ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение

Как определить диапазон голоса - ваш вокал

Игровые автоматы с быстрым выводом

Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими

Целительная привычка

Как самому избавиться от обидчивости

Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам

Тренинг уверенности в себе

Вкуснейший "Салат из свеклы с чесноком"

Натюрморт и его изобразительные возможности

Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д.

Как научиться брать на себя ответственность

Зачем нужны границы в отношениях с детьми?

Световозвращающие элементы на детской одежде

Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия

Как слышать голос Бога

Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ)

Глава 3. Завет мужчины с женщиной

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Вычислить интегралы, используя метод Гаусса с четырьмя узлами в программе Mathcad. Оценить погрешность вычислений.

ПЕНЗЕНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

Кафедра «Прикладная математика и исследование операций в экономике»

Численные методы

Лабораторная работа №3

Численное интегрирование

Пенза, 2013

Цель работы: приобретение навыков вычисления определённых интегралов различными численными методами

Оборудование: персональный компьютер,программаMathcad.

Теоретическая часть

При вычислении определённого интеграла возможны следующие ситуации:

1) первообразная не может быть найдена с помощью элементарных средств (так называемые «неберущиеся» интегралы);

2) данная интегрируемая функция задана графически или таблично.

В таких случаях прибегают к приближенному вычислению определенного интеграла различными численными методами, основанных на квадратурных формулах вида

,

где - некоторые точки из отрезка - узлы квадратурной формулы;

- числовые коэффициенты – веса квадратурной формулы;

- погрешность или остаточный член квадратурной формулы.

Символьные вычисления неопределенных интегралов в MATLAB осуществляется при помощи функции int(fun, var),

где fun – символьное выражение, представляющее собой подынтегральную функцию;

var – переменная интегрирования.

Для того чтобы вычислить определенный интеграл, используется функция

Int(fun, var, a, b),

где fun –подынтегральная функция;

var – переменная интегрирования, a, b – пределы интегрирования.

Вычислительный алгоритм метода Симпсона с автоматическим выбором шага реализован функцией quad(name, a, b [,tol, trace]),

где name – имя М-функции, задающей подынтегральное выражение;

a, b – пределы интегрирования;

tol – точность вычисления;

trace – параметр, позволяющий получить информацию о ходе вычислений в виде таблицы, в столбцах представлены значение количества вычислений, начальная точка текущего промежутка интегрирования, его длина и значение интеграла.

Пример 3 Вычисление неопределенного интеграла

Найти интеграл

Решение

1) Задать символьное представление переменной и подыинтегральной функции.

2) Ввести функцию для нахождения интеграла

На экране

Пример 4 Вычисление определенного интеграла

Вычислить интеграл

Решение

1) Задать функцию для нахождения интеграла в точном виде

На экране

2) Для приближенного решения ввести функцию vpa/

На экране

Пример 5 Вычисление определенного интеграла методом Симпсона

Вычислить интеграл

Решение

1) В М-файле с именем Simpson.m задать подынтегральную функцию.

На экране

2) В командном окне вызвать функцию quad.

На экране

Порядок выполнения работы

1) Вычислить определённые интегралы соответствующими методами.

2) Оценить погрешность вычислений.

3) Выполнить проверку результата с использованием численного интегрирования в среде Mathcad.

4) Сделать выводы о полученных результатах.

Задания

1. Вычислить интегралы, используя метод трапеций при . Оценить погрешность вычислений.

1. ;	5. ;	9. ;
2. ;	6. ;	10. ;
3. ;	7. ;	11. ;
4. ;	8. ;	12. ;

Вычислить интегралы, используя метод Гаусса с четырьмя узлами в программе Mathcad. Оценить погрешность вычислений.

1. ;	5. ;	9. ;	12. ;
2. ;	6. ;	10. ;	13. ;
3. ;	7. ;	11. ;	14. ;
4. ;	8. ;

3. Вычислить интегралы, используя методы способы вычисления в программе Matlab. Оценить погрешность вычислений.

1. ;	5. ;	9. ;	12. ;
2.	6. ;	10. ;	13. ;
3. ;	7. ;	11. ;	14. ;
4. ;	8. ;

Контрольные вопросы

1) Постановка задачи численного интегрирования.

2) Метод прямоугольников.

3) Метод Симпсона.

4) Метод Гаусса, его преимущество.

5) Оценка погрешностей методов численного интегрирования.

Литература

1) Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. – М.: Высшая школа, 1994.

2) Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование: Учебное пособие для студентов втузов. – М.: Высшая школа, 1990. – 544с.

3) Б.П. Демидович, И.А. Марон, Основы вычислительной математики.М.: ФМ, 1960- 659с

4) Дьяконов В. Mathcad 2001: учебный курс. – СПб.: Питер, 2001.- 624 с.

5) Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран, Паскаль. – Томск.: МП Раско, 1991. – 272с.