ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Метод Рунге-Кутта IV порядка

Лабораторная работа №

Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Выполнить только для методов Рунге-Кутта 3 и 4 порядков !!!

11.1 Постановка задачи

Цель: освоить алгоритмы методов решения задачи Коши для ОДУ.

Задание:

1. Найти численное решение задачи Коши

методами Эйлера, предиктор-корректор, Рунге-Кутта 3 и 4 порядков на сетках с шагом τ = 0,1; τ = 0,05; τ = 0,025, соответственно, согласно выбранному варианту.

2. На последовательности указанных сеток проверить сходимость полученного решения для указанных методов.

3. Для сопоставления методов вычислить

, где

- точное решение

вариант	f(t,u)	t₀	T	u⁰	точное решение
		0,1	1,1	0,3314113
			0,9	-1
			0,9
			0,9
			0,9
			0,9	3,4
			0,9

Ход работы

Решим задачу Коши для дифференциального уравнения

/Точное решение

Метод Эйлера

Вычислительный процесс строится по формуле

. (1)

Применяя (1) к нашему уравнению получаем расчетную формулу:

t₀=0 и u₀=1 - начальные условия.

На сетке с шагом τ = 0,1 получим для t₁=0,1

для t₂=0,2

результаты дальнейших вычислений поместим в таблицу 11.1

Аналогичные действия выполняются на сетках с шагами τ = 0,05 и τ = 0,025, результаты вычислений приведены в таблицах 11.2, 11.3, соответственно.

Метод предиктор-корректор

Вычислительный процесс строится по формулам

1 шаг (2)

2 шаг .

Применяя (2) к нашему уравнению получаем расчетные формулы:

1 шаг

2 шаг ,

t₀=0 и u₀=1 - начальные условия, а .

При τ = 0,1 для t₁=0,1 на первом шаге получим

на втором шаге получим

для t₂=0,2 на первом шаге получим

на втором шаге получим

результаты дальнейших вычислений поместим в таблицу 11.1

Методы Рунге-Кутта

Метод Рунге-Кутта III порядка

Метод Рунге-Кутта III порядка точности можно выполнить по следующим формулам:

(3) (4)

Проведем вычисления, используя формулы (3), которые применительно к нашему уравнению примут вид:

При τ = 0,1 для t₁=0,1 получим

для следующей точки сетки t₁=0,2 получим

результаты дальнейших вычислений поместим в таблицу 11.1

Метод Рунге-Кутта IV порядка

Метод Рунге-Кутта IV порядка точности можно выполнить по следующим формулам:

(5) (6)

Проведем вычисления, используя формулы (5), которые применительно к нашему уравнению примут вид:

При τ = 0,1 для t₁=0,1 получим

для следующей точки сетки t₁=0,2 получим

результаты дальнейших вычислений поместим в таблицу 11.1

Аналогичные действия выполняются на сетках с шагами τ = 0,05 и τ = 0,025, результаты вычислений приведены в таблицах 11.2, 11.3, соответственно

Таблица 11.1 τ = 0,1

i	t_i	u_i⁽¹⁾
Метод Эйлера	Предиктор-корректор	Метод Рунге-Кутта III порядка	Метод Рунге-Кутта IV порядка	Точное решение

	0,1	1,1	1,1107769	1,1111293	1,1111112	1,1111111
	0,2	1,2232323	1,2490634	1,2500445	1,2500003	1,2500000
	0,3	1,3783670	1,4265125	1,4286573	1,4285723	1,4285714
	0,4	1,5791385	1,662403	1,6668231	1,6666689	1,6666667
	0,5	1,8485802	1,9910526	2,0002894	2,0000057	2,0000000
	0,6	2,2283909	2,47987	2,5005744	2,500016	2,5000000
	0,7	2,8024642	3,2811908	3,3346467	3,3333868	3,3333333
	0,8	3,7678465	4,8227644	5,0039483	5,0002546	5,0000000
	0,9	5,7202228	8,8792486	10,022309	10,0027518	10,000000

Таблица 11.2 τ = 0,05

i	t_i	u_i⁽²⁾
Метод Эйлера	Предиктор-корректор	Метод Рунге-Кутта III порядка	Метод Рунге-Кутта IV порядка	Точное решение

	0,05	1,0500000	1,052595372	1,0526327	1,05263158	1,0526316
	0,10	1,1053885	1,111026267	1,1111135	1,111111115	1,1111111
	0,15	1,1670591	1,176320108	1,1764745	1,176470597	1,1764706
	0,20	1,2361188	1,249760333	1,2500058	1,250000017	1,2500000
	0,25	1,3139546	1,332971349	1,3333415	1,333333364	1,3333333
	0,30	1,4023267	1,428039694	1,4285827	1,428571481	1,4285714
	0,35	1,5035023	1,537690756	1,5384769	1,538461626	1,5384615
	0,40	1,6204511	1,665553169	1,6666875	1,66666681	1,6666667
	0,45	1,7571393	1,816566163	1,8182101	1,818182052	1,8181818
	0,50	1,9189841	1,997628759	2,0000389	2,000000384	2,0000000
	0,55	2,1135831	2,218676366	2,2222767	2,222222865	2,2222222
	0,60	2,3519301	2,494552545	2,5000784	2,50000111	2,5000000
	0,65	2,6505486	2,848454822	2,8572600	2,857144864	2,8571429
	0,70	3,0354588	3,318743148	3,3335177	3,333337208	3,3333333
	0,75	3,5501296	3,973657875	4,0003118	4,000008219	4,0000000
	0,80	4,273009	4,947137683	5,0005861	5,000020041	5,0000000
	0,85	5,3614554	6,541554239	6,667967	6,666727534	6,6666667
	0,9	7,1838832	9,604729062	10,0038618	10,000272049

Таблица 11.3 τ = 0,025

i	t_i	u_i⁽³⁾
Метод Эйлера	Предиктор-корректор	Метод Рунге-Кутта III порядка	Метод Рунге-Кутта IV порядка	Точное решение

	0,025	1,025	1,025636818	1,025641092	1,025641026	1,025641026
	0,05	1,051297686	1,052622491	1,052631717	1,052631579	1,052631579
	0,075	1,078995174	1,081066327	1,081081297	1,081081081	1,081081081
	0,1	1,108205715	1,111089775	1,111111413	1,111111111	1,111111111
	0,125	1,139055239	1,142828149	1,142857539	1,142857143	1,142857143
	0,15	1,171684161	1,176432672	1,176471089	1,176470589	1,176470588
	0,175	1,206249513	1,212072881	1,212121829	1,212121213	1,212121212
	0,2	1,242927458	1,249939487	1,250000746	1,250000001	1,25
	0,225	1,281916286	1,290247781	1,290323472	1,290322582	1,290322581
	0,25	1,323439981	1,333241735	1,333334388	1,333333335	1,333333333
	0,275	1,367752514	1,379198929	1,379311585	1,379310347	1,379310345
	0,3	1,415143018	1,428436554	1,42857288	1,428571432	1,428571429
	0,325	1,465942079	1,48131873	1,481483175	1,481481486	1,481481481
	0,35	1,520529426	1,538265516	1,538463511	1,538461544	1,538461538
	0,375	1,579343403	1,599764082	1,600002297	1,600000007	1,6
	0,4	1,642892714	1,666382656	1,666669342	1,666666676	1,666666667
	0,425	1,711771112	1,738788116	1,739133555	1,739130447	1,739130435
	0,45	1,786675931	1,817768352	1,818185465	1,818181834	1,818181818
	0,475	1,868431678	1,904261009	1,90476618	1,904761925	1,904761905
	0,5	1,958020382	1,99939082	2,000005031	2,000000026
	0,525	2,056621061	2,104518692	2,105269107	2,105263191	2,105263158
	0,55	2,165661686	2,221307086	2,222229299	2,222222265	2,222222222
	0,575	2,286888491	2,351808375	2,352949653	2,352941232	2,352941176
	0,6	2,422459799	2,49858618	2,500010236	2,500000073	2,5
	0,625	2,575075102	2,664884979	2,666679147	2,666666765	2,666666667
	0,65	2,748155877	2,854871963	2,857158246	2,857142991	2,857142857
	0,675	2,946104043	3,073989747	3,076942306	3,076923262	3,076923077
	0,7	3,174679954	3,329484041	3,33335774	3,333333594	3,333333333
	0,725	3,441569754	3,631216479	3,636395199	3,636364013	3,636363636
	0,75	3,757262832	3,992959864	4,000041746	4,00000056
	0,775	4,136456789	4,434545749	4,444501197	4,444445309	4,444444444
	0,8	4,600400953	4,985597471	5,000079829	5,000001396
	0,825	5,181001059	5,69240083	5,714402972	5,714288103	5,714285714
	0,85	5,928449336	6,631475875	6,666848923	6,666671074	6,666666667
	0,875	6,926500136	7,938905352	8,000305882	8,000009011
	0,9	8,326113494	9,881679234	10,000572906	10,000021333

Проверка сходимости полученного решения для указанных методов.

Для проверки сходимости методов Эйлера, предиктор-корректор, Рунге-Кутта вычислим максимальную разность между соответствующими значениями функции на сетках u_i⁽¹⁾, u_i⁽²⁾, u_i⁽³⁾, т.е. max_i /u₂_i⁽²⁾- u_i⁽¹⁾/, max_i /u₂_i⁽³⁾- u_i⁽²⁾/. Результаты вычислений приведены в таблицах 11.4, 11.5.

Таблица 11.4

i	t_i	/u₂_i⁽²⁾- u_i⁽¹⁾/
Метод Эйлера	Предиктор-корректор	Метод Рунге-Кутта III порядка	Метод Рунге-Кутта IV порядка

	0,1	0,0053885	0,000249367	1,58E-05	8,5E-08
	0,2	0,0128865	0,000696933	3,87E-05	2,83E-07
	0,3	0,0239597	0,001527194	7,46E-05	8,19E-07
	0,4	0,0413126	0,003150169	0,0001356	2,09E-06
	0,5	0,0704039	0,006576159	0,0002505	5,316E-06
	0,6	0,1235392	0,014682545	0,000496	1,489E-05
	0,7	0,2329946	0,037552348	0,001129	4,9592E-05
	0,8	0,5051625	0,124373283	0,0033622	0,000234559
	0,9	1,4636604	0,725480462	0,0184472	0,002479751
max_i	1,4636604	0,725480462	0,0184472	0,002479751

Таблица 11.5

i	t_i	/u₂_i⁽³⁾- u_i⁽²⁾/
Метод Эйлера	Предиктор-корректор	Метод Рунге-Кутта III порядка	Метод Рунге-Кутта IV порядка

	0,05	0,001297686	2,7119E-05	9,83E-07	1E-09
	0,10	0,002817215	6,3508E-05	2,087E-06	4E-09
	0,15	0,004625061	0,000112564	3,411E-06	8E-09
	0,20	0,006808658	0,000179154	5,054E-06	1,6E-08
	0,25	0,009485381	0,000270386	7,112E-06	2,9E-08
	0,30	0,012816318	0,00039686	9,82E-06	4,9E-08
	0,35	0,017027126	0,00057476	1,3389E-05	8,2E-08
	0,40	0,022441614	0,000829487	1,8158E-05	1,34E-07
	0,45	0,029536631	0,001202189	2,4635E-05	2,18E-07
	0,50	0,039036282	0,001762061	3,3869E-05	3,58E-07
	0,55	0,052078586	0,00263072	4,7401E-05	6E-07
	0,60	0,070529699	0,004033635	6,8164E-05	1,037E-06
	0,65	0,097607277	0,006417141	0,000101754	1,873E-06
	0,70	0,139221154	0,010740893	0,00015996	3,614E-06
	0,75	0,207133232	0,019301989	0,000270054	7,659E-06
	0,80	0,327391953	0,038459788	0,000506271	1,8645E-05
	0,85	0,566993936	0,089921636	0,001118077	5,646E-05
	0,9	1,142230294	0,276950172	0,003288894	0,000250716
max_i	1,142230294	0,276950172	0,003288894	0,000250716

Полученные данные о максимальных разностях внесем в отдельную таблицу 11.6.

Таблица 11.6

max_i /u_2i^(k)- u_i^(k-1)/	Метод Эйлера	Предиктор-корректор	Метод Рунге-Кутта III порядка	Метод Рунге-Кутта IV порядка
max_i /u₂_i⁽²⁾- u_i⁽¹⁾/	1,4636604	0,725480462	0,0184472	0,002479751
max_i /u₂_i⁽³⁾- u_i⁽²⁾/	1,142230294	0,276950172	0,003288894	0,000250716

Из таблицы 11.6 видно, что рассматриваемая нами величина max_i /u₂_i⁽^k)- u_i⁽^k-1)/для каждого метода уменьшается, а это характерно для сходящегося процесса.

Сопоставление методов

Для сопоставления методов необходимо вычислить

, где

- точное решение

Используя данные таблиц 11.1, 11.2, 11.3 вычислим , результаты представим в таблицах 11.7, 11.8, 11.9.

Таблица 11.7 τ = 0,1

i	t_i
Метод Эйлера	Предиктор-корректор	Метод Рунге-Кутта III порядка	Метод Рунге-Кутта IV порядка

	0,1	0,0111111	0,0003342	1,82E-05	1E-07
	0,2	0,0267677	0,0009366	4,45E-05	3E-07
	0,3	0,0502044	0,0020589	8,59E-05	9E-07
	0,4	0,0875282	0,0042637	0,0001564	2,2E-06
	0,5	0,1514198	0,0089474	0,0002894	5,7E-06
	0,6	0,2716091	0,02013	0,0005744	1,6E-05
	0,7	0,5308691	0,0521425	0,0013134	5,35E-05
	0,8	1,2321535	0,1772356	0,0039483	0,0002546
	0,9	4,2797772	1,1207514	0,022309	0,0027518
max_i	4,2797772	1,1207514	0,022309	0,0027518

Таблица 11.8 τ = 0,05

i	t_i
Метод Эйлера	Предиктор-корректор	Метод Рунге-Кутта III порядка	Метод Рунге-Кутта IV порядка

	0,05	0,0026316	3,6228E-05	1,1E-06	2E-08
	0,10	0,0057226	8,4833E-05	2,4E-06	1,5E-08
	0,15	0,0094115	0,000150492	3,9E-06	3E-09
	0,20	0,0138812	0,000239667	5,8E-06	1,7E-08
	0,25	0,0193787	0,000361951	8,2E-06	6,4E-08
	0,30	0,0262447	0,000531706	1,13E-05	8,1E-08
	0,35	0,0349592	0,000770744	1,54E-05	1,26E-07
	0,40	0,0462156	0,001113531	2,08E-05	1,1E-07
	0,45	0,0610425	0,001615637	2,83E-05	2,52E-07
	0,50	0,0810159	0,002371241	3,89E-05	3,84E-07
	0,55	0,1086391	0,003545834	5,45E-05	6,65E-07
	0,60	0,1480699	0,005447455	7,84E-05	1,11E-06
	0,65	0,2065943	0,008688078	0,0001171	1,964E-06
	0,70	0,2978745	0,014590152	0,0001844	3,908E-06
	0,75	0,4498704	0,026342125	0,0003118	8,219E-06
	0,80	0,726991	0,052862317	0,0005861	2,0041E-05
	0,85	1,3052113	0,125112461	0,0013003	6,0834E-05
	0,9	2,8161168	0,395270938	0,0038618	0,000272049
max_i	2,8161168	0,395270938	0,0038618	0,000272049

Таблица 11.3 τ = 0,025

i	t_i
Метод Эйлера	Предиктор-корректор	Метод Рунге-Кутта III порядка	Метод Рунге-Кутта IV порядка

	0,025	0,000641026	4,208E-06	6,6E-08
	0,05	0,001333893	9,088E-06	1,38E-07
	0,075	0,002085907	1,4754E-05	2,16E-07
	0,1	0,002905396	2,1336E-05	3,02E-07
	0,125	0,003801904	2,8994E-05	3,96E-07
	0,15	0,004786427	3,7916E-05	5,01E-07	1E-09
	0,175	0,005871699	4,8331E-05	6,17E-07	1E-09
	0,2	0,007072542	6,0513E-05	7,46E-07	1E-09
	0,225	0,008406295	7,48E-05	8,91E-07	1E-09
	0,25	0,009893352	9,1598E-05	1,055E-06	2E-09
	0,275	0,011557831	0,000111416	1,24E-06	2E-09
	0,3	0,013428411	0,000134875	1,451E-06	3E-09
	0,325	0,015539402	0,000162751	1,694E-06	5E-09
	0,35	0,017932112	0,000196022	1,973E-06	6E-09
	0,375	0,020656597	0,000235918	2,297E-06	7E-09
	0,4	0,023773953	0,000284011	2,675E-06	9E-09
	0,425	0,027359323	0,000342319	3,12E-06	1,2E-08
	0,45	0,031505887	0,000413466	3,647E-06	1,6E-08
	0,475	0,036330227	0,000500896	4,275E-06	2E-08
	0,5	0,041979618	0,00060918	5,031E-06	2,6E-08
	0,525	0,048642097	0,000744466	5,949E-06	3,3E-08
	0,55	0,056560536	0,000915136	7,077E-06	4,3E-08
	0,575	0,066052685	0,001132801	8,477E-06	5,6E-08
	0,6	0,077540201	0,00141382	1,0236E-05	7,3E-08
	0,625	0,091591565	0,001781688	1,248E-05	9,8E-08
	0,65	0,10898698	0,002270894	1,5389E-05	1,34E-07
	0,675	0,130819034	0,00293333	1,9229E-05	1,85E-07
	0,7	0,158653379	0,003849292	2,4407E-05	2,61E-07
	0,725	0,194793882	0,005147157	3,1563E-05	3,77E-07
	0,75	0,242737168	0,007040136	4,1746E-05	5,6E-07
	0,775	0,307987655	0,009898695	5,6753E-05	8,65E-07
	0,8	0,399599047	0,014402529	7,9829E-05	1,396E-06
	0,825	0,533284655	0,021884884	0,00011726	2,389E-06
	0,85	0,738217331	0,035190792	0,00018226	4,407E-06
	0,875	1,073499864	0,061094648	0,00030588	9,011E-06
	0,9	1,673886506	0,118320766	0,00057291	2,1333E-05
max_i	1,673886506	0,118320766	0,00057291	2,1333E-05

Полученные данные для внесем в таблицу 11.6.

Таблица 11.6

	Метод Эйлера	Предиктор-корректор	Метод Рунге-Кутта III порядка	Метод Рунге-Кутта IV порядка
τ = 0,1	4,2797772	1,1207514	0,022309	0,0027518
τ = 0,05	2,8161168	0,395270938	0,0038618	0,000272049
τ = 0,025	1,673886506	0,118320766	0,00057291	2,1333E-05

Анализ результатов показывает, что при решении данной задачи метод Рунге-Кутта IV порядка является самым точным, на порядок хуже результаты у метода Рунге-Кутта III порядка. Метод предиктор-корректор точнее метода Эйлера, но намного уступает методам Рунге-Кутта III и IV порядка.

Кроме того, для каждого метода уменьшается с уменьшением шага сетки.