 ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение Как определить диапазон голоса - ваш вокал Игровые автоматы с быстрым выводом Как самому избавиться от обидчивости Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам Вкуснейший "Салат из свеклы с чесноком" Натюрморт и его изобразительные возможности Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д. Как научиться брать на себя ответственность Зачем нужны границы в отношениях с детьми? Световозвращающие элементы на детской одежде Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ) Глава 3. Завет мужчины с женщиной
Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.
| Линейно-зависимая и линейно-независимая система векторов. Базис. Разложение вектора по базису.
Линейные операции над векторами Геометрические задачи 1. Задайте произвольно векторы а) 2. Сторона 3. В параллелограмме 4. На стороне 5. В параллелограмме 6. В правильном пятиугольнике 7. В параллелепипеде 8. Доказать, что если медианы треугольника ABCпересекаются в точке М, то: а) 9. Пусть биссектриса угла А треугольника ABC пересекает противоположную сторону в точке L.Выразить вектор, однонаправленный с вектором Аналитические задачи 1. Векторы 2. Точка 3. Векторы 4. Докажите, что для любых векторов 5. Какому условию должны удовлетворять векторы 6. а) 7. На плоскости даны треугольник 8. Докажите, что не может быть двух разных точек 9. Докажите, что отрезки, соединяющий середины противоположных ребер тетраэдра, пересекаются, причем точка пересечения делит каждый из этих Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основанию. 10. Доказать, что
Алгебраические задачи: 1. При каких значениях а) 2. На плоскости даны четыре точки 3. Даны три точки: 4. Покажите, что четыре точки 5. Даны 6. Векторы 7. Векторы 8. Три силы 9. Два вектора 10. Может ли некоторый ненулевой вектор образовывать с векторами 11. Найти значения параметра при которых вектор 12. Найти значения параметра
Линейно-зависимая и линейно-независимая система векторов. Базис. Разложение вектора по базису. Геометрические задачи 1. Дана пирамида с вершинами 2. В правильном шестиугольнике 3. Три силы 4. Разложить вектор скорости ветра (10 5. В ромбе 6. В тетраэдре 7. Выяснить могут ли векторы 8. Пусть биссектриса угла 9. Доказать, что равновесие точки невозможно под действием двух неколлинеарных сил. [4, с. 43] 10. Доказать, что равновесие точки невозможно под действием трех некомпланарных сил. [4, с. 43] 11. Докажите, что любые четыре геометрических вектора линейно зависимы. [5, с. 36] 12. В правильном шестиугольнике 13. Проверить линейную зависимость диагоналей граней куба 14. Точки 15. При выполнении какого условия равнодействующая двух сил, приложенных к одной точке, будет направлена по биссектрисе угла между ними? Ответ обосновать. [1, с. 76] 16. Дан четырехугольник 17. дан параллелограмм 18. Проверить линейную зависимость диагоналей граней куба 19. В правильном шестиугольнике Алгебраические задачи 1. Проверить, что векторы 2. Пусть векторы 3. Пусть векторы 4. Доказать, что система векторов 5. Даны векторы 6. Выяснить образуют ли базис в 7. Найти все значения параметра 8. Доказать, что векторы 9. Доказать, что векторы 10. Выяснить, образуют ли базис в 11. Найти все значения параметра при которых векторы 12. На плоскости даны три вектора Аналитические задачи 1. Показать, что если сумма 2. Показать, что система двух векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда вектора коллинеарны. [3, с. 75] 3. Доказать, что система трёх матриц 4. Известно, что векторы 5. Показать, что система любых четырёх векторов в пространстве линейно зависима. [4, с. 31] 6. Показать, что система трёх векторов линейно независима тогда и только тогда, когда векторы отличны от нуля и не существует параллельной им плоскости. [3, с. 75] 7. Показать, что система любых трёх компланарных векторов, лежащих в одной плоскости, всегда линейно зависима. [3, с. 75] 8. Показать, что если система векторов 9. Показать, что если система трёх векторов 10. Показать, что система трёх векторов
11. Доказать, что система трёх векторов линейно зависима, если среди этих векторов есть нуль-вектор. [4, с. 42] 12. Доказать, что если 13. Зная векторы 14. Доказать, что равновесие точки невозможно под действием: а) двух неколлинеарных сил; б) трех некомпланарных сил. Скалярное произведение Геометрические задачи 1. В треугольнике 2. В треугольнике 3. 4. Диагональ параллелепипеда соединяет вершины 5. Чему равен косинус угла между диагональю куба и его ребром? [4, с. 45] 6. Вычислить тупой угол, образованный медианами, проведенными из вершин равнобедренного треугольника. Алгебраические задачи 1. Найти длину вектора 2. Найти угол между векторами 3. Найти значения параметра 4. Найти значения параметра 5. Найти работу силы 6. Вычислить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах 7. Даны векторы 8. Даны вершины треугольника 9. Вычислить работу, которую производит сила 10. Найти вектор 11. Найдите угол между биссектрисами координатных углов 12. Дано, что 13. Вычислив внутренние углы треугольника с вершинами Аналитические задачи 1. Проверить справедливость равенства 2. Проверить справедливость равенства 3. Доказать, что уравнение 4. Доказать, что 5. Даны единичные векторы 6. Какой угол составляют между собой векторы 7. Вычислить тупой угол, образованный медианами, проведенными из вершин равнобедренного прямоугольного треугольника. [2, с. 98] 8. Докажите, что треугольник с вершинами 9. Докажите, что треугольник с вершинами 10. Докажите, что вектор 11. Какому условию должны удовлетворять векторы Векторное произведение Алгебраические задачи 1. Найти площадь треугольника, построенного на векторах 2. Сила 3. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах 4. Найти единичный вектор 5. Найти единичный вектор 6. Векторы 7. Векторы 8. Даны векторы Аналитические задачи 1. Найти все векторы, ортогональные векторам 2. Найти угол между ненулевыми векторами 3. Векторы 4. Доказать компланарность векторов 5. Показать, что если векторы 6. Доказать тождество 7. Векторы 8. Векторы Смешанное произведение Алгебраические задачи 1. Найти объём треугольной пирамиды, построенной на векторах 2. При каких значениях 3. Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках 4. Вектор 5. Вычислить высоту параллелепипеда, построенного на векторах 6. Объем тетраэдра равен Аналитические задачи 1. Доказать компланарность векторов 2. Определить какой является тройка ортов 3. Вычислить произведение 4. Вычислить произведение 5. Вывести условие принадлежности четырех точек |
на плоскости и постройте:
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
; е) 
.
треугольника 
разделена точками 
и 
на три равные части. Обозначив 
и 
, выразите через 
и 
векторы 
и 
.
имеем 
и 
. Выразите через 
и 
где 
треугольника 
так, что прямая 
-биссектриса угла при вершине 
. Выразите через 
и 
следующие векторы: 
соединена с серединой 
. Найдите, в каком отношении отрезок 
делит диагональ 
.
заданы векторы, совпадающие с его сторонами 
, 
, 
, 
, 
. Построить векторы 1) 
; 2) 
; 3) 
.
заданы векторы, совпадающие с его ребрами 
и 
. Построить следующие векторы: 1) 
; 2) 
; 3) 
.
; б) 
, через векторы 
и 
.
, если отложить его от того же начала, будет направлен по биссектрисе угла между 
является центром масс треугольника 
если отложить его от того же начала, будет направлен по биссектрисе угла между 
. В каком случае левая часть равна правой?
; б) 
; в) 
?
Докажите, что сумма векторов 
равна нулю. Как обобщить эту задачу на случай 
- угольника?
и 
, 
, 
.
и 
коллинеарны векторы:
, 
; б) 
, 
.
Проверьте, что четырехугольник 
. Найдите четвертую точку 
являются вершинами трапеции.
, 
и 
. Вычислить 
.
и 
. Определить 
.
, причем 
. Определить 
, 
и 
, если известно, что 
, 
и 
.
и 
приложены к одной точке. Определить координаты вектора 
.
, 
и 
углы, равные соответственно: а) 120°, 135°, 45°; б) 120°, 135°, 60°.
имеет длину, равную 5, и образует с вектором 
при которых вектор 
a) образует с вектором 
; в) является противоположно направленным вектору 
.
, 
в базисе 
, 
, 
. [1, с. 19]
имеем 
и 
. Разложите по базису 
, 
векторы 
, 
, 
. [1, с. 27]
, 
, 
, приложенные к одной точке, имеют взаимно перпендикулярные направления. Определить величину равнодействующей 
, если известны величины сил 
, 
, 
. [2, с. 81]
), направленного с северо-запада под углом 
к северу, на компоненты, имеющие направления на север и запад. [2, с. 81]
и 
. Разложить по этим двум векторам все векторы, совпадающими со сторонами ромба: 
. [2, с. 82]
, 
, 
. Выразить через эти векторы остальные ребра тетраэдра, медиану 
, грани 
и вектор 
, где 
– центр тяжести грани 
, 
, 
образовывать базис в пространстве 
?
треугольника 
в базисе 
, 
образовывать базис в 
? Ответ обосновать.
, 
, 
.
и 
принадлежат соответственно прямым 
и 
, которые пересекаются в некоторой точке 
и 
векторы, направленные по биссектрисам углов между прямыми. [1, с. 76] 
. Точки 
и 
и 
. Выразить вектор 
через векторы 
, 
. [1, с. 10] 
соответственно. Найти координаты вектора 
и 
. [1, с. 15] 
имеем 
и 
. Разложить по базису 
векторы 
и 
на плоскости не коллинеарны, и разложить вектор 
по базису 
и 
образуют базис в 
, 
образовывать базис в том же 
[4, с. 38]
, 
и 
линейно зависима. [4, с. 42]
через векторы 
, 
; б) 
; 
. [4, с. 43]
, 
, 
образуют базис в 
, 
и 
линейно зависимы. Выразить: а) вектор 
через векторы 
, 
линейно зависимы. Можно ли выразить вектор 
векторы: a) 
, 
; б) 
, 
.
, 
, 
образуют базис в 
, 
и 
. Определить разложение каждого из трех векторов, принимая в качестве базиса два других.
трех ненулевых векторов 
, 
, 
линейно независима. [5, с. 35]
образуют базис. Является ли базисом система векторов 
, 
,…, 
, где 
- числа, не равные нулю? Ответ обоснуйте.
. Числа 
и 
определяются однозначно. [3, с. 76]
линейно независима, то любой вектор 
. [3, с. 76]
, 
, 
линейно независима тогда и только тогда, когда для указанных векторов выполняется условие
. [3, с. 78]
линейно зависима. [4, с. 42]
, а длина стороны 
между стороной 
треугольника. [1, с. 52]
, 
, 
. Найти угол между медианой и биссектрисой, которые проведены из вершины 
- правильный шестиугольник со стороной 2. Найти скалярное произведение векторов 
. [2, с. 94]
(между 
при условии, что 
, 
, а угол между векторами 
. [1, с. 52]
и 
, если известно, что 
, 
и угол между векторами 
и 
имеют одинаковую длину. [1, с. 76]
и 
, заданные своими координатами в ортонормированном базисе, ортогональны. [1, с. 55]
при перемещении материальной точки на вектор 
. [1, с. 76]
и 
, где 
и 
. [2, с. 95]
и 
. Вычислить скалярное произведение векторов 
и 
. [2, с. 96]
, 
и 
. Определить величину его внутреннего угла при вершине 
, когда её точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения 
в положение 
. [2, с. 98]
, коллинеарный вектору 
и удовлетворяющий условию 
. [2, с. 98]
и 
. [4, с. 45]
, 
. Определить, при каком значении 
, 
будут взаимно перпендикулярны.
, 
, 
, убедиться, что этот треугольник равнобедренный.
.[2, с. 97]
. [2, с. 97]
определяет сферу с центром 
и радиусом 
. [2, с. 98]
. Вычислить 
. [2, с. 98]
и 
ортогонален вектору 
, а вектор 
ортогонален вектору 
? [2, с. 98]
, 
, 
- прямоугольный. [4, с. 45]
, 
, 
- тупоугольный. [4, с. 45]
перпендикулярен вектору 
. [4, с. 45]
?
и 
. [1, с. 76]
приложена к точке 
. Определить момент этой силы относительно точки 
.[2, с. 106]
и 
, где 
и 
- единичные векторы, величина угла между которыми 
. [2, с. 107]
, перпендикулярный каждому из векторов 
и 
. [2, с. 107]
и оси абцисс. [2, с. 107]
. Зная, что 
, 
.
, вычислить 
.
и 
. Найти координаты векторных произведений: 1) 
; 2) 
.
и 
. [1, с. 65]
. [1, с. 76]
, 
, 
некомпланарны, а векторы 
и 
, 
, 
.
, то 
. [3, с. 80]
.
, 
. Доказать, что 
.
связаны соотношениями 
, 
. Доказать, коллинеарность векторов 
и 
.
, 
и 
как на смежных рёбрах. [1, с. 70]
, 
, 
компланарны. [1, с. 76]
, 
, 
и 
. [2, с. 110]
и 
, величина угла между которыми равна 30°. Зная, что 
, вычислить 
. [2, с. 111]
, 
, 
. За основание взят параллелограмм, построенный на векторах 
, три его вершины находятся в точках 
, 
, 
. Найти координаты четвертой вершины.
.
, 
, 
прямоугольной декартовой системы координат 
. [2, с. 110]
. [2, с. 110]
, если 
. [2, с. 111]