ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ

ЗАНЯТИЕ 10

Схема исследования сходимости рядов с неотрицательными элементами

Схема содержит все изложенные выше признаки сходимости и расходимости знакоположительных рядов. Направления перемещения по схеме указаны стрелками.

Признаки разбиты на три группы (уровня). В первую группу включены предельные признаки Даламбера и Коши, во вторую − необходимый признак сходимости, в третью − признаки сравнения, интегральный признак Коши и другие признаки. Под термином «другие признаки» подразумеваются признаки, не рассматриваемые в данной работе, в частности, признаки Даламбера и Коши в непредельной форме, признаки Раабе, Гаусса, являющиеся более глубокими, но и более сложными средствами исследования рядов.

При применении схемы желательно учитывать следующие рекомендации.

Если общий элемент знакоположительного ряда содержит факториал или произведение переменного числа сомножителей (например, ), то целесообразно применять предельный признак Даламбера.

Если общий элемент является показательно-степенным выражением вида , то следует применять предельный признак Коши.

При применении предельных признаков нужно использовать все средства вычисления пределов: правила предельных переходов, замечательные пределы, таблицу эквивалентных функций, правила Лопиталя (см. разделы 2 и 3).

Значения , найденные по предельным признакам Даламбера и Коши, равны, если соответствующие пределы существуют. Если по предельному признаку Даламбера нельзя найти значение , то следует попытаться найти по предельному признаку Коши. Можно доказать, что предельный признак Коши является более тонким инструментом исследования знакоположительных рядов на сходимость. Иллюстрацией этого утверждения является пример 7.15.

При использовании предельных признаков Даламбера и Коши необходимые вычисления можно выполнять по шагам в соответствии с алгоритмами, приведенными ниже.

Алгоритм применения предельного признака Даламбера

Написать общий элемент ряда

Написать

Составить частное и упростить.

Найти

Сделать вывод о сходимости или расходимости ряда при , или о необходимости продолжения исследования (если не существует или ).

Алгоритм применения предельного признака КОШИ

Написать общий элемент ряда

Составить выражение и упростить.

Найти

З а м е ч а н и е. При использовании предельного признака Коши полезно знать, что

(1)

Этот предел связан с раскрытием неопределенности вида . В литературе [ ] его относят к числу замечательных пределов.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

□ Первый элемент ряда равен нулю, остальные − положительные числа. Применим предельный признак Даламбера. Выполним вычисления по шагам в соответствии с алгоритмом.

5. Сравниваем найденное предельное значение с числом 1: . Приходим к заключению, что ряд сходится. ■

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

□ Выбираем признак Даламбера, так как общий элемент ряда содержит факториал Вычисления выполняем по алгоритму.

2. Здесь использовано свойство факториала:

5. Ряд сходится. ■

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

□ Применим признак Даламбера.

4. не существует, так как частичные подпоследовательности последовательности с четными и нечетными индексами состоят из чисел и 1 и имеют разные пределы, равные и 1 соответственно.

5. Вывод: признак Даламбера не дает ответа. Нужно продолжить исследование.

Применим предельный признак Коши, пользуясь алгоритмом.

3. Поскольку элементы последовательности принимают только два значения: 1 − при нечетных значениях индекса и 3 − при четных, то пределы соответствующих подпоследовательностей равны Как видим, они имеют общий предел, равный единице. Значит, Тогда

4. Исходный ряд сходится. ■

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд

□ Общий элемент ряда является показательно-степенной функцией, поэтому применим предельный признак Коши.

4. Ряд расходится. ■

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд

□ Общий элемент заданного ряда снова является показательно-степенной функцией, поэтому применим предельный признак Коши.

4. Признак Коши ответа не дает. Требуется дополнительное исследование.

В соответствии со схемой исследования опустимся в ней на уровень ниже и проверим, выполнен ли необходимый признак сходимости. Для этого найдем предел общего элемента ряда:

Общий элемент не стремится к нулю, следовательно, ряд расходится.■