ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Построение графиков поверхностей, заданных параметрически

ГРАФИКИ В MATLAB. ПОСТРОЕНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ ГРАФИКОВ

Цель работы: приобрести навыки построения трехмерных графиков в MatLab.

График поверхности (трехмерный или 3D-график) – это график, положение точки в котором определяется значениями трех координат.

Построение графиков поверхностей

Декартовая система координат состоит из заданной фиксированной точкой пространства О, называемой началом координат, и трех перпендикулярных прямых пространства ОХ, OY, OZ, не лежащих в одной плоскости и пересекающихся в начале координат – их называют координатными осями (ОХ – ось абсцисс, OY – ось ординат, OZ – ось аппликат). Положение точки М в пространственной системе координат определяется значением трех координат и обозначается М(х,у,z). Три плоскости, содержащие пары координатных осей, называются координатными плоскостями XY, XZ, YZ.

Величина z называется функцией двух переменных х и у, если каждой паре чисел, которые могут быть значениями переменных х и у, соответствует одно или несколько определенных значений величины z. При этом переменные хи у называют аргументами функции z(x, у).Пары тех чисел, которые могут быть значениями аргументов х, у функции z(x, у),в совокупности составляют область onределения функции.

Для построения графика двух переменных z=f(x,y) необходимо выполнить следующие действия:

1. Сформировать в области построения графика прямоугольную сетку, проводя прямые, параллельные осям y=y_j и x=x_i, где x_i=x₀+ih, h=(x_n-x_o)/k, i=0,1,2,…,n, .

2. Вычислить значения во всех узлах сетки.

3. Обратится к функции построения поверхности, передавая ей в качестве параметров сетку и матрицу Z=(z_i,j) значений в узлах сетки.

Функцияmeshgrid – для форматирования прямоугольной сетки.

ПРИМЕР 1 Построить график функции z(x,y)=y²-x², где х [2,2], y [-3,3].

Для форматирования сетки воспользуемся функцией meshgrid.

После формирования сетки вычислим значение z во всех узлах.

Обратимся к функции mesh для построения графика: mesh(x,y).

В результате чего будет построен трехмерный график (рис. 1).

Для получения менее грубого графика следует сетку делать более плотной (рис. 2).

Рис. 1График функции z(x,y) = y² - x²

Рис. 2График функции z(x,y) = y² - x² с плотной сеткой

Функция surf – строит каркасную поверхность, заливая каждую ее клетку цветом, который зависит от значения функции в узлах сетки.

ПРИМЕР 2

Построить график функции .

[x,y] = meshgrid(-2:0.2:2,-2:0.2:2);

z = sqrt (x.^2+y.^2);

surf(x,y,z)

Рис. 3График функции

В MatLab можно построить графики двух поверхностей в одной системе координат. Для этого, как и для плоских графиков, следует использовать команду hold on, которая блокирует создание второго нового окна при выполнении команд surfили mesh.

ПРИМЕР 3

Построить график функции z(x, у) = ±(х² + y²) - 1.

[x,y]=meshgrid(-2:0.2:2,-2:0.2:2);

z=x.^2+y.^2-1;

z1=-x.^2-y.^2-1;

surf(x,y,z)

hold on

surf(x,y,z1)

Рис. 4График функции z(x, у) = ±(х² + y²) - 1

Построение графиков поверхностей, заданных параметрически

При построении графиков поверхностей, заданных параметрически: х(u, v), у(u, v) и z(u, v), необходимо построить матрицы X, Y и Z одинакового размера. Для этого массивы u и v должны быть одинакового размера. После этого следует выделить два основных вида представления х, у и z в случае параметрического задания поверхностей:

1. Если х, у и z представимы в виде f(u)*g(u), то соответствующие им матрицы X, Y и Z следует формировать в виде матричного умножения f(u) на g(u).

2. Если х, у и z представимы в виде f(u) или g(u), то в этом случае матрицы X, Y и Z следует записывать в виде f(u)ones(size(v)) или g(u)ones(size(u)) соответственно.

ПРИМЕР 4

Построить поверхность однополостного гиперболоида, уравнение которого задано в параметрическом виде:

х(u v) =ch(u)cos (v), y(u, v)= ch(u)sin (v), z(u, v)=sh(u).

[u,v]=meshgrid(0:pi/50:2*pi);

%Формируем матрицу X как матричное произведение ch(u)*cos(v)

X=cosh(u).*cos(v);

%Формируем матрицу Y как матричное произведение ch(u)*sin(v)

Y=cosh(u).*sin(v);

%Формируем матрицу Z как матричное произведение столбца sh(u) на строку

%ones(size(v))

Z=sinh(u).*ones(size(v));

%Формируем график поверхности

surf(X,Y,Z);

grid on

%Подписываем график и оси

title('ГРАФИК ОДНОПОЛОСТНОГО ГИПЕРБОЛОИДА');

xlabel('X');

ylabel('Y');

zlabel('Z');

Общие принципы форматирования трехмерных графиков остаются теми же, что и в двумерном случае.

Анимация

При изучении движения точки на плоскости и в пространстве, MatLab позволит построить график движения и проследить за ним. Для построения анимационного ролика в MatLab существуют две функции: comet(х, у) и comet3(х,y,z). Функция comet(х, у) позволит увидеть движение точки вдоль кривой у(х) на плоскости, а функция comet3(х, у, z)позволит проследить за ее движением вдоль пространственной кривой z(x, у).

ПРИМЕР 5

Движение точки на плоскости вдоль эллипса, который параметрически задается уравнением .

t=0:0.001:2*pi;

x=cos(t);

y=3*sin(t);

comet(x,y);

ПРИМЕР 6

Движение точки в пространстве вдоль винтовой линии, параметрическое уравнение которой имеет вид .

t=0:pi/500:10*pi;

comet3(sin(t),cos(t),t)

Индивидуальные задания:

1. Построить графики поверхностей, заданных явно и параметрически; использовать встроенную функцию MatLab figure(n) для размещения программного кода в одном программном окне (a, p – номер компьютера; b,q – номер в списке группы; с – произвольное число).

2. Создать анимационный ролик, использовав при этом две любые функции из приведенных ниже.

3. Оформить протокол лабораторной работы.

№ п/п	Поверхность	Явное представление	Параметрическое представление
	Эллипсоид
	Однополостной гиперболоид
	Двуполостной гиперболоид
	Эллиптический параболоид
	Гиперболический параболоид
	Действительный конус