ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Основные свойства дивергенции

Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода.

Пусть ориентированная кривая L задана параметрическими уравнениями

x = j (t), y=y (t), a ? t ?b,

где j (t), y (t) - непрерывно дифференцируемые на отрезке [a, b ] функции. Тогда

.(29)

Пределы интегрирования выбираются в соответствии с ориентацией кривой L: если ориентации кривой L соответствует изменение параметра t от a доb, то в формуле (29) выбирается первый вариант пределов интегрирования. В противном случае в (29) нужно выбирать вариант пределов интегрирования в скобках.

Пусть кривая L задана явно уравнением y=h(x), a? x ?b, где h (x) - непрерывно дифференцируемая на отрезке [a, b] функция. Тогда

. (30)

Пределы интегрирования выбираются в соответствии с ориентацией кривой L,как в формуле (29).

Пусть кривая L задана явно уравнением x=h(y), a? y ?b, где h (y) - непрерывно дифференцируемая на отрезке [a, b] функция. Тогда

. (31)

Пределы интегрирования выбираются в соответствии с ориентацией кривой L,как в формуле (29).

16. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Среди силовых полей в физике особую роль играют так называемые потенциальныесиловые поля. Их отличительной особенностью является то, что работа, совершаемая таким полем, зависит лишь от начальной и конечной точек пути, и не зависит от траектории, соединяющей эти точки. Математически это соответствует тому, что криволинейный интеграл второго рода также зависит лишь от начальной и конечной точек пути, и не зависит от траектории, соединяющей эти точки. Поэтому с математической точки зрения представляет интерес выяснение тех условий, при выполнении которых криволинейный интеграл обладает этим свойством.

Плоский случай

Пусть дан криволинейный интеграл второго рода по плоской кривой

Ответ на поставленный вопрос дают следующие две теоремы.

Теорема 1. Для того чтобы не зависел от пути интегрирования необходимо и достаточно, чтобы существовала такая функция , что

Теорема 2.Если в односвязной области существуют и непрерывны и , то для того, чтобы было выполнено условие теоремы 1, необходимо и достаточно, чтобы

Пространственный случай

В случае интегралов по пространственной кривой соответствующие теоремы приобретают следующий вид.

Теорема 1. Для того чтобы не зависел от пути интегрирования необходимо и достаточно, чтобы существовала такая функция, что .

Для формулировки второй теоремы введем понятие роторавекторной функции. Пусть . Тогда ротор этой функции определяется так:

Теорема 2.Для того чтобы не зависел от пути интегрирования необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

17. Формула Грина.

Если в плоской области D, ограниченной линией L, задано векторное поле , где P и Q имеют непрерывные частные производные, то имеет место формула Грина:

Рис. 4

При этом L считается ориентированной в положительном направлении, то есть обход вдоль L осуществляется так, чтобы область D оставалась слева.

Эта формула справедлива не только для односвязных областей (как на рисунке), но и для многосвязных областей, границы которых состоят из нескольких компонент (например, кольцо). Формула Грина позволяет свести циркуляцию к двойному интегралу.

18. Тройной интеграл в декартовых координатах.

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.
Рассмотрим случай, когда область интегрирования U является элементарной относительно оси Oz, т.е. любая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области U не более, чем в двух точках. Пусть областьU ограничена снизу поверхностью z=z1(x,y), а сверху − поверхностью z=z2(x,y) (рисунок 1). Проекцией тела U на плоскость Oxy является область D (рисунок 2). Будем предполагать, что функции z1(x,y) и z2(x,y) непрерывны в области D.


Рис.1		Рис.2

Тогда для любой непрерывной в области U функции f(x,y,z) можно записать соотношение

∭Uf(x,y,z)dV=∬D⎡⎣⎢⎢∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz⎤⎦⎥⎥dA.

Таким образом, вычисление тройного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла, в котором подынтегральной функцией является однократный интеграл. В рассмотренном случае сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной z, а затем − двойной интеграл в области D по переменным x и y.
Если область D(x,y) является областью типа I , т.е. ограничена линиями

x=a,x=b,y=f1(x),y=f2(x),

где f1(x), f2(x) − непрерывные функции в интервале [a,b] и f1(x)≤f2(x), то, записывая двойной интеграл в виде повторного, получаем

∭Uf(x,y,z)dV=∫abdx∫f1(x)f2(x)dy∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz.(1)

В другом случае, когда область D(x,y) относится к типу II (является элементарной относительно оси Ox) и ограничена линиями

y=c,y=d,x=φ1(y),x=φ2(y),

где φ1(y), φ2(y), − непрерывные на отрезке [c,d] функции, причем φ1(y)≤φ2(y), тройной интеграл представляется в виде

∭Uf(x,y,z)dV=∫cddy∫φ1(y)φ2(y)dx∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz.(2)

Формулы (1) и (2) называются формулами сведения тройного интеграла к повторному.
В частном случае, когда область интегрирования U представляет собой прямоугольный параллелепипед [a,b]×[c,d]×[p,q], тройной интеграл вычисляется по формуле

∭Uf(x,y,z)dxdydz=∫abdx∫cddy∫pqf(x,y,z)dz.

Если исходная область интегрирования U, более сложная, чем рассмотренная выше, то ее нужно разбить на конечное число более простых областей, в которых уже можно вычислить тройные интегралы методом сведения к повторным.

19. Тройной интеграл в цилиндрических координатах.

Рассмотрим цилиндрическую систему координат: Оrφz, которая совмещена с декартовой системой координат Оxyz(рис. 2.19)

При этом

Вычислим Якобиан перехода от декартовой системы к цилиндрической:

Следовательно,

Тогда тройной интеграл примет вид:

20. Тройной интеграл в сферических координатах.

Сферическими координатами точки M(x,y,z) называются три числа − ρ, φ, θ , где

ρ − длина радиуса-вектора точки M;
φ − угол, образованный проекцией радиуса-вектора на плоскость Oxy и осью Ox;
θ − угол отклонения радиуса-вектора от положительного направления оси Oz (рисунок 1).


Рис.1

Обратите внимание, что определения ρ, φ в сферических и цилиндрических координатах отличаются друг от друга.
Сферические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами соотношениями

Якобиан перехода от декартовых координат к сферическим имеет вид:

Раскладывая определитель по второму столбцу, получаем

Соответственно, абсолютное значение якобиана равно

Следовательно, формула замены переменных при преобразовании декартовых координат в сферические имеет вид:

Тройной интеграл удобнее вычислять в сферических координатах, когда область интегрирования U представляет собой шар (или некоторую его часть) и/или когда подынтегральное выражение имеет вид f (x² + y² + z²).
Иногда выгодно использовать т.н. обощенные сферические координаты, связанные с декартовыми формулами

В этом случае якобиан равен

21. Поверхностный интеграл 1-ого и 2-ого типа.

Если f(x, y, z) — функция, определенная и непрерывная в точках поверхности Σ, то поверхностным интегралом I роданазывается выражение , определяемое равенством:

Значение интеграла I рода не зависит от выбора стороны поверхности.

Поверхностный интеграл II рода.

Пусть Σ+ — сторона поверхности Σ, задаваемая направлением нормали n={cosα; cosβ; cosγ};P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)— функции, определенные и непрерывные на поверхности Σ. Поверхностным интегралом II рода называют выражение , определяемое равенством

Для поверхности, заданной параметрически,

где , а знак выбирается в зависимости от направления нормали. При переходе к другой стороне Σ– поверхности Σ интеграл II рода меняет знак на противоположный.

22. Формула Стокса в координатной форме.

Связь между поверхностными и криволинейными интегралами II рода выражает следующая теорема.

Теорема.Если функции непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в точках ориентированной поверхности , то имеет место формула

, (1)

где – граница поверхности и интегрирование вдоль кривой производится в положительном направлении (при обходе границы поверхность должна оставаться всегда слева). Примем без доказательства.

Формула (1) называется формулой Стокса.

Из формулы Стокса вытекает, что если выполняются условия

, , ,

то криволинейный интеграл по произвольному замкнутому пространственному контуру равен нулю:

Формулу Стокса можно применять для вычисления криволинейного интеграла по замкнутому контуру с помощью поверхностного интеграла.

23. Формула Остроградского-Гаусса в координатной форме.

Связь между поверхностным интегралом II рода по замкнутой поверхности и тройным интегралом по объему, ограниченному этой поверхностью, выражает следующая теорема.

Теорема.Если функции непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в пространственной области , то имеет место формула

, (1)

где – граница области и интегрирование по производится по ее внешней стороне.

Формула (1) является аналогом формулы Остроградского-Грина и называетсяформулой Остроградского-Гаусса.

Доказательство. Пусть область

ограничена снизу поверхностью

, уравнение которой

; сверху – поверхностью

, уравнение которой

; сбоку – цилиндрической поверхностью

, образующие которой параллельны оси

(см. рис. 10). Функции

непрерывны в замкнутой области

– проекции области

на

плоскость , .

Рассмотрим тройной интеграл

Двойные интегралы в правой части полученного равенства, используя формулу , заменим поверхностными интегралами II рода по внешней стороне поверхностей и соответственно.

Тогда,

По свойству 5 , интеграл по внешней стороне равен нулю. Добавим его к правой части последнего равенства, получим:

или

, (2)

где – поверхность, ограничивающая область .

Аналогично доказываются формулы

, (3)

. (4)

Складывая почленно равенства (2), (3) и (4), получим формулу (1)Остроградского-Гаусса.

24. Скалярное и векторное поле.

Скалярным полем называется часть пространства, каждой точке которого поставлена в соответствие определённое число – скаляр.

Примеры скалярных полей: 1) поле температур внутри неоднородно нагретого тела; 2) поле давлений воздуха в атмосфере; 3) поле плотности вещества в теле; 4)поле плотности распределения электрического заряда и т.д.

Скалярное поле считается заданным, если в каждой точке Mнекоторой области W определена скалярная функция U(M). В связи с этим, понятие скалярного поля и функции, определенной в области W, эквивалентны. Если скалярное поле отнесено к декартовой системе координат, то скалярную функцию U(M) можно записать, например, в виде функции двух U(x,y) или трёх U(x,y,z) переменных.

Простейшей геометрической характеристикой скалярного поля U(M) являются поверхности уровня.

Поверхности уровня – это геометрическое место точек, в которых скалярная функция принимает постоянные значения, т.е. U(x,y,z)=C,где С – произвольная постоянная.

В случае двумерного поля понятие поверхности уровня заменяется понятием линии уровня: U(x,y)=C.

Примеры линий уровня: 1) на топографических картах линии, соединяющие точки, имеющих одну и туже высоту над уровнем моря; 2) в термодинамике на диаграммах состояния линии, соединяющие точки, имеющих одну и туже температуру (изотермы), давление (изобары) или объём (изохоры); 3) в электростатике линии, соединяющие точки, имеющие одинаковый потенциал (эквипотенциальные линии).

25. Векторная функция скалярного аргумента.

Если каждому значению параметра t из некоторого промежутка ставится в соответствие по некоторому правилу fопределенный вектор, то говорят, что задана вектор-функция скалярного аргумента t:

. (4)

Откладывая вектор при от начала координат, получаем траекторию движения конца вектора, называемую годографом.

Проекции вектора на оси координат являются функциями аргумента t, поэтому можно записать:

Производная от вектора по аргументу t определяется по формуле:

а вторая производная соответственно:

Если параметр t – это время, то векторное уравнение (4) называют уравнением движения. Тогда вектор-производная называется скоростью движения:

, (5)

Скорость движения – это вектор, направленный по касательной к траектории движения (годографу) в соответствующей точке в сторону возрастания параметраt.

Вектор

. (6)

называется ускорением движения.

26. Дивергенция векторного поля.

Дивиргенция (или расходимость) векторного поля в точке — это предел отношения потока вектора через замкнутую поверхность , окружающую точку , в направлении ее внешней нормали к объему, ограниченному этой поверхностью, при условии, что вся поверхность стягивается в точку :

(1)

Þ — дивергенция является производной потока через замкнутую ориентированную поверхность по объёму, ограниченному этой поверхностью.

Основные свойства дивергенции

1. — это дифференциальнаяхарактеристика поля, является скалярной величиной.

2. В каждой точке поля показывает наличие источников или стоков поля:

§ если , то в точке есть источник поля , при этом значение численно равно мощности источника;

§ если , то в точке есть сток поля , при этом значение численно равно мощности стока;

§ если , то в точке нет ни источника, ни стока поля .

3. вычисляется по формуле:

(2)

Воспользуемся формулой Остроградского—Гаусса, связывающей интеграл по замкнутой поверхности с интегралом по объёму, ограниченному этой поверхностью:

Применяемтеорему о среднем к тройному интегралу:

где М₁ — это некоторая фиксированная точка в объёме, ограниченном замкнутой поверхностью (σ),

—величина этого объёма.

Теперь используем определение (1) дивергенции:

так как при точка M₁стремится к точке M. v

4. Если использовать понятие дивергенции, то теорема Остроградского-Гаусса в векторной форме:

(3)

то есть поток вектора изнутри замкнутой поверхности равен тройному интегралу от дивергенции вектора по объему, ограниченному этой поверхностью.

Так как можно рассматривать как плотность распределения источников и стоков векторного поля , то тройной интеграл равен суммарной мощности источников и стоков по объему .

Учитывая это, смысл теоремы Остроградского-Гаусса в форме (3) можно сформулировать следующим образом:

поток векторного поля изнутри замкнутой поверхности равен суммарной мощности источников и стоков этого поля, заключенных в объеме , ограниченном этой поверхностью .

Следовательно, если поток равен 0, то внутри поверхности нет источников и стоков поля или они уравновешивают друг друга.

5. Линейность дивергенции:

Это следует из линейности операций сложения векторов и дифференцирования.

6. Дивергенция прозведения скалярного поля на векторное поле вычисляется по формуле:

w Þ

27. Поток векторного поля.

Пусть имеем векторное поле

координаты которого P,Q,R – непрерывны в некоторой области G трёхмерного пространства. Пусть в G задана гладкая или кусочно-гладкая ориентируемая поверхность S.

Определение. Потоком П векторного поля через ориентируемую поверхность S называется

где единичный вектор нормали к выбранной стороне поверхности S;

– элемент площади поверхности S.

В случае замкнутой поверхности будем всегда выбирать внешнюю нормаль , которая направлена наружу области, ограниченной поверхностью S.

Если углы, которые образует с осями координат OX, OY, OZ нормаль к поверхности S, то

где , ,

28. Вихрь векторного поля.

Ротором или вихрем векторного поля называется вектор с проекциями

(4)

Основные свойства ротора

1. — это векторная величина, которая является дифференциальной (т.е. точечной) характеристикой векторного поля .

— свойство линейности.
Ротор произведения скалярной и векторной ункции вычисляется по формуле: .

Физический смысл ротора

Некоторое физическое истолкование понятия ротора можно получить, если рассматривать векторное поле линейных скоростей твердого тела (материальной точки M), вращающегося вокруг оси с постоянной угловой скоростью .

Из физики известно, что , где - это угловая скорость вращения, - это радиус вектор точки М.

Поэтому

то есть поле линейных скоростей тела, вращающегося вокруг неподвижной оси есть плоское векторное поле.

Вычислим его ротор равен:

то есть ;

Следовательно, ротор этого поля направлен параллельно оси вращения, его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения. Таким образом, характеризует вращательную способность поля , наличие у этого поля “закрученных” векторных линий или “вихрей”.

В технической литературе ротор векторного поля часто называют вихрем этого поля.

29. Циркуляция векторного поля.

Циркуляцией Ц векторного поля а=а(М) называется линейный интеграл, взятый вдоль замкнутой ориентированной кривой L.

Таким образом, по определению

где символ означает интеграл по замкнутой кривой L.

Если векторное поле а=а(М) задано в координатой форме a=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k то циркуляция векторного поля будет равна

За положительное направление обхода замкнутой кривой L будем считать направление, при котором область, ограниченная этой кривой, будет оставаться слева.

30. Формула Стокса в векторной форме.

Теорема. Пусть - гладкая ориентированная двусторонняя поверхность (т.е. направление нормали выбрано) и - кусочно гладкая кривая, ограничивающая , причем мы считаем направление обхода положительным. Пусть функции - непрерывно дифференцируемые. Тогда .

Замечание 1. Равносильная формулировка: .

Замечание 2. В случае плоской кривой , лежащей на плоскости и функций эта формула совпадает с формулой Грина.

Замечание 3. Формулы в правой части запомнить непросто. Поэтому удобно записать подынтегральное выражение в виде определителя .

Разумеется, это не совсем обычный определитель. Ведь во второй строке его стоят операторы дифференцирования. Поэтому условимся считать, что мы понимаем под этим определителем его формальное разложение по первой строке, причем произведение, например, оператора на функцию есть и т.п.

Доказательство теоремы. Вычислим, например, . Пусть, для простоты, - уравнение . Тогда рассмотрим параметризацию проекции кривой на плоскость : (разумеется, - непрерывно дифференцируемые функции).

Тогда . К плоской кривой применим формулу Грина: , где - ограничиваемая кривой область плоскости . Вычислим . Итак, . Далее, , , и, значит, . Поэтому .

Аналогично, , и .

Формула Стокса доказана.

Векторная запись формулы Стокса. Вспомним, что , где - направляющие косинусы к выбранной стороне.

При этом правая часть формулы Стокса принимает вид или . Итак, в сделанных выше предположениях теорема Стокса выглядит так: .

31. Формула Остроградского-Гаусса в векторной форме.

Пусть Σ — кусочно-гладкая поверхность, ограничивающая объем V, и P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) — функции, непрерывные вместе со своими частными производными на области V. Тогда имеет место формула

где cos α, cos β, cos γ — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности.

Если функции P, Q, R рассматривать как компоненты вектор-функции F, то формула Остроградского—Гаусса может быть записана в векторной форме:

где n = (cos α, cos β, cos γ).

32. Соленоидальное и потенциальное поле.

Векторное поле Fназываетсяпотенциальным, если оно является градиентом некоторого скалярного поля U, т.е. F = gradU .

В случае если поле Fпотенциально, выполняются равенства

, , ,

что равносильно тому, что выражение является полным дифференциалом некоторой функции . Эта функция называется потенциалом векторного поля F.

Теорема. Пусть область поверхностно односвязна и функции – непрерывно дифференцируемы в . Тогда векторное поле Fпотенциально тогда и только тогда, когда выполняются равенства:

, , .

Приведенная теорема утверждает, что векторное поле F потенциально тогда и только тогда, когда rot F = 0, т.е. поле является безвихревым. Условие rot F = 0 является также необходимым и достаточным условием того, что криволинейный интеграл

не зависит от формы кривой, соединяющей точки А и В в области , а также того, что циркуляция поля F по любому замкнутому контуру равна нулю, т.е.

Если поле F потенциально, то его потенциал U можно найти непосредственным интегрированием по некоторому пути :

При этом, в силу независимости этого интеграла от формы пути, путь выбирают в виде ломаной , вдоль каждого из звеньев которой изменяется лишь одна координата, а остальные остаются постоянными. В этом случае два из трех дифференциалов в криволинейном интеграле обращаются в ноль, и потенциал вычисляется в виде суммы:

где каждый из интегралов – есть обычный определенный интеграл по соответствующей переменной, а остальные переменные играют роль констант.

Если потенциал векторного поля F известен, то

Векторное поле F называется соленоидальным, если оно является ротором некоторого векторного поля А, т.е.F rot A A. Поле А называется векторным потенциалом поля F.

Теорема. Пусть область пространственно односвязна и координаты векторного поля непрерывно дифференцируемы в . Тогда векторное поле Fсоленоидально в том и только в том случае, когда

div F

в каждой точке области .

Если векторное поле соленоидально, то его поток через любую замкнутую поверхность равен нулю.