ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение

Как определить диапазон голоса - ваш вокал

Игровые автоматы с быстрым выводом

Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими

Целительная привычка

Как самому избавиться от обидчивости

Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам

Тренинг уверенности в себе

Вкуснейший "Салат из свеклы с чесноком"

Натюрморт и его изобразительные возможности

Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д.

Как научиться брать на себя ответственность

Зачем нужны границы в отношениях с детьми?

Световозвращающие элементы на детской одежде

Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия

Как слышать голос Бога

Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ)

Глава 3. Завет мужчины с женщиной

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Похідні тригонометричних функцій

Похідні степеневих, показникових , логарифмічних і тригонометричних функцій.

План.

1. Похідні степеневих функцій

2. Похідні показникових функцій

3. Похідні логарифмічних функцій

4. Похідні тригонометричних функцій

Рекомендована література.

Алгебра і початки аналізу: Підруч.для 10-11 кл.загальноосвіт.навч. закладів / М.І. Шкіль, З.І. Слєпкань, О.С.Дубинчук – К.: Зодіак-ЕКО, 2000.-608с.

Розділ 10.§ 1,2,5.

Дайте письмові відповіді на запитання.

Запишіть формули:

1. Похідні степеневих функцій

2. Похідні показникових функцій

3. Похідні логарифмічних функцій

4. Похідні тригонометричних функцій

Похідна степеневої функції , де

Нам уже відомо, що . А як знайти похідну функції у = х⁵, у = х²⁰ тощо? Розглянемо функцію у= хⁿ, де n – .

Знайдемо похідну цієї функції, для цього зафіксуємо значення аргумента х₀ і надамо йому приросту , тоді:

1)

2)

(Скориставшись формулою

3)

Звідси

Розглянемо функцію у = х^n-1, де .

Знайдемо похідну цієї функції, для цього зафіксуємо значення аргумента х₀ і надамо йому приросту , тоді

1)

2)

3) =

Отже, , де .

Таким чином виконується рівність: .

Ми довели, що для .

Розглянемо функцію , де .

Знайдемо похідну цієї функції:

.

Отже, для всіх .

Похідна показникової функції

Перш ніж знаходити похідну показниковїх функції, зробимо два важливих зауваження. Графік функції у=а^х проходить через точку (0; 1). Нехай – величина кута , утвореного дотичною до графіка функції у = а^х в точці (0; 1)з додатним напрямом осі абсцис. Величина цього кута залежить від значення основи а. Наприклад, обчислено, що при а = 2 величина кута приблизно дорівнює 34⁰(рис.29), а при а = 2, =47⁰.

у у = е^х якщо основа а показникової функції у = а^х зростає від 2 до 3, то величина кута зростає і приймає значення від 34⁰ до 47⁰. Отже, існує таке значення , при якому дотична, проведена до графіка функції у = а^х в точці (0; 1) утворює з додатним напрямком осі ОХ кут 45⁰ (рис.31). Таке значення прийнято позначати буквою е, е – число ірраціональне, е = 2,718281828459... 0

Таким чином, дотична до графіка функції у = е^х в точці (0; 1) утворює з додатним напрямком осі абсцис, який дорівнює 45⁰.

У відповідності з геометричним змістом похідної даний висновок означає, що значення похідної функції в точці х₀ дорівнює =1. Отже, .

Знайдемо тепер формулу похідної функції .

Нехай аргумент х₀ одержав приріст , тоді:

1)

2)

3) .

Таким чином, похідна функції е^х дорівнює самій функції:

Знайдемо похідну функції , скориставшись основною логарифмічною тотожністю та правилом знаходження похідної складеної функції:

.

Отже,

Похідна показникової функції дорівнює добутку цієї функції на натуральний логарифм її основи.

Приклад 1. Знайдіть похідну функцій:

а) у = 5^х; б) у = е^3-2х; в) ; г) .

Розв’язання

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Похідна логарифмічної функції

Розглянемо функцію . За основною логарифмічною тотожністю: для всіх додатних х.

Диференціюючи обидві частини цієї рівності, одержимо: , або .

Звідси .

Отже,

Знайдемо похідну функції . Так як , то

.

Отже,

Приклад 1. Знайдіть похідну функцій:

а) ; б) ;

в) ; г) .

а) ;

б) ;

в) ;

г)

= .

Похідні тригонометричних функцій

Знайдемо похідну функції у= . Зафіксуємо х₀ і надамо аргументу приросту , тоді:

1)

2)

3)

.

Отже

Аналогічно можна довести, що

Знайдемо похідну функції .

Зафіксуємо х₀ і надамо аргументу приросту , тоді:

.

.

Отже,

Аналогічно можна довести, що