ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Образец выполнения задачи 3.1

III. ДИНАМИКА

Задача 3.1. Динамика материальной точки

Силы, заданные формулами, измеряют в Н.

1. По шероховатой наклонной плоскости, составляющей угол α = 30° с горизонтом, опускается без начальной скорости тело. Определить, в течение какого времени тело опустится на высоту h = 10 м по вертикали, если коэффициент трения скольжения f = 0,1.

2. На тело массой m, движущееся по горизонтальной гладкой поверхности вдоль оси х, действует сила, проекция которой равна F_х = 0,25 m x. В начальный момент тело находилось в покое в точке x_o = 1 м. Определить скорость тела в момент, когда координата станет равной х = 5 м.

3. Сила тяги винтов вертолета массой m при его вертикальном подъеме из состояния покоя в 1,5 раза превышает его вес. Сопротивление воздуха пропорционально скорости . Определить скорость подъема в момент t = 5 с, а также максимальную скорость вертолета.

4. Лодке массой m = 100 кг сообщается начальная скорость v_o = 4 м/с. При движении на лодку действует сила сопротивления, пропорциональная квадрату скорости R = 5 v². Определить, в течение какого времени скорость лодки уменьшится в два раза.

5. Телу сообщается начальная скорость v₀ = 6,6 м/с, и оно начинает скользить вверх по шероховатой наклонной плоскости, составляющей угол α = 30° с горизонтом. Коэффициент трения скольжения f = 0,2. Определить время достижения наивысшего положения тела и пройденный телом за это время путь.

6. На тело массой m, движущееся по горизонтальной гладкой поверхности вдоль оси х, действует сила, проекция которой равна F_х = − 0,36 m x. В начальный момент х₀ = 0 и проекция скорости V_xo = 3 м/с. Определить максимальное значение координаты х тела.

7. Груз массой m = 10 кг опускается вертикально на парашюте без начальной скорости. Сопротивление воздуха пропорционально скорости . Определить скорость груза в момент времени t = 1 с.

8. В момент выключения мотора катер массой m = 200 кг имел скорость. Определить путь, который пройдет катер до того момента времени, когда скорость катера уменьшится в десять раз. Сила сопротивления движению пропорциональна квадрату скорости R = 8 v².

9. Тело начинает скользить вниз по шероховатой наклонной плоскости, составляющей угол α = 30° с горизонтом, с начальной скоростью v_o = 2 м/с. Коэффициент трения скольжения f = 0,4. Определить путь, пройденный телом за время t = 2с.

0. Материальная точка массой m = 2 кг движется из состояния покоя по горизонтальной гладкой поверхности вдоль оси х под действием силы, проекция которой равна F_х = 3 (1 − 0,5 t ). Определить скорость и координату точки в тот момент времени, когда сила станет равной нулю. Начальную координату точки считать нулевой.

Образец выполнения задачи 3.1

Тело массой m = 15 кг поднимается по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол α = 30°с горизонтом, получив начальную скорость v₀ = 10 м/с. Сопротивление среды пропорционально скорости . Определить время, прошедшее до остановки тела.

Решение. Изобразим тело на наклонной плоскости (рис. 3.1)

Рис. 3.1. Рисунок к задаче 3.1

Составим уравнения движения тела в проекции на ось Ох

(3.1)

Уравнение (3.1) можно записать в виде

(3.2)

Уравнение (3.2) является линейным дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными. Представим производную от скорости как отношение дифференциалов функции и независимой переменной