ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

РЕШЕНИЕ ЛОСУ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ЗАНЯТИЕ 9

Пример 1.Решить систему дифференциальных уравнений

(1)

Найти частные решения, удовлетворяющие начальным условиям: а) ; б) .

□ Найдем общее решение данной однородной системы, используя алгоритм 8.3.

1. Матрица коэффициентов системы Система имеет вид:

(2)

Характеристическое уравнение:

2. Решаем квадратное уравнение: Каждый корень − действительное число и имеет кратность, равную единице. Это первый случай корней характеристического уравнения.

3. По очереди подставляем найденные собственные числа матрицы A в систему (2) и находим собственные векторы.

Первому числу соответствует система

или

Эта система имеет бесконечное число решений, так как в уравнениях коэффициенты при одинаковых неизвестных пропорциональны. Чтобы построить нетривиальное решение, воспользуемся первым уравнением системы, которое перепишем в виде Если принять то из уравнения следует, что Вектор − это собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному числу . Частное решение имеет вид: или

Второму числу соответствует система

или

По аналогии с первым случаем полагаем и получаем Значит, собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному числу , равен . Второе частное решение или

4. Фундаментальная система решений линейной однородной системы состоит из двух вектор-функций , приведенных выше. Составим общее решение:

или

Ответ можно записать и в скалярной форме:

(3)

где − произвольные постоянные.

Завершим выполнение задания решением двух задач Коши, т.е. нахождением таких частных решений, которые удовлетворяют заданным начальным условиям.

а) Начальные условия: . При подстановке в ответ получаем систему уравнений относительно произвольных постоянных :

В формулах (3) заменим числами 2 и −1 соответственно и запишем решение задачи Коши:

б) Начальные условия: . Аналогично случаю а) составляем и решаем систему уравнений относительно произвольных постоянных :

Подставим эти числа в (3). Решение задачи Коши имеет вид: Получено решение, называемое тривиальным. Результат закономерный, так как однородная система с постоянными коэффициентами удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши, Поскольку тривиальное решение удовлетворяет системе и заданным начальным условиям, то согласно теореме (8.6) оно единственное. ■

Пример 2.Решить систему дифференциальных уравнений

□ Используем алгоритм 3.

1. Матрица Система (8.42) имеет вид:

(4)

Характеристическое уравнение:

2. Решаем квадратное уравнение и находим корни: Корни образуют пару комплексно-сопряженных чисел, кратности корней − единица. Это соответствует второму случаю корней характеристического уравнения.

3. Найдем собственный вектор, соответствующий собственному числу . Для этого подставим в систему (4):

или

Воспользуемся первым уравнением системы, которое перепишем в виде Если принять то из уравнения следует, что Заметим, что найденная пара чисел удовлетворяет и второму уравнению системы. Вектор − это собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному числу .

Комплекснозначное частное решение системы имеет вид: или Преобразуем полученное выражение: По формуле

Эйлера . Тогда

По формулам (8.46)

4. Вектор-функции образуют фундаментальную систему решений. Тогда

где − произвольные постоянные. Запишем ответ в скалярной форме:

■

Пример 3.Решить систему дифференциальных уравнений

□ Используем алгоритм 3.

1. Матрица Система (8.42) имеет вид:

(5)

Характеристическое уравнение:

2. Решаем квадратное уравнение и находим корни: Отсюда следует, что число является корнем кратности Это 3-й случай для корней характеристического уравнения. Ищем собственный вектор H из системы (5), в которую подставим

Как видим, число свободных переменных равно единице. Значит, число линейно независимых собственных векторов также равно единице. Так как то алгоритм 3 не подходит (не позволяет построить ФСР).

Решим пример сведением системы к дифференциальному уравнению. Из первого уравнения системы выразим

Исключим из второго уравнения системы: Упростим уравнение: Получено линейное однородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Используем алгоритм 1.

1. Составим характеристическое уравнение: .

2. Характеристические уравнения для исходной системы и полученного дифференциального уравнения совпали. Поэтому сразу запишем корень и его кратность

3. Этому корню соответствует два частных, линейно независимых между собой решения уравнения:

4. Найденные решения образуют фундаментальную систему решений Следовательно, общее решение имеет вид: , или .

Вернемся к системе. Вторую функцию , входящую в систему, найдем из

соотношения , в которое подставим полученную функцию

Обратим внимание на тот факт, что при отыскании применены только арифметические операции и операция дифференцирования. Ответ запишем в двух формах − скалярной и векторно-матричной:

■