ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Определение нормальных напряжений

123 4

При изложении материала использованы результаты работ монографий В.В. Васильева [3], А.А.Дудченко [2].

Рассмотрим применение балочной теории для расчета длинномерных конструкций типа кессонов крыла, поверхностей хвостового оперения и удлиненных фюзеляжей с произвольной формой поперечного сечения. Считаем, что рассматриваемые расчетные конструкции являются длинномерными. Длина оболочки намного больше, чем размеры ее поперечного сечения и последнее, в свою очередь, намного больше, чем толщина обшивки, причем отсутствуют вырезы и резкое изменение жесткости обшивки и подкрепляющих элементов по координате . Такие оболочки, как структурный элемент, работают на растяжение-сжатие, поперечный изгиб, кручение. Считаем, что на оболочку типа кессона крыла действуют осевые силы P_z_, изгибающие моменты и , крутящий момент M_z, и поперечные силы Q_x и Q_y (рис. 6.6), которые, в общем случае вызваны мембранными напряжениями и . Распределение нормальных напряжений в поперечном сечении должно быть статически эквивалентным действующим в этом сечении моментам , и осевой силе P_z.

Рис. 6.6. Структурный элемент оболочки кессонного типа с нагрузками

Сформулируем гипотезы и допущения, на которых построена расчетная теория - балочная теория:

1. Примем, что продольные деформации в любом поперечном сечении оболочки распределяются по закону плоскости .

2. Оболочка считается безмоментной, так как толщина стенки оболочки мала. Поэтому нормальные усилия и касательные потоки определяются как произведение соответствующего напряжения на толщину оболочки. Подкрепляющие продольные элементы воспринимают только продольные напряжения .

3. Все нагрузки, действующие на рассматриваемую конструкцию, в каждом сечении сводятся к изгибающим моментам , крутящему моменту , осевой силе и поперечным силам (см. рис.6.6).

4. Композиционный материал в конструкции остается упругим вплоть до разрушения и связь между напряжениями и деформациями определяются законом Гука, при этом считается, что обшивка и стенки не теряют устойчивости.

5. В композиционных авиационных конструкциях при действии перечисленных нагрузок можно считать, что контурные усилия ( , - толщина обшивки), в то время как . Эти усилия существенно меньше двух других усилий, действующих в оболочке.

6. Расчетная часть цилиндрической оболочки считается длиной, регулярной по длине, без вырезов, без резкого изменения жесткости и нагрузок, без учета условий закрепления.

Принимаем, что продольные деформации связаны с продольными перемещениями соотношением , которые являются постоянными в поперечном сечении . Введем в сечении две другие деформации и , вызванные изгибающими моментами относительно осей и соответственно (рис. 6.6), которые приводят к двум продольным перемещениям и , переменным по координате . От действия изгибающих моментов плоскость сечения должна поворачиваться вокруг соответствующих осей, а величина перемещений и должна быть пропорциональна координатам сечения или . Тогда смещение при повороте сечения относительно оси будет пропорционально координате (рис. 6.7), т.е. , где (z) является угловым вращением вокруг оси x. В этом случае деформация поперечного сечения будет . Здесь и далее штрих означает производную от функции по координате z.

Рис. 6.7. Смещение при повороте сечения относительно оси

Аналогично мы определим смещение при повороте сечения относительно оси , которое запишем как , где - угловое вращение сечения вокруг оси y. В этом случае деформация поперечного сечения будет равна . Таким образом, полная осевая деформация поперечного сечения будет иметь вид

. (6.2)

Так как продольная деформация связана с продольным перемещением сечения соотношением , то интегрирование этого выражения с учетом (6.2) определяет перемещение в виде

. (6.3)

В уравнении (6.3) слагаемые соответствуют: - осевое смещение поперечного сечения, а и - углы поворота относительно осей и . Положительные углы соответствуют направлениям моментов и , показанные на рис. 6.6. Произвольная функция интегрирования определяет отклонение поперечного сечения от его плоского деформирования поперечного сечения и учитывает свободную депланацию (искажение) сечения, но не влияет на нормальные напряжения. Свободное деформирование не оказывает влияния на состояние продольного напряжения, которое в соответствии закона Гука имеет вид , где имеет вид (6.2). Это выражение точно соответствует принятой гипотезе деформирования сечения. Такой закон получается из-за принятого допущения, что ( ). Для конструкции из композиционного материала физический закон получим после рассмотрения следующих преобразований. Запишем соотношения закона Гука для плоской задачи ортотропного материала с учетом гипотезы

;

Исключая из этих выражений, получим связь между усилием и деформацией в виде [1], что соответствует предыдущей записи с учетом толщины материала ( - толщина обшивки).

Считая, что влияние искажения поперечного сечения и, соответственно, перераспределение нормальных напряжений, будет только в районе закрепления конструкции, физический закон определяется выражением

. (6.4)

Для определения нормальных усилий необходимо в выражении (6.4) найти значения коэффициентов . Распределение нормальных усилий в сечении должно быть эквивалентно действующим моментам , и осевой силе . Тогда статические соотношения можно записать

(6.5)

и дополнительные статические уравнения, обеспечивающие равновесие сил в направлениях осей и , а также уравнение крутящих моментов относительно оси , которые будут рассмотрены позднее и имеют вид:

, , , (6.6)

где r определяется равенством и является кротчайшим расстоянием между центром O и касательной к контуру сечения в точке М (рис. 6.8, это - перпендикуляр к касательной к контуру в т. М); N_zs – касательное усилие в обшивке; Q_x и Q_y – поперечные силы сечения; M_z – крутящий момент.

Рис. 6.8. К определению крутящего момента

Раскрывая соотношения (6.5), получим

, (6 .7)

Здесь - площадь сечения -го продольного элемента; - модуль упругости в продольном направлении обшивки, который может быть переменным по контуру.

Вводя обозначения - жесткость сечения на растяжение; - эквивалент статического момента относительно оси ;

- эквивалент статического момента относительно оси ;

- изгибная жесткость поперечного сечения относительно оси ;

- эквивалент центробежному моменту инерции сечения.

Тогда уравнения (6.7) примут вид

;

; (6.8)

Разрешая уравнения относительно неизвестных параметров и определяя их, запишем нормальное усилие для - ой точки сечения композитной оболочки

. (6.9)

Здесь - коэффициент несимметрии сечения оболочки;

, - обобщенные координаты точек сечения в главных центральных осях; - координаты центра тяжести сечения;

, , - эквивалент моментов инерции сечения относительно главных центральных осей.

В записанной формуле проводится автоматическое редуцирование жесткостных характеристик материала панелей сечения, где индекс учитывает реальные свойства - го стрингера в этой точке. Кроме того, при определении усилия , в самой величине которого заключена толщина обшивки, может использоваться для нахождения этой толщины в задачах проектирования.

Решение системы (6.8) позволяет определять неизвестные, входящие в эти уравнения. Искомые параметры имеют вид:

; ; .

Если сечение конструкции имеет ось симметрии, то центробежный момент инерции , коэффициент и во всех полученных выражениях соответствующие слагаемые пропадут.

Таким образом, задача определения нормальных напряжений и усилий, благодаря введенным гипотезам, является статически определимой задачей.

123 4