) и Б. Кавальери (1635) метод неделимых, применённый ими к определению объёмов тел вращения и ряду других задач. В этом методе действительная принципиальная новизна основных понятий анализа бесконечно малых представляется в мистич. форме неразрешённого противоречия (напр., между объёмом тела и совокупностью не имеющих объёма плоских сечений, при помощи которых этот объём должен быть определён). Неудивительно поэтому, что приёмы И. Кеплера и Б. Кавальери подвергались критике (1635 - 41) со стороны П. Гульдина, предпочитавшего пользоваться классическим методом исчерпывания. Однако свободное употребление бесконечно малых одерживает окончательную победу в работах по определению площадей («квадратур») П. Ферма, Б. Паскаля и Дж. Валлиса. Так, в геометрич. форме были, по существу, созданы начала дифференциального и интегрального исчисления.
Параллельно развивается учение о бесконечных рядах. Свойства простейших рядов, начиная с геометрич. прогрессий, возникающих из представления обыкновенных дробей в виде периодических десятичных, изучал Дж. Валлис (1685). Н. Меркатор, интегрируя разложение 1/(1+x=1 - х+ х²+ ..., получил разложение в степенной ряд ln(1+x). И. Ньютон вывел формулу бинома для -любого показателя, интегрируя разложение (1 - х²)¯½, получил разложение arcsinx и, наконец, нашёл степенные ряды обратных к y =ln(1+х) и y=arcsin х функций
x=e^x-1=y/1+y²/2+y³/6+... и соответственно x=siny=y/1-y²/6+y³/120+...
В дальнейшем развитии учения о бесконечных рядах приняли участие почти все математики 17 в. (Дж, Грегори, Х. Гюйгенс, Г. Лейбниц, Я. Бернулли и др.). Следует отметить, что авторы 17 в. имели достаточно ясные представления о понятии предела последовательности и сходимости ряда и считали нужным доказывать сходимость употребляемых ими рядов. С созданием координатного метода и распространением представлений о направленных механических величинах (скорости, ускорения) понятие отрицательного числа приобрело полную наглядность и ясность. Наоборот, комплексные числа, по-прежнему оставаясь побочным продуктом алгебраич. аппарата, продолжают быть по преимуществу лишь предметом бесплодных споров. С наибольшей определённостью их признавал Л. Жирар, впервые (1629) заявивший, что каждое уравнение n-й степени имеет n корней (что,как известно, справедливо лишь в комплексной области и при надлежащем учёте кратности корней).

К последней трети 17 в. относится открытие дифференциального и интегрального исчисления в собственном смысле слова. В отношении публикации приоритет этого открытия принадлежит Г. Лейбницу, давшему развёрнутое изложение основных идей нового исчисления в статьях, опубликованных в 1682 - 86. В отношении же времени фактического получения основных результатов имеются все основания считать приоритет принадлежащим И. Ньютону, который к основным идеям дифференциального и интегрального исчисления пришёл в течение 1665 - 66. «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов» И. Ньютона в 1669 был передан им в рукописи И. Барроу и Дж. Коллинзу и получил широкую известность среди английских математиков. «Метод флюксий» - сочинение, в к-ром И. Ньютон дал систематическое изложение своей теории,- был написан в 1670 - 71 (издан в 1736). Г. Лейбниц же начал свои исследования по анализу бесконечно малых лишь в 1673. И. Ньютон и Г. Лейбниц впервые в общем виде рассмотрели основные для нового исчисления операции дифференцирования и интегрирования функций, установили связь между этими операциями (т. н. формула Ньютона - Лейбница) и разработали для них общий единообразный алгоритм. Подход к делу у И. Ньютона и Г. Лейбница, однако, различен. Для И. Ньютона исходными понятиями являются понятия «флюенты» (переменной величины) и её «флюксии» (скорости её изменения). Прямой задаче нахождения флюксий и соотношений между флюксиями по заданным флюентам (дифференцирование и составление дифференциальных уравнений) И. Ньютон противопоставлял обратную задачу нахождения флюент по заданным соотношениям между флюксиями, т. е. сразу общую задачу интегрирования дифференциальных уравнений; задача нахождения первообразной появляется здесь как частный случай интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения.
Такая точка зрения была вполне естественна для И. Ньютона как создателя математического естествознания: его исчисление флюксий являлось просто отражением той идеи, что элементарные законы природы выражаются дифференциальными уравнениями, а предсказание хода описываемых этими уравнениями процессов требует их интегрирования. Для Г. Лейбница в центре внимания находился вопрос о переходе от алгебры конечного к алгебре бесконечно малых; интеграл воспринимался прежде всего как сумма бесконечно большого числа бесконечно малых, а основным понятием дифференциального исчисления являлись дифференциалы - бесконечно малые приращения переменных величин (наоборот, И. Ньютон, вводя соответствующее понятие «момента», стремился в более поздних работах от него освободиться). С публикации работ Г. Лейбница в континентальной Европе начался период интенсивной коллективной работы над дифференциальным и интегральным исчислением, интегрированием дифференциальных уравнений и геометрическим приложениями анализа, в которой принимали участие, кроме самого Г. Лейбница, Я. Бернулли, И. Бернулли, Г. Лопиталь и др. Здесь создаётся современный стиль математической работы, при котором полученные результаты немедленно публикуются в журнальных статьях или ежегодных «Записках» академий наук и уже очень скоро после опубликования используются в исследованиях других учёных. Очень большую роль в распространении научной информации играет переписка между учёными.
Кроме аналитической геометрии развивается в тесной связи с алгеброй и анализом дифференциальная геометрия [в области последней следует отметить, в частности, введение понятия радиуса кривизны у И. Кеплера (1604), изучение эволют и эвольвент у Х. Гюйгенса (1673) и т. п.]. В 17 в. закладываются основы дальнейшего развития чистой геометрии, главным образом в направлении создания основных понятий проективной геометрии. Ж. Дезарг, занимаясь теорией перспективы (1636), развил целую систему представлений о бесконечно удалённых элементах, ввёл понятие инволюции и т. д. Теория конич. сечений разрабатывается с проективной точки зрения Ж. Дезаргом (1639), Б. Паскалем (1640), Ф. Лаиром (1685). Из других открытий 17 в. следует отметить: в теории чисел - формулировку принципа математич. индукции (Б. Паскаль, 1665) и глубокие исследования П. Ферма, в значительной мере определившие дальнейшее развитие этой науки, разработку основных понятий комбинаторики (П. Ферма, Б. Паскаль, Г. Лейбниц); первые работы по теории вероятностей (П. Ферма, Б. Паскаль), увенчавшиеся в конце века результатом принципиального значения- открытием простейшей формы закона больших чисел (Я. Бернулли, опубликовано в 1713); теорию непрерывных дробей [П. Катальди (1613), Д. Швентер (1617 - 18), Дж. Валлис (1656), Х. Гюйгенс (1703)]; метод неопределённых коэффициентов (P. Декарт, 1637); формулировку т. н. теоремы Эйлера о многогранниках (P. Декарт, ок. 1620). Необходимо указать ещё на построение В. Шиккардом (1623), Б. Паскалем (1641) и Г. Лейбницем (1673 -- 74) первых счётных машин, оставшееся надолго, впрочем, без практических последствий.

ПЕРИОД ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ

Наши первоначальные представления о числе и форме относятся к очень отдаленной эпохе древнего каменного века. Числовые термины медленно входили в употребление рыболовов, охотников, а затем землевладельцев и торговцев.Из дошедших до нас математических документов Востока можно заключить, что в Древнем Египте были сильны развиты отрасли математики, связанные с решением экономических задач. Папирус Райнда (ок. 2000 г. до н.э.) начинался с обещания научить "совершенному и основательному исследованию всех вещей, пониманию их сущностей, познанию всех тайн". Фактически излагается искусство вычисления с целыми числами и дробями, в которое посвящались государственные чиновники для того, чтобы уметь решать широкий круг практических задач, таких, как распределение заработной платы между известным числом рабочих, вычисление количества зерна для приготовления такого-то количества хлеба, вычисление поверхностей и объемов и т.д. Дальше уравнений первой степени и простейших квадратных уравнений египтяне, по-видимому, не пошли. Все содержание известной нам египетской математики убедительно свидетельствует, что математические знания египтян предназначались для удовлетворения конкретных потребностей материального производства.

Египтяне пользовались двумя системами письма. Одна - иероглифическая - встречается на памятниках и могильных плитах, каждый символ изображает какой-нибудь предмет. В другой системе - иератической - использовались условные знаки, которые произошли из иероглифов в результате упрощений и стилизаций. Именно эта система чаще встречается на папирусах. Иероглифическая система счисления имеет основание 10 и не является позиционной: для обозначения чисел 1, 10, 100 и т.д. в ней используется разные символы, каждый символ повторяется определенное число раз, и, чтобы прочитать число, нужно просуммировать значения всех символов, входящих в его запись. Таким образом, их порядок не играет роли, и они записываются либо горизонтально, либо вертикально. Иератическая система счисления также десятичная, но специальные дополнительные символы помогают избежать повторения, принятого в иероглифической системе.

Математика Вавилона, как и египетская, была вызвана к жизни потребностями производственной деятельности, поскольку решались задачи, связанные с нуждами орошения, строительства, хозяйственного учета, отношениями собственности, исчислением времени. Сохранившееся документы показывают, что, основываясь на 60-ричной системе счисления, вавилоняне могли выполнять четыре арифметических действия, имелись таблицы квадратных корней, кубов кубических корней, сумм квадратов и кубов, степеней данного числа, были известны правила суммирования прогрессий. Замечательные результаты были получены в области числовой алгебры. Решение задач проводилось по плану, задачи сводились к единому «нормальному» виду и затем решались по общим правилам. Встречались задачи, сводящиеся к решению уравнений третьей степени и особых видов уравнений четвертой, пятой и шестой степеней. Вавилонская система счисления является комбинацией шестидесятеричной и десятичной систем с применением позиционного принципа; в ней используются всего два разных символа: один обозначает единицу, второй - число 10; все числа записываются при помощи этих двух символов с учетом позиционного принципа. В самых древних текстах (около 1700 г. до н.э.) не встречается никакого символа для обозначения нуля; таким образом, численное значение, которое придавалось символу, зависело от условий задачи, и один и тот же символ мог обозначать 1, 60, 3600 или даже 1/60, 1/3600

Греки в течении одного-двух столетия сумели овладеть математическим наследием предшественников, но они не довольствовались усвоением знаний; греки создали абстрактную и дедуктивную математику. Они были, прежде всего, геометрами, имена которых и даже сочинения дошли до нас. Это Фалес Милетский, школа Пифагора, Гиппократ Хиоский, Демокрит, Евдокс, Аристотель, Евклид, Архимед, Аполоний. Милетская школа, заложившая основы математики как доказательной науки - одна из первых древнегреческих математических школ. Она существовала в Ионии в конце V-IV вв. до н.э; основными деятелями ее являлись Фалес (ок.624-547 гг. до н.э.), Анаксимандр (ок. 610-546 гг. до н.э.) и Анаксимен (ок.585-525 гг.до н.э.).

Основоположником пифагорской школы был Пифагор Самосский (580-500 до н.э.). Главной заслугой пифагорейцев в области науки является существенное развитие математики, как по содержанию, так и по форме. По содержанию - открытие новых математических фактов. По форме - построение геометрии и арифметики как теоретических, доказательных наук, изучающих свойства отвлеченных понятий о числах и геометрических формах. Дедуктивное построение геометрии явилось мощным стимулом её дальнейшего роста. Пифагорейцы развили и обосновали планиметрию прямолинейных фигур: учение о параллельных линиях, треугольниках, четырехугольниках, правильных многоугольниках. Получила развитие элементарная теория окружности и круга. Наличие у пифагорейцев учения о параллельных линиях говорит о том, что они владели методом доказательства от противного и впервые доказали теорему о сумме углов треугольника. Вершиной достижений пифагорейцев в планиметрии является доказательство теоремы Пифагора.

Числа у пифагорейцев выступают основополагающими универсальными объектами, к которым предполагалось свести не только математические построения, но и все многообразие действительности. Физические, этические, социальные и религиозные понятия получили математическую окраску. Науке о числах и других математических объектах отводится основополагающее место в системе мировоззрения, то есть фактически математика объявляется философией. Как ни велики заслуги пифагорейцев в развитии содержания и систематизации геометрии и арифметики, однако все они не могут сравниться со сделанным ими же открытием несоизмеримых величин. Это открытие явилось поворотным пунктом в истории античной математики.

Элейская школа - это одна из древнейших школ, в трудах которой математика и философия достаточно тесно и разносторонне взаимодействуют. Основными представителями элейской школы считают Парменида (конец VI - V в. до н.э.) и Зенона (первая половина V в. до н.э.). В силу тесной взаимосвязи общих философских представлений с фундаментальными математическими положениями удар, нанесенный Зеноном по философским воззрениям, существенно затронул систему математических знаний. Целый ряд важнейших математических построений, считавшихся до этого, несомненно, истинными, в свете зеноновских построений выглядели как противоречивые. Значительно сложнее было построить систему фундаментальных положений математики, в которой бы выявленные Зеноном противоречия не имели бы места. Эту задачу решил греческий математик Демокрит, разработав концепцию математического атомизма. Руководствуясь положениями математического атомизма, Демокрит проводит ряд конкретных математических исследований и достигает выдающихся результатов (например, теория математической перспективы и проекции). Выдающим достижением Демокрита в математике явилась также его идея о построении теоретической математики как системы. В зародышевой форме она представляет собой идею аксиоматического построения математики, которая затем была развита в методологическом плане Платоном и получила логически развернутое положение у Аристотеля. Посредством математических отношений Платон пытался охарактеризовать некоторые явления общественной жизни. Платон существенно опирался на математику при разработке основных разделов своей философии: в концепции "познание - припоминание", учении о сущности материального бытия, об устройстве космоса, в трактовке социальных явлений и т.д. Математика сыграла значительную роль в конструктивном оформлении его философской системы. Величайший философ древности Аристотель (384-322 гг. до н.э.) в математике, по - видимому не проводил конкретных исследований, однако важнейшие стороны математического познания были подвергнуты им глубокому философскому анализу, послужившему методологической основой деятельности многих поколений математиков. Ко времени Аристотеля теоретическая математика достигла высокого уровня развития. Продолжая традицию философского анализа математического познания, Аристотель поставил вопрос о необходимости упорядочивания самого знания о способах усвоения науки, о целенаправленной разработке искусства ведения познавательной деятельности, включающего два основных раздела: «образованность» и «научное знание дела». Среди известных сочинений Аристотеля нет специально посвященных изложению методологических проблем математики. Но по отдельным высказываниям, по использованию математического материала в качестве иллюстраций общих методологических положений можно составить представление о том, каков был его идеал построения системы математических знаний. У Аристотеля отчетливо сформулированы логические принципы дедуктивного построения математической дисциплины. Чтобы что-то доказывать, делать логические выводы, нужно опираться на какие-то предшествующие положения, уже доказанные ранее. Поэтому для построения строгой математической теории необходимо перечислить некоторые предположения, на которые можно опираться при доказательстве. Эти принципы особенно четкое воплощение получили в обширном творении Евклида (III в. до н.э.) «Начала», текст которого дошел и до нашего времени. На две тысячи лет «Начала» Евклида стали энциклопедией, место которого определяется не столько собственными его научными исследованиями, сколько педагогическими заслугами. Величайшая заслуга Евклида состоит в том, что он подвёл итог построению геометрии и придал изложению совершенную форму. Из арифметики постепенно вырастает теория чисел. Создается систематическое учение о величинах и измерении. Процесс формирования понятия действительного числа оказывается весьма длительным. В течение 5-го, 4-го, 3-го тысячелетий до н.э. новые и более совершенные формы общества складывались на основе упрочившихся общин, существовавших на берегах великих рек Африки и Азии.

Восточная математика возникла как прикладная наука, имевшая целью облегчить календарные расчеты распределения урожая и сбора налогов. В начале главным делом были арифметические расчеты и измерения. Однако с течением времени из арифметики выросла алгебра, а из измерений возникли зачатки теоретической геометрии. На Востоке возникла система, основанная на десятичной системе счисления со специальными знаками для каждой десятичной единицы более высокого разряда - системе, которая нам знакома, благодаря римскому исчислению, основанному на том же принципе. Именно на востоке определено значение р. В течение последних столетий 2-го тысячелетия до н.э. в бассейне Средиземного моря и прилегающих к нему областях очень многое изменилось в политике. Итогом был расцвет греческого полиса - самоуправляющегося города - государства. Именно в этой атмосфере родилась современная математика. Следующим был период Александрии. Одно из крупнейших произведений этого периода стало «Великое собрание» Птолемея. Там мы находим теорему о четырехугольниках, вписанном в окружность. В «Сферике» Менелая мы находим теорему о треугольнике в обобщенном для сферы виде. Но, тем не менее, Александрийская школа медленно умирала вместе с упадком античного общества.

Наиболее развитой частью римской империи всегда был восток. Земледелие запада было экстенсивным, никогда не имело в своей основе орошения и это содействовало астрономическим исследованиям. Мало подвижная цивилизация западной римской империи сохранялась в течение столетий. В течение первых веков западного феодализма даже в монастырях не очень высоко ставят математику. Там она сводилась лишь к скромной арифметике церковного назначения. Итальянские купцы посещали восток и знакомились с его цивилизацией. Они стремятся познакомиться с наукой и искусствами более древней цивилизации, чтобы использовать их в своей собственной новой системе. А в 12-13 столетиях мы видим уже рост банковского дела и зачатки капиталистической формы производства. Одним из ученых этого периода был Леонардо из Пизы (Фибоначчи). Он написал свою «Книгу Абака», заполненную алгебраическими и арифметическими сведениями, собранными во время путешествия. В книге «Практика геометрии» Леонардо рассказывает о том, что он открыл в области геометрии и тригонометрии. Интерес к математике стал распространяться на северные города. Поначалу это был практический интерес, и в течение нескольких столетий арифметику и алгебру вне университетов преподавали мастера, которые обычно не знали классиков, но зато обучали бухгалтерии и навигации. Математика развивалась главным образом в растущих торговых городах. Горожан интересовал счет, арифметика, вычисления. Типичен для этого периода Иоганн Мюллер, ведущая математическая фигура 15-го столетия. Он перевел Птолемея, Герона, Архимеда. Он положил много труда на вычисление тригонометрических таблиц, составил таблицу синусов с интервалом в одну минуту. Значения синусов рассматривались как отрезки, представлявшие полухорды соответствующих углов в круге, поэтому они зависели от длины радиуса.

Развитие анализа получило мощный импульс, когда была написана «Геометрия» Декарта. Она включила в алгебру всю область классической геометрии. Декарт создал аналитическую геометрию. Ферма и Паскаль стали основателями математической теории вероятностей. Постепенное формирование интереса к задачам, связанным с вероятностями, происходило прежде всего под влиянием страхового дела. Период элементарной математики заканчивается, когда центр тяжести математических интересов переносится в область математики переменных величин. Еще в математике Древнего мира на материале изучения тригонометрических функций и при составлении их таблиц формируются представления о функциональной зависимости. Таким образом, весь период до 17 в. остается периодом элементарной математики. В целом же математика прошла гигантский путь в этот период от зарождения счета на пальцах до сложнейших теорем.

12 3 4