ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Приложения тройного интеграла

Физические приложения тройных интегралов

Масса и статические моменты тела

Пусть тело занимает объем U и его объемная плотность в точке M(x,y,z) задана функцией ρ(x,y,z). Тогда масса тела m вычисляется с помощью тройного интеграла:

Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz выражаются формулами

Координаты центра тяжести тела вычисляются по формулам:

Если тело является однородным с плотностью ρ(x,y,z) = 1 для точек M(x,y,z) в области U, то центр тяжести тела зависит только от геометрии тела и называется центроидом.

Моменты инерции тела

Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz определяются выражениями

а моменты инерции тела относительно координатных осей Ox, Oy, Oz вычисляются по формулам

Как видно, справедливы соотношения

Моментом инерции тела относительно начала координат называется интеграл

Момент инерции относительно начала координат можно выразить через моменты инерции относительно координатных плоскостей:

Тензор инерции

Используя рассмотренные выше 6 чисел I_x, I_y, I_z, I_xy, I_xz, I_yz, можно составить так называемую матрицу инерции или тензор инерции тела:

Данный тензор является симметричным, и, следовательно, его можно привести к диагональному виду при определенном выборе осей Ox', Oy', Oz'. Значения диагональных элементов (после приведения тензора к диагональному виду) называются главными моментами инерции, а указанные направления − собственными векторами или главными осями инерции.

Если тело вращается вокруг оси, не совпадающей с главной осью инерции, то оно будет испытывать вибрации при высоких скоростях вращения. Поэтому, при конструировании таких устройств необходимо, чтобы ось вращения совпадала с одной из главных осей инерции. Например, при замене шин автомобиля проводится их балансировка: небольшие грузики добавляются к колесам, чтобы обеспечить совпадение оси вращения с главной осью инерции и исключить вибрации.

Гравитационный потенциал и сила тяготения

Ньютоновым потенциалом тела в точке P(x,y,z) называется интеграл

где ρ(ξ,η,ζ) − плотность тела, и .

Интегрирование выполняется по всему объему тела. Зная потенциал, можно вычислить силу притяжения материальной точки массы m и заданного распределенного тела с плотностью ρ(ξ,η,ζ) по формуле

где G − гравитационная постоянная.

ПРИМЕРЫ

Пример 1.Найти центроид однородного полушара радиусом R.

Решение.

Рис.1

Вычислим координату центра тяжести по формуле

Поскольку полушар однородный, то полагаем ρ(x,y,z) = ρ₀. Тогда

В знаменателе через V обозначен объем полушара, равный

Остается вычислить тройной интеграл . Для этого перейдем к сферическим координатам. При этом радиальную координату будем обозначать через r − чтобы не путать с плотностью ρ. Получаем:

Таким образом, координата центра тяжести равна

Пример 2.Определить массу и координаты центра тяжести единичного куба

с плотностью ρ(x,y,z) = x + 2y + 3z
(рисунок 2).

Рис.2
Решение.

Сначала вычислим массу куба:

Теперь вычислим статические моменты M_xy, M_xz, M_yz.

Аналогично находим моменты M_xz и M_yz:

Вычисляем координаты центра тяжести куба:

Пример 3.Найти массу шара радиуса R, плотность γ которого пропорциональна квадрату расстояния от центра.

Решение.

По условию, плотность γ задана соотношением γ = ar², где a − некоторая постоянная, r − расстояние от центра. Массу шара удобно вычислить в сферических координатах: