ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение

Как определить диапазон голоса - ваш вокал

Игровые автоматы с быстрым выводом

Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими

Целительная привычка

Как самому избавиться от обидчивости

Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам

Тренинг уверенности в себе

Вкуснейший "Салат из свеклы с чесноком"

Натюрморт и его изобразительные возможности

Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д.

Как научиться брать на себя ответственность

Зачем нужны границы в отношениях с детьми?

Световозвращающие элементы на детской одежде

Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия

Как слышать голос Бога

Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ)

Глава 3. Завет мужчины с женщиной

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

ФСР однородного ЛДУ с постоянными коэффициентами в случае, когда характеристическое ур-ие имеет кратные корни

Метод вариации произвольных постоянных для неоднородного ЛДУ порядка n

Пусть дано ур-ие:

и пусть , C1-Cn-произв. постоянные – общее решение соответсвующего однородного ур-ия L[y]=0

Ищем

Где непрерывно дифф-мы на I, подлежащее определению

=1…n L[ ;

Наложим на дополнительные ограничения:

Положим

Тогда

Тогда

Вычислим:

Для определения получим систему из n уравнений:

Главный определитель системы: W(x)=W[ - определитель Вронского

Т.к. - линейно независимые решения ур-ия (9), то по теореме 3: для . Следовательно система (13) имеет единственное решение на промежутке I, которое находится по теореме Крамера:

, где получаем из W(x) заменой i-го столбца на столбец

ФСР однородного ЛДУ с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического ур-ия(действительных или комплексных)

Все решения ур-ия (13) определены на

L(V)- множ-во всех линейных операторов действующих в V(линейное пр-во).

Опред.: Для A+B ;

(

Поставим в соответствие ур-ию (13) и оператору L многочлен от переменной t вида: (15)

Ясно что L(D)=l(D) (14)

Опред.:Многочлен называется характеристическим многочленом однородного ЛДУ (13) и оператора (14)

Теорема:Функция , где является решением ур-ия (13) т. и т.т. когда - есть корень характеристического многочлена (15)

Док-во:

Т.е.

Теорема(ФСР ЛДУ):Пусть корни характеристического ур-ия (15) попарно различны, тогда функции образуют ФСР ур-ия (13) и общее решение имеет вид:

, где - произвольные комплексные постонные.

Док-во:Т.к. – корни ур-ия (15) то по теореме 6, экспоненты - являются решениями ур-ия (13). Т.к. , то функции … - линейно независимы. Их n и опр. линейно независимы след-но образуют ФСР.

а)Действительный случай:

(17)

– многочлен с действительными коэффициентами – корни этого многочлена

1)

2) ,

Re Im(

Если f(x)=u(x)+iv(x) – решение (17), то u(x),v(x) - решение (17)

|à решения ур-ия (17) линейно

| àнезависимы

б)Общий случай:Пусть - ращличные действительные корни характеристического ур-ия, - различные корни характеристич. ур-ия

n=k+2m, ФСР имеет вид:

Общее решение:

, – действительные произвольные корни

ФСР однородного ЛДУ с постоянными коэффициентами в случае, когда характеристическое ур-ие имеет кратные корни

(15)

Опред.:Говорят что число является корнем многочлена кратности k,если где многочлен степени(n-k), .

Пусть – корень кратности k:

;

Рассмотрим

Теорема8:Пусть является корнем кратности k характеристического многочлена тогда функции , являются решением ур-ия (13).

Док-во: Т.к. – корень кратности k

Т.е. для Функция - решение ур-ия (13)

Лемма5:Для различных чисел

Система функций:

линейно независима на

Теорема9:Пусть различные – корни характеристического многочлена кратности – соответственно. Тогда общее решение ур-ия (13) имеет вид:

, где – многочлен степени с произвольными комплексными коэффициентами

j=1…s;

Док-во: Т.к. - корень характеристического многочлена

решения ур-ия (13)

Согласно Лемме 5 эти функции линейно независимы на их Следовательно построенная система – ФСР ур-ия (13) и

где –произвольная постоянная.

А)Действительный случай:

1)Пусть (

– действительные решения

2)

;

Комплексные функции теорема 8:

– решение ур-ия (17)

По теореме: Re

Im – решения ур-ия (17)

Общий случай: Пусть действительные корни для ур-ия (17) кратности соответсвенно, – комплексные корни ур-ия (15) кратности соответственно

Тогда общее решение ур-ия (17) имеет вид:

где -многочлен степени –многочлены степени с произвольными действительными коэффициентами.