ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Доходность и риск портфеля ценных бумаг

1 2 3 45

В теории портфельного инвестирования исходят из того, что значения доходности отдельной ценной бумаги портфеля являются случайными величинами, распределенными по нормальному (Гауссовскому) закону.

Чтобы определить распределение вероятностей случайной величины необходимо знать, какие фактические значения принимает данная величина, и какова вероятность каждого подобного результата. При этом инвестора интересует доходность инвестиций в конце инвестиционного, холдингового периода, то есть будущиезначения , которые в начальный момент инвестирования неизвестны. Значит, инвестор должен оперировать ожидаемым, будущимраспределением случайной величины . Существуют два подхода к построению распределения вероятностей - субъективный и объективный, или исторический. При использовании субъективного подхода инвестор, прежде всего, должен определить возможные сценарии развития экономической ситуации в течение холдингового периода, оценить вероятность каждого результата и ожидаемую при этом доходность ценной бумаги.

Субъективный подход имеет важное преимущество, поскольку позволяет оценивать сразу будущиезначение доходности. Однако, он не находит широкого применения, поскольку для обычного инвестора очень трудно сделать оценку вероятностей экономических сценариев и ожидаемую при этом доходность.

Чаще используется объективный,или историческийподход. В его основе лежит предположение о том, что распределение вероятностей будущих (ожидаемых) величин практически совпадает с распределением вероятностей уже наблюдавшихсяфактических, исторических величин. Значит, чтобы получить представление о распределении случайной величины в будущем достаточно построить распределение этих величин за какой-то промежуток времени в прошлом.

Как показывают исследования западных экономистов, для рынка акций наиболее приемлемым является промежуток 7-10 шагов расчета. В отличие от субъективного подхода, который предполагает разную вероятность различных значений доходности, при объективном подходе каждый результат имеет одинаковую вероятность, поскольку при наблюдениях случайной величины вероятность конкретного результата составляет величину . Например, если исследуется доходность акции за предшествующие 10 лет, то вероятность каждой годовой доходности составляет 1/10.

Наиболее часто в теории инвестиционного портфеля используется среднее арифметическоезначение случайных величин. Напомним, что если ,(t = 1,2,….,N) представляют собой значения доходности в конце t –го периода, а - вероятности данных значений доходности, то:

(42)

где – среднее арифметическое значение доходности;

N – количество лет, в течение которых велись наблюдения.

В случае объективного подхода =1/ N, поэтому формула примет вид:

= (43)

Наиболее часто риск ценной бумаги измеряют с помощью дисперсии и стандартного отклонения .

(44)

Доходность портфеля.Подожидаемой доходностьюпортфеля понимается средневзвешенное значение ожидаемых значений доходности ценных бумаг, входящих в портфель. При этом "вес" каждой ценной бумаги определяется относительным количеством денег, направленных инвестором на покупку этой ценной бумаги. Ожидаемая доходность инвестиционного портфеля равна:

(45)

где – ожидаемая норма отдачи портфеля;

– доля в общих инвестиционных расходах, идущая на приобретение i-той ценной бумаги (“вес” i-той ценной бумаги в портфеле);

– ожидаемая доходность i-той ценной бумаги;

n – число ценных бумаг в портфеле.

Измерение риска портфеля.При определении риска портфеля следует учитывать, что дисперсию портфеля нельзянайти как средневзвешенную величин дисперсий входящих в портфель ценных бумаг. Это объясняется тем, что дисперсия портфеля зависит не только от дисперсий входящих в портфель ценных бумаг, но также и от взаимосвязи доходностей ценных бумаг портфеля друг с другом. Иными словами, риск портфеля объясняется не только индивидуальным риском каждой отдельно взятой ценной бумаги портфеля, но и тем, что существует риск воздействия изменений наблюдаемых ежегодных величин доходности одной акции на изменения доходности других акций, включаемых в инвестиционный портфель.

Меру взаимозависимости двух случайных величин измеряют с помощью ковариации и коэффициента корреляции. Положительная ковариацияозначает, что в движении доходности двух ценных бумаг имеется тенденция изменяться в одних и тех же направлениях: если доходность одной акции возрастает (уменьшается), то и доходность другой акции также возрастет (уменьшится). Если же просматривается обратная тенденция, то есть увеличению (уменьшению) доходности акций одной компании соответствует снижение (увеличение) доходности акций другой компании, то считается, что между доходностями акций этих двух компаний существует отрицательная ковариация.

Когда рассматриваются величины доходности ценных бумаг за прошедшие периоды, то ковариация подсчитывается по формуле:

(46)

где – ковариация между величинами доходности ценной бумаги i и ценной бумаги j;

и – доходность ценных бумаг i и j в момент времени t ;

и – ожидаемая (среднеарифметическая) доходность ценных бумаг i и j;

N – общее количество лет наблюдения.

Часто при определении степени взаимосвязи двух случайных величин используют относительнуювеличину – коэффициент корреляции :

(47)

Итак, риск инвестиционного портфеля надо определять с помощью дисперсии. Пусть в исследуемый портфель входят n ценных бумаг; тогда дисперсию портфеля необходимо вычислять по формуле:

(48)

Учитывая, что коэффициент корреляции , то эту формулу можно представить в виде:

(49)

2 тема Основные положения модели Г. Марковица

Знание ожидаемой доходности активов, а также уровня риска ее получения используется при формировании инвесторами так называемых оптимальных портфелей ценных бумаг. Оптимизация портфелей ценных бумаг состоит в определении пропорций в составе входящих в него активов, которые бы обеспечили максимальную доходность при минимуме риска.

Решение проблемы оптимального распределения долей капитала между ценными бумагами, сводящего общий риск к минимальному уровню, и составление оптимального портфеля было предложено в 50-е годы XX века американским ученым Г. Марковицем. Формализованная модель Г. Марковица, а также разработанная в начале 60-х годов модель В Шарпа, позволяет добиваться формирования такого инвестиционного портфеля, который бы отвечал потребностям и целям каждого индивидуального инвестора. Как любая формализованная модель, указанные модели имеют ряд допущений и могут быть реализованы только при определенных условиях (на отечественном фондовом рынке не все есть условия).

В 1952 г. американский экономист Г. Марковиц опубликовал статью "Рогtfolio Selection", которая легла в основу теории инвестиционного портфеля. Г. Марковиц исходил из предположения о том, что инвестирование рассматривается как однопериодовый процесс, т.е. полученный в результате инвестирования доход не реинвестируется. Другим важным исходным положением в теории Г. Марковица является идея об эффективности рынка ценных бумаг. Под эффективнымрынком понимается такой рынок, на котором вся имеющаяся информация трансформируется в изменение котировок ценных бумаг; это рынок, который практически мгновенно реагирует на появление новой информации.

В своих теоретических исследованиях Марковиц полагал, что значения доходности ценных бумаг являются случайными величинами, распределенными по нормальному (Гауссовскому) закону. В этой связи Марковиц считал, что инвестор формируя свой портфель, оценивает лишь два показателя – ожидаемую доходность и – стандартное отклонение как меру риска (только эти два показателя определяют плотность вероятности случайных чисел при нормальном распределении). Следовательно, инвестор должен оценить доходность и стандартное отклонение каждого портфеля и выбрать наилучший портфель, который больше всего удовлетворяет его желания – обеспечивает максимальную доходность при допустимом значении риска . Какой при этом конкретныйпортфель предпочтет инвестор, зависит от его оценки соотношения "доходность-риск".

Ключ к решению проблемы выбора оптимального портфеля лежит в теореме о существовании эффективного набора портфелей,так называемой границы эффективности.Суть теоремы сводится к выводу о том, что любой инвестор должен выбрать из всего бесконечного набора портфелей такой портфель, который:

1. Обеспечивает максимальную ожидаемую доходность при каждом уровне риска.

2. Обеспечивает минимальный риск для каждой величины, ожидаемой доходности.

Набор портфелей, которые минимизируют уровень риска при каждой величине ожидаемой доходности, образуют так называемую границу эффективности. Эффективный портфель – это портфель, который обеспечивает минимальный риск при заданной величине и максимальную отдачу при заданном уровне риска.

Та часть риска портфеля, которая может быть устранена путем диверсификации, называется диверсифицируемым,или несистематическимриском. Доля же риска, которая не устранятся диверсификацией, носит название недиверсифицируемого,или систематическогориска.

Если портфель состоит из более чем из 2 ценных бумаг, то для любого заданного уровня доходности существует бесконечное число портфелей, или, иными словами, можно сформулировать бесконечное количество портфелей, имеющих одну и ту же доходность.

Тогда задача инвестора сводится к следующему: из всего бесконечного набора портфелей с ожидаемой доходностью необходимо найти такой, который обеспечивал бы минимальный уровень риска. Иными словами, можно задачу инвестора свести к следующему:

необходимо найти минимальное значение дисперсии портфеля

(50)

при заданных начальных условиях:

(52)

(53)

Для решения задачи нахождения оптимального портфеля, содержащего n ценных бумаг, необходимо первоначально вычислить:

1. n значений ожидаемой доходности , где i=1,2,….,n.

2. n значений дисперсий каждой ценной бумаги;

3. n(n-1)/2 значений ковариации , где i,j=1,2,….,n

Если подставить значения , и в выражения (50–53), то выясняется, что в этих уравнениях неизвестными оказываются только величины - "веса" каждой ценной бумаги в портфеле. Следовательно, задача формирования оптимального портфеля из n ценных бумаг по сути дела сводится к следующему: для выбранной величины доходности инвестор должен найти такие значения , при которых риск инвестиционного портфеля становится минимальным. Иначе говоря, для выбранного значения инвестор должен определить, какие суммы инвестиционных затрат необходимо направить на приобретение той или иной ценной бумаги, чтобы риск инвестиционного портфеля оказался минимальным.

В теории Марковица инвесторы стремятся сформировать портфель ценных бумаг, чтобы максимизировать получаемую полезность. Иными словами, каждый инвестор желает таким образом сформировать портфель, чтобы сочетание ожидаемой доходности и уровня риска портфеля приносило бы ему максимальное удовлетворение потребностей и минимизировало риск при желаемой доходности. Разные инвесторы имеют отличные друг от друга мнения об оптимальности сочетания и , поскольку отношение одного инвестора к риску не похоже на желание рисковать другого инвестора. Поэтому, говоря об оптимальномпортфеле, надо иметь в виду, что эта категория сугубо индивидуальна,и оптимальные портфели разных инвесторов теоретически отличаются друг от друга. Тем не менее, каждый оптимальныйпортфель непременно является эффективным,то есть инвесторы выбирают удовлетворяющий их (оптимальный) портфель из эффективных портфелей.

На практике конкретный инвестор, построив границу эффективных портфелей, должен задать себе вопрос – какую доходность он ожидает от портфеля? После этого по кривой границы эффективных он определяет уровень такого портфеля. Затем инвестор должен оценить, удовлетворяет ли его такой уровень риска. Если инвестор готов к более высокому уровню риска, то ему целесообразно выбрать портфель с более высокой . Тот портфель, который при установленной инвестором доходности даст наилучшее сочетание и , будет оптимальным, для данного инвестора.

6 тема Оптимизация инвестиционного портфеля по методу У. Шарпа

В 1963 г. американский экономист У. Шарп (William Sharpe) предложил новый метод построения границы эффективных портфелей, позволяющий существенно сократить объемы необходимых вычислений. В дальнейшем этот метод модифицировался и в настоящее время известен как одноиндексная модель Шарпа (Sharpe single-index model).

В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две переменные величины - независимую X и зависимую Y линейным выражением типа модели Шарпа независимой считается величина какого-то рыночного индекса. Таковыми могут быть, например, темпы роста валового внутреннего продукта, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т.п. Сам Шарп в качестве независимой переменной рассматривал норму отдачи , вычисленную на основе индекса Standart and Poors (S&P500). В качестве зависимой переменной берется отдача какой-то i-ой ценной бумаги. Поскольку зачастую индекс S&Р500 рассматривается как индекс, характеризующий рынок ценных бумаг в целом, то обычно модель Шарпа называют рыночной моделью (Market Model),а норму отдачи - рыночнойнормой отдачи.

Пусть норма отдачи принимает случайные значения и в течение N шагов расчета наблюдались величины , ,…, . При этом доходность какой-то i-ой ценной бумаги имела значения , ,…, . В таком случае линейная регрессионная модель позволяет представить взаимосвязь между величинами и в любой наблюдаемый момент времени в виде:

(54)

где: – доходность i-ой ценной бумаги в момент времени t;

– параметр, постоянная составляющая линейной регрессии, показывающая, какая часть доходности i-ой ценной бумаги не связана с изменениями доходности рынка ценных бумаг ;

– параметр линейной регрессии, называемый бета, показывающий чувствительность доходности i-ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности;

– доходность рыночного портфеля в момент t;

– случайная ошибка, свидетельствующая о том, что реальные, действующие значения и порою отклоняются от линейной зависимости.

Особое значение необходимо уделить параметру , поскольку он определяет чувствительность доходности i-ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности.

В общем случае, если >1 , то доходность данной ценной бумаги более чувствительная, подвержена большим колебаниям, чем рыночная доходность . Соответственно, при < 1 ценная бумага имеет меньший размах отклонений доходности , от средней арифметической (ожидаемой) величины , чем рыночная норма отдачи. В этой связи ценные бумаги с коэффициентом > 1 классифицируются как более рискованные, чем рынок в целом, а с < 1 - менее рискованными.

Как показывают исследования, для большинства ценных бумаг > 0, хотя могут встретиться ценные бумаги и с отрицательной величиной .

Ожидаемая доходность портфеля, состоящего из n ценных бумаг, вычисляется по формуле:

(55)

где – вес каждой ценной бумаги в портфеле. Подставим в эту формулу выражение для из формулы (54):

(56)

Для придания этой формуле компактности, Шарп предложил считать рыночный индекс как характеристику условной (n+1)-ой ценной бумаги в портфеле. В таком случае, второе слагаемое уравнения (56) можно представить в виде:

(57)

где: ; (57а)

при этом считается, что дисперсия (n+1)-ой ошибки равна дисперсии рыночной доходности: . Выражение (15а) представляет собойсумму взвешенных величин "беты" ( ) каждой ценной бумаги (где весом служат и называется портфельной бетой( ). С учетом выражений (56) и (57) формулу (55) можно записать так:

(58)

а поскольку , то окончательно имеем:

(59)

Итак, ожидаемую доходность портфеля можно представить состоящей из двух частей:

а) суммы взвешенных параметров каждой ценной бумаги – …..+ , что отражает вклад в самих ценных бумаг,и

б) компоненты , то есть произведенияпортфельной бетыи ожидаемой рыночной доходности, что отражает взаимосвязь рынкас ценными бумагами портфеля.

Дисперсия портфеля в модели Шарпа представляется в виде:

(60)

При этом необходимо иметь в виду, что , то есть , а . Значит, дисперсию портфеля, содержащего n ценных бумаг, можно представить состоящей из двух компонент:

а) средневзвешенных дисперсий ошибок , где весами служат , что отражает долю риска портфеля, связанного с риском самих ценных бумаг (собственный риск);

б) - взвешенной величины дисперсии рыночного показателя , где весом служит квадрат портфельной беты,что отражает долюриска портфеля, определяемого нестабильностью самого рынка (рыночныйриск)

В модели Шарпа цель инвестора сводится к следующему:

необходимо найти минимальное значение дисперсии портфеля

(61)

при следующих начальных условиях:

(62)

(63)

(64)

Таким образом для построения границы эффективных портфелей в модели Шарпа необходимо выполнить следующие основные этапы:

1. Выбрать n ценных бумаг, из которых формируется портфель, и определить
исторический промежуток в N шагов расчета, за который будут наблюдаться значения доходности каждой ценной бумаги.

2. По рыночному индексу (например, АК&М) вычислить рыночные доходности для того же промежутка времени.

3. Определить величину дисперсии рыночного показателя , а также значения ковариаций доходностей каждой ценной бумаги с рыночной
нормой отдачи и найти величины :

4. Найти ожидаемые доходности каждой ценной бумаги и рыночной
доходности и вычислить параметр :

5. Вычислить дисперсии ошибок регрессионной модели

6. Подставить эти значения в соответствующие уравнения

После такой подстановки выяснится, что неизвестными величинами являются веса ценных бумаг. Выбрав определенную величину ожидаемой доходности портфеля , можно найти веса ценных бумаг в портфеле, построить границу эффективных портфелей и определить оптимальный портфель.

1 2 3 45