ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Оценка математического ожидания нормального распределения

Точечные оценки

При помощи частот либо гистограммы можно судить( хотя бы примерно) о характере распределения наблюдаемой случайной величины. Однако часто интерес представляют численные характеристики распределения – математическое ожидание, дисперсия и др. Это обусловлено тем ,что в процессе принятия решения удобнее опираться на небольшое число значимых параметров.

В связи с этим возникает задача: исходя из набора значение(выборки)

Х₁,Х₂….,Х_n

Величины Х, полученного в результате n независимых наблюдений, оценить значение математического ожидания EX, дисперсия DX либо еще какого-нибудь параметра. Пока наши рассуждения носят общий характер, мы будем обозначать оцениваемый параметр буквой θ(тэта).

Повторим сказанное иными словами(реализация) которой Х₁,Х₂….,Х_n каким- либо образом становится нам известными. (Этой случайной величиной может быть число посетителей данного магазина в течении дня, рост в сантиметрах студента данного вуза, головой доход гражданина данной страны и пр.) У величины Х имеется, скажем, математическое ожидание, которое нам неизвестно. Требуется найти способ, при помощи которого по известным реализациям величины Х модно разумным образом оценить неизвестное математическое ожидание.

Сейчас мы рассмотрим, каким образом неизвестный параметр оценивается одним числом. такая оценка называется точечной.

Любая оценка для θ- обозначаем ее θ^—будет представлять собой некоторое выражение, составленное из символов Х₁,Х₂….,Х_n:

Тем самым будет случайной величиной (принимающей свои значения в результате n опытов над X). Её закон распределения будет зависеть от закона распределения случайной величины
Х ( последнему подчинена каждая из величин Х₁,Х₂….,Х_n) и от числа наблюдений n.

Замечание. Подчеркнем, что на момент принятия решения о значении параметра (т.е. после проведения испытаний(наблюдений)) величины Х₁,Х₂….,Х_n являются конкретными числами. Однако на момент, когда выбирается сам метод (алгоритм, формула) вычисления , величины Х₁,Х₂….,Х_n являются случайными, ведь еще неизвестно, какие именно значения они примут.

Пример 1.Студент размышляет , ехать ли ему домой или идти в библиотеку. Ненаходя решающих аргументов в пользу того или другого, он решает провести испытание - подбросить монету, и если выпадет герб, то ехать домой( в противном случае- идти в библиотеку).В сущности, решение тем самым принято( определен алгоритм действий).Однако до подбрасывания монеты неизвестно, что же выпадет, герб или цифра(соответственно неизвестно и направление дальнейших передвижений студента).

Естественно предъявить к оценке некоторые требования. Упомянем два важнейших.

1) Желательно, чтобы при использовании величины вместо неизвестного параметра мы не делали систематических ошибок ни в сторону завышения, ни в сторону занижения, т.е. чтобы выполнялось равенство

Оценка, удовлетворяющая такому условию, называется несмещенной.

2) Желательно, чтобы с увеличением числа n опытов значение случайной величины концентрировалось около θ все более тесно, т.е. чтобы с ростом n точность оценки возрастала. Поскольку мерой рассеяния случайной величины вокруг ее математического ожидания является дисперсия, это требование можно сформулировать так:

(дисперсия оценки стремится к нулю при неограниченном возрастании числа наблюдений). Оценка, удовлетворяющая такому условию, называется состоятельной.

Рассмотрим важный пример- точечную оценку для математического ожидания EX. Таким образом, в данном случае θ= EX. В качестве такой оценки примем так называемое эмпирическое среднее, т.е. среднее арифметическое величин Х₁,Х₂….,Х_n:

Случайные величины Х₁,Х₂….,Х_n имеют один и тот же закон распределения, совпадающий с законом распределения величины Х.

Поэтому

Таким образом, оценка является несмещенной. Дисперсия этой оценки вычисляется следующим образом:

Выражение DX/n, очевидно, стремится к нулю при неограниченном возрастании n. Отсюда вытекает состоятельность .

Соотношения

Понадобятся нам в дальнейших рассмотрениях.

Интервальные оценки

Рассмотренная в предыдущем пункте точечная оценка часто бывает достаточной для практических выводов. Однако если есть необходимость в более детальном анализе, то надо оценить, насколько истинное значение параметра расходится с точечной оценкой этого значения.

В этом случае можно поступить следующим образом. Выберем интервал(θ₁,θ₂) таким образом, чтобы вероятность включения в этот интервал параметра θ была достаточно велика ( близка к единице). Говоря более строго, это означает , что вероятность выполнения двойного неравенства

θ₁(Х₁,Х₂….,Х_n)<θ< θ₂(Х₁,Х₂….,Х_n)

не меньше заданного числа .

Вероятность называется доверительной вероятность или надежностью, а интеграл(θ₁,θ₂)- доверительным интегралом (соответствующим доверительной вероятности ). Обычно значение выбирают равным 0,95 либо 0,99.

Рассмотренная оценка называется интервальной. Еще раз подчеркнем, что интервальная оценка зависит не только от имеющихся данных, но и от требуемой надежности .

Методы построения интервальных оценок будут обсуждаться в последующих разделах. Сейчас же приведем неформальный пример, поясняющий различие точечной и интервальной оценок.

Когда о каком либо человеке говорят: « ему примерно 38 лет», это ни что иное, как точечная оценка возраста. Когда же говорят:» Ему лет 35-40», это интервальная оценка, доверительный интервал-(35;40).Надежность оценки при этом в явном виде не указывается, но предполагается довольно близкой к единице.

Иногда можно слышать и высказывания такого рода: «Ему лет 35-40, по крайней мере не больше 45». Очевидно что доверительный интервал (35;45) имеет большую доверительную вероятность, чем интервал (35;40). Однако интервальная оценка(35;40) более информативна, чем оценка (35;45).

Оценка математического ожидания нормального распределения

В этом разделе мы рассмотрим конкретный пример построения точечной и интервальной оценок. И здесь, как и раннее, исходными данными являются результаты наблюдений

Х₁,Х₂….,Х_n

Кроме того, известно, что эти числа являются реализациями нормальной случайной величины N( μ , ).

Далее вопрос может быть поставлен различными способами:

Требуется оценить неизвестный параметр μ;

Требуется оценить неизвестный параметр s w:val="28"/></w:rPr><m:t>Пѓ</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> ;

Известен параметр s w:val="28"/></w:rPr><m:t>Пѓ</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> , требуется оценить параметр μ.

Из перечисленных трех задач мы рассмотрим лишь одну- последнюю.

Итак, требуется найти точечную и интервальную оценки математического ожидания μ случайной величины Х, распределенной по нормальному закону с известным стандартным отклонением s w:val="28"/></w:rPr><m:t>Пѓ</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> . Исходными данными являются Х₁,Х₂….,Х_n(для интервальной оценки требуется еще задать доверительную вероятность ).

Точечная оценка

Точечную оценку параметра μ определим как эмпирическое среднее:

Как уже отмечалось , такая оценка является несмещенной и состоятельной для любой случайной величины, в том числе, разумеется, и в данном случае.

Интервальная оценка

Для построения интервальной оценки необходимо сначала выбрать доверительную вероятность , которая после этого считается заданной.

Справедливо следующее утверждение: сумма независимых случайных величин, каждая их которых распределена по нормальному закону, также распределена по нормальному закону. Отсюда вытекает, что величина распределена по нормальному закону.

Выше было показано(см.(1)), что

Применительно к данному случаю имеем:

Так что =N( μ , ).

Рассмотрим случайную величину

Ее распределение является нормальным с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Пользуясь этим обстоятельством, можно по данному , найти такое число , чтобы выполнялось соотношение

(площадь области, заштрихованной на рис.1, равна ).

Замечание. индекс в выражении , подчеркивает зависимость u от . Если по контексту понятно, какое имеется в виду, то, опуская индекс, мы будем писать просто u.

Справедливо равенство

Напомним, что функция Ф(х) служит для вычисления вероятностей, связанных с нормальным распределением. Таблица ее значений имеется в приложении ( в конце книги).

Для нахождения числа достаточно решить уравнение

Число ищется по заданному числу при помощи таблицы значений функции Ф(х).

Получив , мы можем утверждать, что вероятность события

Или, более подробно,

равна . Последнее неравенство равносильно следующему:

Таким образом, с доверительной вероятностью математическое ожидание μ лежит в интервале (μ₁, μ₂), где

Число

Называется погрешностью оценки математического ожидания. С доверительной вероятностью можно считать, что оценка отклоняется от истинного значения μ не более чем на ɛ (рис.2).

Из формулы (4)видно что с ростом числа данных n погрешность становится все меньше, т.е. доверительный интервал сужается. В свою очередь, чем меньше погрешность, тем больше данных необходимо собрать для ее достижения. Если требуется погрешность ɛ задана, то найти соответствующий оббьем данных:

При этом, разумеется, n должно быть целым числом. Так как сбор данных часто связан с некоторыми затратами, обычно берут минимальное целое n, удовлетворяющее неравенству(5).

Пример 2. При измерении нормальной случайной величины со стандартным отклонением, равна 5, и неизвестными математическим ожиданием μ получена следующая выборка:

3,12,8,14,15,6,19,10,15,6.

Требуется найти:1) интервал, содержащий параметр μ с доверительной вероятностью =0,95; 2) погрешность оценки , соответствующую этой доверительной вероятности.

В данном случае

s w:val="28"/></w:rPr><m:t>Пѓ</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> =5, n=10, = 0,95.

Для точечной оценки получаем

=10.8

Решим уравнение

Для этого следует найти число 0,475 или ближайшее к нему в таблице среди значений функции ф(х)( таблица дана в приложении). Ближайшее число -0,477. Соответствующее этому значению аргумента

Теперь осталось воспользоваться формулами (2) и (3), подставив туда в условии s w:val="28"/></w:rPr><m:t>Пѓ</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> , n и найти , . Имеем:

Таким образом ,искомым доверительным интервалом является интервал(7,64;13,96).

Для погрешности ɛ получаем следующее значение:

14.4 Оценки вероятности события

Пусть некоторое событие происходит в результате единичного испытания с вероятностью P , которая нам неизвестна однако ситуация позволяет многократно повторить испытание и подсчитать , сколько раз произошло указанное событие. Более точно : пусть произведено n испытаний, в которых событие произошло m раз . Здесь в отличие от предыдущих рассмотрений исходными данными для анализа будут всего два числа – n и m.

Задача, которую мы будем рассматривать, заключается в отыскании оценки неизвестной вероятности P по имеющимся данным n, m и доверительной вероятности

Точечная оценка

Не вызывает сомнений, что точечная оценка вероятности P определяется следующим соотношением :

. (6)

Докажем несмещенность и состоятельность этой оценки.

При любом фиксированном n величина m является случайной величиной с биноминальным законом распределения:

Напомним, что в этом случае

Докажем несмещенность оценки . Имеем :

Теперь вычислим величину

Таким образом,

Что доказывает состоятельность точечной оценки .

Интервальная оценка

Для построение интервальной оценки вспомним ( см. формулу (2) на с. 262), что биномиальная случайная величина может быть приближена нормальной случайной величиной и (эти условия будем далее считать выполненными). Поэтому можно считать, что

Пользуясь этим обстоятельством , можно найти границы доверительного интервала методом, сходным с методом вычисления доверительного интервала для математического ожидания нормального распределения. Выпишем сразу результат :

(7)

(8)

где - решение уравнения

(9)

Пример 3. Из 200 случайным образом отобранных изделий не который фирмы 10 оказались бракованными. Найти доверительный интервал, содержащий с надёжностью долю бракованных изделий среди всей продукции фирмы .

Решение. Здесь

Примерная формула (9), (6), (7), (8), получаем, что

(напомним, что это значение находится по таблице),

(это точечная оценка),

Таким образом , доверительный интервал оказался следующим :

(0,01; 0,09) . Иными словами, с доверительной вероятностью 0,99 доля бракованных изделий лежит в промежутке 1% и 9%.